北京市高考数学分项精华版专题14推理与证明、新定义(含解析)(一)

1、【备战2015】（十年高考）北京市高考数学分项精华版专题14推理与证明、新定义（含解析）1.12006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示，图中xi,X2,必分别表示该时段单位时间通过路段Ab,?c,Ca的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20,30;35,30;55,50()(Ax1x2x3(B) xix3x2(C) x2x3x1(D) x3x2xi【答案】C【解析】依题意，有xi=50+x3-55=x35,xix3,同理，x2=30+xi20=xi+10x1x2,同

2、理，x3=30+x235=x25x3x2故选C2.12009高考北京理第8题】点P在直线l:yx1上，若存在过P的直线交抛物线yx2于A,B两点,且|PA|AB|,则称点P为“那点”，那么下列结论中正确的是（）A.直线l上的所有点都是“.点”B.直线l上仅有有限个点是“"I点”C.直线l上的所有点都不是“。制点”D.直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“,也点”【答案】A【解析】试题分析：本题采作数形结合法易于求解，如图,设-U出产I二91K工一11,1,；£jt_2打一十一21，r.-T-、L二疗丁且2在上,X'"二同一上一1-J用S-；消去胃,整理

3、得关于工的方程.，J(1),."A-(4阴一D“一4(2k-。=Sk-呜十二。恒成立.二方程恒有实数解，二应透着点工创新题型.|3.12014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人【答案】B【解析】试题分析:用d、B、C分别表示优秀、及格和丁*侬题嵩事件.小5。中都最多只有一个元素，所以只有

4、秘，满足条件若点；合憎推理，中等题.I4.12005高考北京理第14题】已知n次式项式Pn(x)a0xna1xn1an1xan.如果在一种算法中，计算Xo(k2,3,4,n)的值需要k1次乘法，计算P3(xo)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P10(xo)的值共需要次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：Po(x)=ao,Pk+i(x)=xPk(x)+ak+i(k=0,1,2,，n1).利用该算法，计算P3(X。)的值共需要6次运算，计算Pio(X。)的值共需要次运算.【答案】+21：一【解析】试题分析:由题意知道4的值需要k-1次运算即进行t-lrl.V的乘法运售可得到丫的

5、结果对于二口-工-3困KJ口.M-工这里A'=小>-XX¥*进行了?由运国：/上；二/乂豌乂.进行了二次运算*7.进行，次运算济/.4匕1&£二墨之间的加法运算进行了3欷这样脸)总共进行了力十2十1十3=7,运算对于耳(丁)=口二工-空尸+-&篦产-行”;口+门-1.-2+.+1=，二，决乘法运算及，行欠加法运苴所总共进行上L,=3-rfcr一a-V由改进蕾法可知IW(,£)=%R-1(三)十碘！只/、R；(k：)+%一1£S：)=?*：)-口>？(界J=用运算次数从后往前萼和为；2+】+-2=1印次着点，信息题.5.

6、12007高考北京理第20题】(本小题共13分)已知集合aa1,a2,L,ak(k2),其中aiZ(i1,2,L,k),由A中的元素构成两个相应的集合：S(a,b)aA,bA,abA,T(a,b)aA,bA,abA.其中(a,b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的aA,总有aA,则称集合A具有性质P.(I)检验集合01,2,3与1,2,3是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T;(II )对任何具有性质 P的集合A,证明：nk(k 1)14(III)判断m和n的大小关系，并证明你的结论.【高考考点】集合语言的理解，反证法，创新怠识和综合应用薮学知识

7、分析问题、解决问题的能力.【试B析】解：集合盘不具有性质产.集合TL%具有性后P,其相应的集合S和7是5:,7=G，-1）.（2,3.（in证明：苜先，由月中元素梅成的有序数对目,学）共有.因为OJL所以7（f=bZ->又因为当之亡且时e-aAr所以当（巴町”丁时*（日，硝"-8t）.I#0从而，集合中元素的个数最多为1（产-蜀=竺辿，即匕4民与口.一,（m）解=w=n=证明如下:（1）对于（G5）wS'”根据定义，£7edFaJL且04占Ed，从而h）£r.如果（3占）与"，d）是S的不同兀素,那么s=u与占=H中至少有一个不成立'

8、;从而金-弓=与占二/中也至少有一个不成立.故I.H-与仁-出力也是的不同元嘉.可见，$中元素的个数不麴于中元素的个散，即巧M管，（2）对于3乏T*根据定义，&wa,ficJj_&£T-icAt从而（a-2b）eS.如果（小与与（GW）是了的不局元素，那么4=c与占=4中至少有一个不成立，从而在b=w-H与3=d中也丕至少有一个不成立，故S-如拉与s-4吟也是5的不同元素.可见,中元素的个数不多于5中元素的个数，即五工明，由（1）C2）可知，附=3【易偌提起不能正确理解题总【备考提示】教学考法大纲提出：“创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现.”命题时要设计“研究型

9、、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自我探索1发挥主现能动性新题型即创新题型有较好的信度和效度.从而有较好的区分度，能充分考查学生的将创新意识和创造白匕|3因此，在近年高着题中经常出现.本题属于新定义熟勰迁移幽，解这关题的策略是；仔细阅读分析材料，捕捉相关信息，紧扣定义，围绕定义与条件，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理,发现解题方法，始后解决问题.6.12008高考北京理第20题】（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列A:ai,a2,L,%,定义变换工，T1将数列A变换成数列Ti(A)：n,ai1,a?1,L,an1.对于每项均是非负整数的数列B： bi,bm ,定义变换

10、丁2 , 丁2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2(B)；又定义S(B)2(b12b2Lmbm)b12b2Lb；.设Ao是每项均为正整数的有穷数列，令AiT2(Ti(Ak)(k0,1,2,L).(I)如果数列A0为5,3,2,写出数列A,A2;(n)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T1(A)S(A);(出)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当k>K时，S(Aki)S(Ak).【答案】3)解:电：532,不司=月(汇($)印3,工建孤士)心,2,10,UD证明：设每项均是正整数的有穷数列3为公七，一，则看Q0尢露g1111r，1

11、t从而SOX4K=2.42(研T)+3Cfl:-1)c+1)(%-DI-+(做-D：+(的一1尸+(4-Dt又SQt)=2(4-2牝m,)i比+电一,-1'1叮二，所以,5工(一切一发且)=平一一"Si)+x%+口、+-+口)+片一二口-P£7r+-牛口”)+七三一转(犀1)+”-+二-0故5区(用)=50).(出)证明：设A是每项均为非负整数的数列a1,a2,L,an.当存在iWxjW*庚得aWg时，交换救列a的第1项与第J项得至顾到风则s(为5Q。="4+jq-也山)二%力g4)Wo.当停在1W阴Ch使得已1t.i二"二二二0时，可"

12、;S例5，不，.人为C.Br*d-I，则s(G=s(a).所以smc功w"h.从而对于任意给定的政列.k由±T二40(了E二OIL)可知55jJWS(EQ").又由(II)可知5(2；U)>=SQ、J，所以：W;，即对于上百"要么有5口一)=乂4，区必有5(d：_jW5CA)-1.因为友4)是大于二的整敷，所以经过有限步后，必有义$)=义工j)=S(jy)=一.即存在正整数K,当后三K时，(.")=$($)7.12010高考北京理第20题】(13分)已知集合$=XX=(xi,X2,，xn),XiC0,1,i=1,2,，n(n>2).

13、对于A=(ai,a2,，an),B=(bi,b2,，bn)C&,定义A与B的差为AB=(|aibi|,|a2nb2|,，|an-bn|)；A与B之间的距离为d(A,场=abii(i)证明：Va,B,CCS,有A-BCS,且d(AC,B-C)=d(A,场；(2)证明：Va,B,CCS,d(A,B),d(A,C),d(B,。三个数中至少有一个是偶数;(3)设P=S,P中有m晔2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为mnd(Pl,证明：d(P)2(mi)答案：证明：(i)(理(i),文(2)设八=(ai,a2,，an),B=(bi,b2,，bn),C=(ci,C2,，Cn)CS.因为ai

14、,bie0,i,所以|aibi|0,i(i=i,2,，n).从而A-B=(|ai-bi|,|a2-b2|,，|anbn|)e3.n又d(ACB>-C)=|aq|bjg|,i1由题意知4a,o.E。甘工=1,为.js）.当c=o时，|Srl-b-&.|=|a-£）;当4?.=1时,I|a一c|瓦一口11a）一（1一九）|=|配一瓦I.所以d（ACtQ=:卜h广忒品JjJ.kl设户（建，raj*A（B，上,，bj,C=（cjG.，Q£&rfU历=Jbd（A。=工4J=71.记片（5。.，oe由刃zdA=dAA,F©h或&爪4G三巩再一备。

15、一用=小&c-）J-d（ff,0=dg羸C=h.所以|匕二比I（尸L2，刀中1的个数|w一旬|G=1,2，加中1的个数为上谈f是使IL盘|二|匚一a1=1成立的J的个鲂则±=升Ji-2t-由此可知，蛇上,力三个数不可能都是奇数，即成乩初卜前46成吊口三个数中至少有一"b是偶数.、，b3=，仆户/“动.其中4,1（尸挑4引表示尸中所有两个元就瓯自离的总和,U设F中所有元素的第个位置的数字中共有匕个1,lt个V则qHEp/（4切=2依一t）.-1R.由千士（khs匕=1",，Jj,所以力团W=.4从而牙（与二33第P，（4初H驾=.c；4CJ2旧一1）8.12

16、011高考北京理第20题】若数列An： a1,a2,，an (n 2)满足1 aki ak | 1 (k 1 , 2, ,n1）,则称An为E数列。记S（An）aia?L4.（1）写出一个满足aa§0,且S（As）0的E数列A5；（2）若ai12,n2000,证明：E数列An是递增数列的充要条件是an2011；（3）对任意给定的整数n（n2）,是否存在首项为0的E数列An,使得S（An）0?如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。【解析（I）61，21，0是一具满件的（答案不唯一，如b0,1，0也是一个满V条件的E为数列A'（II）必要性.因为E数列工是

17、圉善数列，所以/t-2二.二匕,1999）.所以限是苜项为他公差为1的等差数列.所以立二产12+（20001）Xl=20十）性m由于.：&-：<1,比:一1：二立a：<l3rUAa<19999.即又因1a：=12-4产2011所以比:产比十L909.故&Z4=1>0代=1Tz7以也即&是星增数切.综上，络亦得证。CIII）令q=/n一%=1>0（4：=LZA：*-1）=则=±L因为%=q+6+/=勺+心十三4=鼻+g屯+A4GH4;所以鼠4'=31+（m-1）5+（制2乂？十。一3）Gn+A十七时=一口F拗1）十。PG_2

18、HA71匚QL因为q=±L所以1一公为偶薮信=1人/二鳖所以（1一,）（仙-1）+（1-chXw-H*7丁d士用）为偶数j所以要使S（从J=伉必须使刑：”为偶就即4整除制值一1）二亦即科=4出或孔=4粗41胴jV*）.当科=4加十1（切七.V*时歹山4用顶满足或=0.%1=1，口#=1<Ar=L21A,吟时，有二口工5（4）=0;口a=1（九=L1L。"=口时有,="（4）=0;当m=4m-bl（w?WN*附:碣列4的吭蔺足，日举冬才三°上仪墉-2=T,当科=4m十2或村=4m+i（jkN时.双徵一1）不能被4整除，此时不存在E数列心使得=口3（4

19、）=。.9.12012高考北京理第20题】(本小题共13分)设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记Sm,n为所有这样的数表组成的集合.对于ASm,n,记(A)为A的第i行各数之和(1领Jim),Cj(A)为A的第j列各数之和(1蒯jn);记k(A)为r1(A)2(A),rm(A),|g(A),|q(A),cn(A)中的最小值.(1)对如下数表A,求k(A)的值；110.80.10.31(2)设数表AS2,3形如11cab1求k(A)的最大值;(3)给定正整数t,对于所有的AS2,2t1，求k(A)的最大值.【答案】解1由题意可知图sA|

20、87;1.Lic,|?1r»-1,S二皿=0.7(2)先用反证法证明有工i<ii若力，>iriJ=a-1=-：7-1>1,'.>0同理可知>0由题目所有数和为0割少一占一七一一1,4二11一匕41与题目条件矛盾-<IW11易知当ab0时，kA1存在kA的最大值为1f-1“）轴揄的最大值为二苜先由造满是联工=的=4；）空=1二二二L二二一|t+_i_r-I口:l=收：='-=aLi=Lal,r-l二q-：='=aL：i-l=-71r -r + 1经计算知.a中管个元素的绝对值者阮1、工口所有亓¥_F为:L且小可小丁=

21、二=")1=1>1+-«+Tf-2|匚1（且）口匚1（月）|=1+-=T'，十.，十下面证明三担是最大值，若不然则存在一个数表Aw5*2+1）,庾得kQ%=x>三二r+?r2由支口）的定义如a的母KJ由个数之和由绝对值都不小于天，而两个绝对值不超过1的数的和，具般MB不超过故的每一列两个数之和的缸同值都在间x中，由于；VA1.故4的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于，道且中有g列的列和为正，有2列的列印1为员.由飞称性不虹俄gvL则gVr/3r-L另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行卡为负.考庵T的第一行，由前面结诒知月的第

22、一行卢一个正数和r：Z于T+1个负数，母个正教的绝忖值不超过1即每个正数均不超过L）,每个负部白口他对值不小于K-l1即每个负数均不超过1-工）因此|3（*4）=q（=7+（2上1）（1力=2?+1（r+1>t=x+（2f+-«+2jc）<Xi散H的第一行行和的绝对值小于工，与假设才盾一因此利川的最大值为土已（IbyIFQ10.12014高考北京理第20题】（本小题满分13分）对于数万寸序列P：Mn),(a2,b2),L,(anh),记Ti(P)&bi,Tk(P)bkMaxTki(P)ea?Laj(2kn),其中MaxTk"),4a?Laj表示T-(P)和aa2Lak两个数中最大的数.(1)对于数对序