第一讲(电子的粒子性和波动性)

1、键合、晶体结构、电子能量结构是键合、晶体结构、电子能量结构是理解和理解和创新创新一种材料的物理性能的理论基础。一种材料的物理性能的理论基础。原原 子子 间间 键键 合合晶晶 体体 结结 构构固 体 的 电 子能量结构和状态材材 料料物理性能物理性能其中电子的能量结构最为复杂。其中电子的能量结构最为复杂。19271927年年1010月，第五届索尔维会议月，第五届索尔维会议 Jx-+B0所产生的电场称为霍耳场，用霍耳系数来所产生的电场称为霍耳场，用霍耳系数来表征。表征。0HHxERJ BJx-+B0霍耳场强度霍耳场强度xJvne0 xB JEne霍耳场霍耳场表达式表达式0 xHJ BEne0001

2、1xHHxxJ BERJ BJ Bnene0HHxERJ B00NNnZZMM2Em Ch 式中：式中：m m为粒子质量。为粒子质量。v v为自由粒子运动为自由粒子运动速度。速度。 由上式计算的波长，称为由上式计算的波长，称为。 2;hhEmChpm在相对论力学中运动物体的相对质量在相对论力学中运动物体的相对质量m m、静止质、静止质 量量m m0 0及速度及速度v v间存在如下关系：间存在如下关系：0221mmC0hm2201hhhpmmC德布罗意关于德布罗意关于物质波物质波的的假设，在假设，在19271927年被美国年被美国贝尔电话实验室的戴维贝尔电话实验室的戴维森森(Davisson)(

3、Davisson)和革末和革末(Germer) (Germer) 的电子衍射的电子衍射实验所证实。实验所证实。电子枪电子枪探测器探测器54vNi500KGBDUsin,1dkkdd电子枪电子枪探测器探测器500Ni54v100102.15 10sin501.65 10( )m探测器探测器sin,1dkkdd电子枪电子枪50054vNi再看由物质波波长方程式计算电子的波长：再看由物质波波长方程式计算电子的波长：电子质量电子质量 m m9.19.1 1010-31 -31 kgkg，电子能量，电子能量E E54e54eV V，则电子动量：则电子动量： 式中：式中：1.61.6 1010-19-19

4、为电子伏特向焦耳的转换因子。为电子伏特向焦耳的转换因子。1/23119 1/224(2)(2 9.1 1054 1.6 10)3.97 10(/ )pmEkg m s212PmEm3424106.6210/ 3.97101.6610()hmp比较两个结果基本一致，说明德布罗意假设的正比较两个结果基本一致，说明德布罗意假设的正确性。确性。 19281928年以后的进一步实验证明：不仅电子具有波年以后的进一步实验证明：不仅电子具有波性，自然界中的性，自然界中的一切微观粒子一切微观粒子，不论它们的静止，不论它们的静止质量是否为零，都具有波粒二象性质量是否为零，都具有波粒二象性 ，包括如原子、，包括如

5、原子、分子、质子等都微观粒子，其波长与分子、质子等都微观粒子，其波长与 =h/p=h/p计算出计算出来的完全一致，从而肯定了来的完全一致，从而肯定了物质波物质波的假说。的假说。波粒二象性波粒二象性是一切物质是一切物质( (包括电磁场包括电磁场) )所具有所具有的普遍属性。的普遍属性。 例：一质量例：一质量m m=0.05=0.05kgkg的子弹，以速率的子弹，以速率=300m/s=300m/s运动，其德布罗意波长为多少运动，其德布罗意波长为多少? ? 由此可见，对于一般的宏观物体，其物质波由此可见，对于一般的宏观物体，其物质波波长是很小的，很难显示波动性。波长是很小的，很难显示波动性。 343

6、56.63 104.4 10( )0.05 300hmm34311930126.6210229.1101.610200102.7410()0.0274()hhpmEmA纳米金刚石纳米金刚石Si Si 薄膜薄膜透射电镜透射电镜22,dWdvdWCdv 2*CdVCdV21CdV2说说 明明 波波 函函 数数 要要满足归一化条件满足归一化条件21dVC222电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验：7个电子100个电子底片上出现一个个的点子底片上出现一个个的点子电子具有粒子性。电子具有粒子性。来源于来源于“一个电子一个电子”所具有的波动性，所具有的波动性，而不是电子间相互作用的结果。而不是电子间相互作用的

7、结果。随着电子增多，逐渐形成衍射图样随着电子增多，逐渐形成衍射图样30007000020000如何理解电子的波粒二象性？如何理解电子的波粒二象性？电子一个一个发射，重复实验，结果衍射花纹不变；电子一个一个发射，重复实验，结果衍射花纹不变；单个电子也具有单个电子也具有“波动性波动性”。单个电子入射每次集中于一点，出现在屏上；单个电子入射每次集中于一点，出现在屏上；电子在屏上的落点是随机分布的，多次积累以后电子在屏上的落点是随机分布的，多次积累以后出现衍射花纹；出现衍射花纹；外界条件一定，重复实验，结果衍射花纹不变；外界条件一定，重复实验，结果衍射花纹不变；电子是一个完整的颗粒，不可分割。电子是一

8、个完整的颗粒，不可分割。在测量前具有不确定性，但在测量前具有不确定性，但是有一定的统计性。是有一定的统计性。电子在空间的统计分布是一定的。电子在空间的统计分布是一定的。而不是电子间相互作用的结果。而不是电子间相互作用的结果。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。粒子性（粒子性（不是经典的粒子）不是经典的粒子） ：“原子性原子性”或或“颗粒颗粒性性”。即具有。即具有不与不与“粒子有确切的轨道粒子有确切的轨道”的概念相联的概念相联系。系。 波动

9、性波动性（不是经典的波）：波的（不是经典的波）：波的“叠加性叠加性”，并不与并不与某种实际的物理量在空间的分布相联系。某种实际的物理量在空间的分布相联系。 经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。2e 1uuTT角频率角频率圆频率圆频率 波数波数角频率角频率 0cos()yAtxy oxp简谐波运动学方程是一个与时间简谐波运动学方程是一个与时间t t 和位置和位置 x x 的相的相关的函数，原点关的函数，原点O O的

10、振动方程可表示为：的振动方程可表示为：波线上距离波线上距离O O点点x x距离的某点距离的某点P P的的相位落后于相位落后于O O点点 ，则，则P P点在时点在时刻刻t t的波动方程表示为：的波动方程表示为：0cos()yAt2x而初始相位差初始相位差2 2、t t一定时，令一定时，令t t= =t t1 1，则质点位移，则质点位移y y仅是仅是x x的函数。的函数。得到一余弦曲线，它是得到一余弦曲线，它是t t1 1时刻波线上各个质点时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线。偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线。1 1、x x 一定时，令一定时，令x x= =x x1 1，

11、则质点位移，则质点位移y y仅是时间仅是时间t t的的函数。函数。10cos2xyAt10cos2xyAtxyu0cos()yAt0000cos()cos2 ()cos()cos()2xyAtAxAtKxAtt 2x而22,K2()0(,)xityxtye0(,)c o s 2()xyxtythhpm0cos2 ()xyAt 对于对于2EmCh在此，不考虑在此，不考虑初始相位差。初始相位差。01(,)c o s 2()yxtytxEh1PhhpEhPh0(,)c o s 2()EPyx tytxhh02( , )cos()y x tyEtPxh2h令令01( , )cos()x tEtPx 1

12、2()0(,)itxyxtyeEh1PhhpEhPh2h令令()0( , )iEtpxx te ()0( , )it Kxx te 一维自由粒子的波函数为：一维自由粒子的波函数为：()0( , )iEtpxx te 2222px 对位移求二阶偏导：对位移求二阶偏导：0( , )iiEtpxx tee 20220222( , )()()( , )iiEtpxiiEtpxx tiippeexpeepx t 一维自由粒子的波函数为一维自由粒子的波函数为：()0( , )iEtpxx te 对时间求一阶偏导对时间求一阶偏导： 0( , )iiEtpxx tee 0( , )()( , )iiEtpxx

13、 tiEeetiEx t iEt这就是一维自由粒子（含时间）这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程薛定谔方程。iEt 2222px 2222imxt 2222( , )( , )x tix tPtEt 212Emv根据根据 ，Pmv212EPm即：即：22PEm得：得：如果如果电子电子在确定的在确定的势场势场中运动，其薛定谔方程也中运动，其薛定谔方程也可用可用类似的方法类似的方法建立起来。在有势力场中粒子的建立起来。在有势力场中粒子的总能量为：总能量为：212EmvU将将P=mvP=mv带入，得：带入，得：22PEUm212EPUm 2222Uimxt 2222Px iEt势场势场中中一维一维

14、运运动粒子动粒子薛定谔方程薛定谔方程2222Px iEt 基于基于一维一维粒子的薛定谔方程，对于在势场中作粒子的薛定谔方程，对于在势场中作三三维维运动的粒子的薛定谔方程可以写成为：运动的粒子的薛定谔方程可以写成为：2222222()2Uimxyzt 令：令： ，称为拉普拉斯算，称为拉普拉斯算符，上式可以写成符，上式可以写成：2222222xyz 222Uimt 在在定态问题中势函数不是时间的函数定态问题中势函数不是时间的函数，即，即U U可写成可写成U U( (x,y,zx,y,z) )，故上式可以写成：，故上式可以写成：22( , )2U x y zimt 这就是这就是势场中势场中三维三维运

15、动粒子的运动粒子的定态薛定谔方程。定态薛定谔方程。( , , )( , )( )x y z tx y z f t依据分离变量法，依据分离变量法，波函数可以表示为：波函数可以表示为：2211( )( , )2( , )( )f tU x y zimx y zf tt得：得：2222( )( )22Uf tUf tmm 左边：左边：( )f tiitt右边：右边：2211( )( , , )2( , , )( )f tU x y zimx y zf tt方程的左边只是空间坐标的函数，右边只是时间方程的左边只是空间坐标的函数，右边只是时间的函数，只有两边都等于一个常数时，等式才能的函数，只有两边都等于一个常数时，等式才能成立，令常数