2019-2020年中考数学复习专题四几何变换压轴题试题

1、2019-2020年中考数学复习专题四几何变换压轴题试题类型一图形的旋转变换几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合.解决旋转变换问题， 首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等 性质解题.如图，在菱形 ABCtD, AB= 2, / BA氏60° ,过点 D作DHAB于点E, DFLBC于点F.1 一如图1,连接 AC分另1J交DE, DF于点M N,求证：MNk-AC;3（2）如图2,将/ EDF以点D为旋转中心旋转，其两边 DE , DF'分别与直线 AB, BC相交于点 G P.连接 GP当4

2、DGP的面积等于3 3时，求旋转角的大小并指明旋转方向.图1图£【分析】（1）连接BD,由/ BAD= 60° ,得到 ABD为等边三角形，进而证明点E是AB的中点，再根据相似三角形的性质解答；（2）分/ EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题.1. . （xx 潍坊）边长为6的等边 ABC中，点D, E分别在 AC BC边上，DE/ AB, EC= 2y3. 如图1, WA DEC沿射线EC方向平移，得到D'E'C',边D'E'与AC的交点为 M,边C'D'与/ACC的角平分线交于点 N.当CC

3、多大时，四边形 MCND为菱形？并说明理由.（2）如图2,将 DEC绕点C旋转/ “（0° <“<360° ）,得到 D'E'C,连接AD,BE'.边 D' E'的中点为P.在旋转过程中，AD和 BE有怎样的数量关系？并说明理由；连接AP,当AP最大时，求AD的彳1.（结果保留根号）图1图22. （xx -成都）如图 1, 4ABC 中，/ABC= 45° , AHLBC 于点 H,点 D在 AH上，且 D+ CH 连接 BD.求证：BD= AC;（2）将 BHD绕点H旋转，得到 EHF德 B, D分别与点E,

4、F对应），连接AE.如图2,当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC= 4, tan C =3,求AE的长；如图3,当4EHF是由4BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线 CF与AE相交于点G,连接GH试 探究线段GHW EF之间满足的等量关系，并说明理由.F)图2图1类型二图形的翻折变换几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合.翻折变换的实质是 对称，翻折部分的两图形全等，找出对应边、对应角，再结合勾股定理、相似的性质与判定解题.（xx -苏州）如图，在 ABC 中，AB= 10, /B= 60° BDE沿DE所在直线折叠得到 B'

5、; DE（点 B'在四边形，点 D, E分别在 AB, BC上，且 BD= BE= 4,将 ADECJ),连接AB',贝U AB'的长为 .【分析】 作DF! B' E于点F, 称的性质得到 B' DE也是等边三角形，从而图1图24.如图，在矩形 ABCDK点E在边FG/ CD交AE于点G 连接DG.（1）求证：四边形 DEF的菱形；CE,（2）若 CD= 8, CF= 4,求 DE勺值.CD上，将矩形沿 AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作BD= BE,得到4BDE是等边三角形，由对 GD= B' F,然后利用勾股定理求解.3. （x

6、x 安徽）在三角形纸片 ABC中，/A= 90° , /C= 30° , AC= 30 cm,将该纸片沿过点 B的直线折 叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为 BD（如图1）,剪去4CDE后得到双层 BDE神图2）,再 沿着过4BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平 行四边形的周长为 40或80y3cm. 3类型三图形的相似图形的相似常以三角形、四边形为背景，与旋转、翻折、动点相结合，考查三角形相似的性质及判 定，难度较大，是中考中常考的几何压轴题.与动点相关的相似三角形，要根据动点的运动情况讨论相 似三角形的对应边、

7、对应角，进而判定相似三角形，再利用相似三角形的性质解题.(xx -青岛)如图，在矩形 ABC邛，AB= 6 cm, BC= 8 cm,对角线 AC, BD交于点。.点P从点A出发， 沿AD方向匀速运动，速度为 1 cm/s ;同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为 1 cm/s ;当 一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于点E,过点Q作QF/ AC交BD于点F.设运动时间为t(s)(0 vt<6),解答下列问题：(1)当t为何值时， AOP是等腰三角形；2(2)设五边形OECQF勺面积为S(cm),试确定S与t的函数关系式.【分析】(1)根据勾股定理求出

8、 AC的值，然后分类讨论：当 AP= PO时，求出t的值；当AP= AO时，求 出t的值；(2)过点E作EHL AC于点H,过点Q作QM_ AC于点M 过点D作DNL AC于点N,交QF于点G 分别用t表示出EH DN DG再利用面积的和差计算即可.5. (xx 常德)如图，RtAABC中，/ BAC= 90° , D在BC上，连接 AD,彳BF±AD分别交 AD于E, AC于 F.如图1,若BD= BA,求证：4AB9ADBE(2)如图2,若BD= 4DC取AB的中点 G 连接CG交AD于点M. 求证：G阵2MCAGf=AF- AC.参考答案【例1】(1)如图，连接BD,

9、设BD交AC于点Q,.在菱形 ABCN, Z DAB= 60° ,AD= AB,.ABD为等边三角形.DEL AB, 点E为AB的中点. . AE/ CDAM AE_ 1 CM CD- 2.同理CN 1AN= 2. .M N是线段AC的三等分点，MN= 3aC.(2) AB/ CD /BAD= 60° , . . / ADC= 120° . /ADE= /CDR 30° ,，/ED已 60° .当/EDF顺时针旋转时，由旋转的性质知，ZEDG= /FDR /GDP= Z EDF= 60° . . DE= DF=小,D DE(G= Z

10、DFR= 90° , .DE摩 ADFR .DG= DP, .DGP是等边三角形.S/DGP=又 DG> 0,解得 DG= 2 3.cos / EM deDG= zrx=DG,132 ,312' ./ EDG= 60，当顺时针旋转 60°时， DGP的面积是3M3.同理，当逆时针旋转 60°时，4DGP的面积也是34, dgp的面积是3y3.综上所述，当/ EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°【变式训练】1 .解：(1)当CC = m时，四边形 MCND为菱形.理由：由平移的性质得 CD/ C' D' , DE/

11、 D' E'.ABC为等边三角形，/ B= /ACB= 60° , ./ACC =180° -60° =120° .CN是/ACC 的角平分线，NCC =60° .1. AB/ DE DE/ D' E' , . . AB/ D' E',. D' E' C = / B= 60° , . D' E' C' = / NCC , D' E' / CN.四边形 MCND为平行四边形. /ME C' = / MCE =60°

12、, Z NCC = / NC C= 60° ,.MCE和ANCC为等边三角形，故 MC= CE , NC= CC .又 E，C = 2弧 CC =m，CE =CC = ®.MC= CN .,四边形 MCND为菱形.(2)AD = BE'.理由：当a W180°时，由旋转的性质得/ ACD = /BCE .由(1)知 AC= BC, CD =CE , .ACD 9 BCtE ,，AD = BE'.当 a =180° 时，AD = AC+ CD , BE = BC+ CE , 即 AD = BE'.综上可知，AD =BE'.A

13、P<AGF CP, 当 A, C, P三点共线时 AP最大，如图所BD'此时，AP= AC+ CP.在CE中，由 P为D' E'中点,APID E' , PD =3,.CP= 3,AP= 6 + 3=9.在RtAAPtD中，由勾股定理得AD = RaP + PD 2 = "92+ (艰)2 = 2声.2.解：(1)在 RtAHB中，/ABG=45° , . A+. /BHD= /AHC= 90° , DH= CH. .BH国AAHC BD= AC.BH.(2)在 RtAHC中，tan C = 3, . AH= 3. CH设 C

14、H= x,贝U BH= AH= 3x, .BC= BH+ CH= 4x = 4,，x=1, . AH= 3, CH= 1.由旋转的性质知，/ EHF= /BHD= /AHC= 90° ,EH= AH= 3, CH= DH= FH, EH FH./EHA=FHC 肃时1/ EAH= / C,tan / EAH=如图，过点H作HP!AE于点tan C =3.P,连接CP,在AACP中，由三角形三边关系得, 示.则 HP= 3AP, AE= 2AP.在 RtAHP中， AF2+HF=AR即 AF2+(3AP)2=9.3 1103 10 -AP= V * 5 .由知， AEH和AFHC都为等

15、腰三角形，设 AH交CG于点Q, / GAH= / HCG一 一一 AQ GQ .AGACH(QCQ HQAQ CQo前 CQ /AGQ= /CHQ= 90 / AQC= / GQH AQ。 GQH.又.旋转角为 30° ,，/EHA= /FHC= 120° ,，/QAG= 30° , ,EF AC AQGH GH GQ sin 30=2.【例2】 如图，作DF!B' E于点F, B' G±AD于点G,CG D 白-ZB= 60° , BA BE= 4,. BDE是边长为4的等边三角形.将4BDE沿DE所在的直线折叠得到 B&#

16、39; DE. B' DE也是边长为4的等边三角形，. GD= B' F= 2.- B，D= 4,旧 G= Bf D2GD=2 3. AB= 10,AG= 10-6 = 4,.AB' = #G+B，G2 =2，7.故答案为 2巾.【变式训练】3. 40 或803f4. (1)证明：由折叠的性质知，DG= FG ED= EF,/AED= / AEF. FG/ CD ，/FGE= /AED ，/ FGE= / AEF.FG= FE, .1. DG= GF= EF= DE, 四边形DEF的菱形.(2)解：设 DE= x,根据折叠的性质，EF= DE= x, EC= 8-x,在

17、 RtEFC中，FC?+EC2=EF2,即 42+(8 x)2=x2.解得 x=5, CE= 8-x=3.CE 3 ,- . DE 5.【例 3】(1) .在矩形 ABCD43, AB= 6 cm, BC= 8 cm, .AC= 10 cm.当AP PO时，如图，过点 P作PMLAO1 一 5 . AM= 2AO= 2. . /PMA= /ADC= 90° , / PAM= Z CAD .APMh MCD APU AM，AP= t =25.AC AD8当 AP AO时,t =5. 0v t <6,，t = 或t= 5均符合题意,8 当t=25或t = 5时，AOP是等腰三角形.

18、 8(2)如图，过点 E作EHL AC于点H,过点Q作QM_ AC于点M 过点D作DNL AC于点N,交QF于点G, .四边形ABC虚矩形，AD/ BG / PAO / ECO.3t石. 点O是对角线 AC的中点,A0= CO. y. Z AOP= Z COE .AO国ACOE .CE= AP= t. . CEHhACAtBEH= CE, .1. EH=t AB CAADC= ,AD- DC= 'DN- ACAD- CD 24DN=AC 5 . . QM/ DN . .CQMbACDNQM CQ 口.QM 6-t=即=.DN CD 246"524-4t.QM=-,524DG=-524 4t54t5 FQ/ AC .DFQ ADOC.FQ DQ DG . 5t .OCTDcTDN ''FQ= 丁S= Sboec+ SOCD- Sadfq111= 2OC- EH+ 2。© D*DG FQ =§t + t + 12,即S与t的函数关系式为 S= -3t2+|t + 12.【变式训练】5.证明：(1)在 RtABE和 RtDBE中,BA= BD,BE= BE, . .AB* ADBE.(2)如图，过