数学教学中基本概念的研究——函数概念

1、数学教学中基本概念的研究函数概念一、 函数概念的发展函数从它最朴素的概念起，经常接受数学家们的改造和充实。日本数学及数学教育家米山国藏认真考察了函数的发展历史，指出函数思想的正式形成和演变经历了七次扩张。（1）函数的基本概念函数的历史并不久远，只能追溯到17世纪。那时，引进的绝大部分函数，在函数概念还没有充分认识以前，是当作曲线来研究的。例如，关于logx，sinx和ax等初等超越函数的研究就是这样。随着对“曲线看作是动点的路径”这一概念的逐渐认可，线是由点的连续运动描画出来的观点也被接受，曲线与点的运动联系起来，相依关系被凸显，反映相依关系的数学表示函数概念被提出。根据现存能够查到的文献记载

2、，是莱布尼茨首次使用“函数”（function）一词的。在1673年的一篇手稿里莱布尼茨用“函数”（function）“函数”（function）一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量例如，切线、法线、次切线等等的长度以及纵坐标等，称“凡与曲线的点有关的量”为函数。这个定义，被看作“函数概念的几何起源”，与此相对，把x的幂（x2，x3，）视为函数，则应看成函数“概念的分析起源”。（2）第一次扩张在1718年，弟弟约翰·贝努利（John Bernoulli，1667-1748）按如下定义使用了函数一词：“由一个变量x与常量构成的任意表达式，称为x的函数”。在这个时代，把变量和常

3、数结合起来的主要运算是算术运算（加、减、乘、除、乘方、开方）、三角运算（正弦、余弦、正切）以及指数运算和对数运算，这可看作函数的分析概念的第一次扩张。（3）第二次扩张欧拉考虑了“表示任意地画出的曲线的函数”，并称为“随意函数”。而称由算术运算、三角运算以及指数运算和对数运算把变量x和常数结合起来而得到的结果为“解析函数”，并进一步区分“代数函数”和“超越函数”。在欧拉时代，函数的概念已由积分概念而进一步推广了。如由连续函数y=f(x)的曲线与y轴平行的两条直线（一条为x=a，另一条为动直线）及x轴所围成的图形的面积s(x)可用定积分来表示，显然s(x)随x的变化而变化，但s(x)却未必能仅仅由

4、x和常数经过算术运算、三角运算、对数和指数运算而得到的函数表示。这完全是由几何关系而联系起来的，是一个几何学上的函数。在这个时代，几何学中的线分为三类：第一类是能用一句表明曲线本质的话或一个表明曲线本质的等式定义的曲线，如可用“曲线上任一点到定点的距离为常数”这句话来表明圆点本质；第二类与此相反，不能用一句话或一个等式表明其本质的曲线；第三类曲线是由两条以上的第一类曲线构成的曲线。在这三类曲线中，第一类总能用一个解析式y=f(x)或F(x,y)=0表示，其余的曲线都不能由一个解析式表示，从而把表示第一类的解析式y=f(x)看作x的连续函数或真函数，其余的看作伪函数。（4）第三次扩张第三次扩张是

5、由柯西完成的，他将函数定义为：若对x的每个值，都有完全确定的y值与之对应，则称y是x的函数。 按这个定义，不管y是用一个式子表示还是用多个式子表示，只要对x的每个值，有完全确定的y值与它对应，y就是x的函数显然，这个定义远比前述的“真函数”的概念广泛得多柯西还另外给出了连续函数的精确定义，直到今天还在普遍地用着不过，当时柯西认为，对他所给出的定义来说，x和y的函数关系是可以用若干个解析式表示的，然而，x和y的关系能否用解析式表示出来，并没有多大意义黎曼、狄利克雷将这一限制除去而给出了更广泛意义下的函数定义（5）第四次扩张黎曼、狄利克雷的定义是：若对x的每个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立

6、起这种对应的方式如何，都称y是x的函数按照这个定义，即使像下面这样定义的东西仍可说它是函数：f(x)在x为有理数时总为1，在x为无理数时总为0。（6）第五次扩张前面的函数定义，其实都蕴含了一个假定，那就是自变量x总是连续地取值的，x的取值要么是全体实数，要么是全体实数的某一个连续的部分对函数y=f(x)的值没有什么限制，既允许取连续的值，也允许取不连续的值。第五次扩张就是自变量变域限制的取消：函数y=f(x)的自变量x可以不必取a，b中的一切值，而可以仅取其任一部分，换言之，x的取值可以是任一数集，这个集合可以有有限多个数，也可以有无限多个数。取消对自变量变域的限制，对近代函数研究有重大意义，

7、它与集合论的发展相结合，使函数论的研究领域显著地扩大了，使得有可能把函数所具有的种种性质一般化如上所述，解除了自变量及函数的一切限制，它们就成了非常广泛的概念了但是，自变量及函数仍然仅限于数的范围以内维布伦突破了这个范围，使函数概念进一步扩张了（7）第六次扩张维布伦（O.Veblen）等的函数定义是建立在更广意义的变量概念之上的所谓变量，就是代表事物的集合中任一事物的记号。变量是所代表的“事物的集合”，称为该变量的区域或变域。由变量所表示的任一元素，称为该变量的值，而常量是变量的特殊情形，即是上述集合中只含有一个“事物”时的变量。分析维布伦的变量、常量的概念不难看出，这种变量不再限于数，并且弥

8、补了过去的变量包含着一种所谓“变动”的意义的缺点，这个定义是更精确了利用变量的这个定义，维布伦给出了函数的如下定义：若在变量y的集合与另一变量x的集合之间，有这样的关系成立，即：对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，则称变量y是变量x的函数。按照这个定义，x，y可以为数，也可以为点，可以是有形的，也可以是无形的，并且这些元素的集合是连续的或者不连续的均可因而变量和函数的这种定义是极其广泛的（8）第七次扩张第七次扩张突破实数区域上的函数限制，导致集合函数定义的产生：设u是由许多集合构成的集合，若对u的每个元素A，另一集合的集合v中都有完全确定的元素B与之对应，则称集合v是集合u的集合函数。显

9、然，若u、v的元素A、B（都是集合）都是一个元素构成，则此定义就变得与维布伦的定义一致了。长度是线段的函数，随机变量是概率事件的（概率空间上的）实函数等等，这些都是集合函数，这只要把图形、曲线当作点的集合即可所以，集合函数的定义更广泛国内数学教育对于函数概念，常有关系说、变量说、对应说、映射说之论，对照函数的几次扩张，不难找到对应的阶段。关系说就是最初、最朴素、最能反映函数原始本质的函数定义：函数就是一个变化过程中两个变量x、y之间的相依关系。变量说是指在一个变化过程中，有两个变量x，y，如果y随x的变化而变化，那么称y是因变量，x是自变量，因变量就称为函数它对应着函数的第三次、第四次扩张对应

10、说是建立在集合对应基础上的：设M，N是两个集合，f是一个法则如果对于M中的每一个元素x，由法则f，N中都有唯一确定的元素y与它对应，那么称f为定义在集合M上的一个函数映射说是建立在集合映射概念理论之上的，把映射作为已定义概念，把函数视为一种特殊(数集之间)的映射，揭示的是两个数集M与数集N之间的某种对应关系，与对应说没有本质区别。二、 函数概念和思想的本质函数研究的是客观事物在量方面的确定性相依关系它既有普遍性，又有局限性一方面，在客观现实中，到处存在着函数关系；另一方面，变量的相依关系并不都能用函数反映如庄稼的产量与施肥量之间具有一定相依关系，但是，它们之间不存在“唯一确定”的对应关系，带有

11、随机性，因而，这一相依关系不能用函数来刻画，最多我们只能使用经验函数关系近似反映变量是函数的基础，对变量的认识是相对的变量并不都是“客观上在变化运动着的量”，而是我们用运动变化的观点去看待这个量的结果如对式子10t，当用静止的观点去看待它时，t就是一个字母，10t就是一个代数式；当用运动变化的观点去看它，t就是一个变化的量，可以代表变化的时间，10t就是一个t的函数对函数的研究，就是对函数的性态进行研究初等研究包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、特殊点处的函数值、函数图像的变化趋势、函数图像的凸性、函数图像的某种对称性等.高等研究包括连续性、微分、积分、极值等函数思想随着函数概念

12、的扩张也不断更新除了基本的从运动变化和联系的观点看问题，建立函数关系解决问题外，函数思想也是一种对应思想或一种映射思想也就是说，函数思想应看成是用运动变化和集合对应的观点去分析和研究问题中的数量关系、建立函数模型并运用函数的性质求解函数模型从而使问题获得解决的一种思想函数思想是最重要、最基本的数学思想方法之一。有了变量和函数，我们面对大千世界就可以从联系、变化的哲学观点出发，运用变量和函数等工具来思考，进而通过建立变量间的函数关系利用函数的性质和方法来解决问题，这便形成了处理运动变化问题的函数思想我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性，函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事

13、物数量间的相互联系和内在规律。三、 函数概念在教材中的变化从函数概念的演变可知，函数概念的认识也是螺旋式上升到，在不同的学习阶段应该有不同的理解。中小学关于函数的本质的理解应定位在：函数是一种相依关系的反映，是相依关系的数学表示，进而上升到函数是一种对应关系，一种映射。变量说和对应说是最基本最主要的，让学生领会函数是刻画自然界事情物变化相依关系规律的数学模型 函数思想的基础说的建立基础显然是变数的概念用字母表示数，由简单、个别地认识问题上升到一般、概括地考虑规律，是人们思维方式更新的标志，是算术向代数转化的分水岭，是学生建立变数概念的第一站学生在小学时学到加减乘除运算法则，乘法口诀，就体现了运

14、算说，一种对应关系。之后上升到代数，用字母表示数，代数式的值的教学是培养学生对变量的认识、树立初步的函数观念的良好契机数、字母、代数式之间的关系实际上就是数、自变数、函数之间的关系。代数式本身就是代数式所含字母的函数（函数解析说），代数式求值实际上就是给自变数一个确定的值，求对应的函数值。 初中阶段，方程思想是重点，变量之间的关系主要以依存关系体现，如诸多几何中的公式，各种周长、面积和体积公式实质上都是用解析式表示的变量之间的函数关系式如圆的周长是半径的一次函数C=2r，圆面积则是半径的二次函数s=r2，长方形的周长和面积都是长与宽的二元函数C=2(a+b)，S=ab。在定义“成正(反)比例的

15、量”时所说的“两种相关联的量”，实质上就是有函数关系的两个变量在这个基础上，初中的函数概念是变量说，依存关系说，从具体实例中提炼出这样的定义也是非常自然的。高中阶段，对变量的变化关系已经不是非常明确的，甚至难以用解析式表示，于是又上升到对应说。并在初中的基础上对函数的研究内容有所拓展，从具体到抽象，这中变化对学生而言是个挑战。如诸多函数性质的判断和证明，以前只要求直观感受，现在要求代数证明，有些分析的味道。函数概念和性质的学习中，也存在过程与对象、操作意义和结构意义的问题，先把函数作为过程(模型思想观)来学习，到一定阶段上升为对象来看待在高中数学中，讨论偶函数和奇函数时，如果写为f(x)=f(

16、-x)，f(-x)=-f(x)，那么理解起来可能把等号看作是操作意义上的如果这样，自然在判断一个函数是否是偶函数或奇函数时，会想到计算一下f(-x)，看结果变形后是否等于f(x)或-f(x)；也可能理解为结构意义，那就是验证这个等式是否成立我国教材函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学解答从过程中提炼出函数概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面，多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟悉掌握。但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且函数概念引入时间较晚

17、，定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质，以及自身辨证思维能力的发展。    西方各国函数概念的引入一般较早。函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学概念实际问题。它更注重函数概念背景知识的铺垫，重视函数思想和方法的掌握，淡化函数的形式化定义，大多没有给出具体的函数概念，而是将实际应用中的问题与学生的认知结构相联系，以问题解决的形式让学生学习函数内容，应用数学的意识比较突出。四、函数概念教学教材分析1函数定义在教材中是通过初中一些具体函数加以提炼得到，与之前的变量说与依存说有所变化，最大的特点是引入了抽象的记号f和唯一确定的说法。

18、学生的理解表述能否顺利地从之前的定义中提升是教学的难点。2函数概念是中学数学的重点内容，函数概念贯穿中学数学的始终，无论是后续的函数性质研究，还是具体函数的研究，其它章节中函数思想的体现，在教学中都要有这种意识。为了降低难度，教材设计上对函数的表示并非一味强调代数，而是用图像，列表，解析式等多种形式给出，与学生之前的基础衔接。3函数性质的研究，由于采用了对应说，性质的定义和证明都已代数方式呈现，但教材中通过大量实例说明。在逐渐引导学生理解并掌握用代数方式证明函数诸多性质的同时，也特别强调函数的具体呈现。四、 函数概念教学设计由于教师的理解不同，学生基础情况不同，在具体教学中对函数概念的侧重也会

19、有所不同，但都应该从学生的基础出发，从初中的依赖关系、变量关系开始，通过一些具体的实例与教师的设问，帮助学生理解教材中给出的函数对应说的定义。方案一：通过函数的不同表示方式提炼出定义中唯一确定、对应法则等概念的理解，从而帮助学生构建函数概念。例1：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行使时间为t小时，先填下面的表，再试用t的式子表示s. 设问：先填下面的表，再试用t的式子表示s. 事件中有几个数值发生改变的量？有几个数值不变的量？例2：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据。从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出

20、我国人口的变化情况吗？ 1949 - 1999 年我国人口数据表年 份19491954195919641969197419791984198919941999人口数/百万5426036727058079099751035110711771246例3：下图为某市一天24小时的气温变化图。设问：图像中有变量吗？是什么？这两个变量有关系吗？你能写出温度T与时间t的表达式吗？例4：上海的出租车是这样计费的：在不超过三公里的情况下，收取基价12元；超过三公里后，超过部分每公里按2.4元计费设问：在里程不超过三公里的情况下，里程改变，钱数改变吗？这个例子与我们给出的函数的概念矛盾吗？例1，2，3，4分别从

21、函数解析式到变量依存关系到对应关系，学生在教师引导下完成对函数概念认识的提升。方案二：通过一些简单的运算式，变量关系式归纳出函数概念，然后对概念作简单分析，重点在函数运算、解析式等等操练，变量的识别，对应法则及记号f的熟悉等。可通过学生初中已经了解到基本运算组合，然后熟悉求函数定义域、比较对应法则、判断是否为同一函数等。例1：判断下列对应是否为函数:(1) x (2) xy，其中y2=x，(3) xy，其中(4) 狄利克雷函数例2：已知函数f (x) = +（1）求函数的定义域；（2）求f（3），f ()的值；（3）当a0时，求f（a）,f(a1)的值.本例强调对应关系，注重唯一确定性，同时对

22、对应法则f作简单的阐释。方案三：函数的图像表示、解析表示以及列表表示在一定程度上讲是三种函数观（函数是曲线，是解析式，是对应）在高中数学课程中的体现。如果侧重这种观点，函数的教学中对概念不再刻意强调，引入方式可为：实际例子（问题）数学概念实际问题。它更注重函数概念背景知识的铺垫，重视函数思想和方法的掌握，淡化函数的形式化定义，而是将实际应用中的问题与学生的认知结构相联系，以问题解决的形式让学生学习函数内容，应用数学的意识比较突出。这时，可较多从采用信息技术与实例结合。如计算器中对某种运算的输入输出对应，表格的应用，图像的应用等。从一些具体问题中判断函数关系，然后提炼出解析式。还可结合数学史，介绍函数概念的演变，选择学生容易接受的内容和说法，意在说明函数概念本身的发展，我们学习函数概念是在前面关系说和变量说的基础上更进一步。五、 概念教学建议1关于概念教学，已经有很多研究并基本达成共识，主要表现在：(1)注重理解概念的本质及概念本质的多种表达形式；(2)注重在概念体系中掌握概念；(3)注重概念形成教学。教学