高中数学联赛二试概念集锦

1、1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。塞瓦定理在ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

2、托勒密定理:指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。西姆松定理:有三角形ABC，平面上有一点P。P在三角形三边上的投影（即由P到边上的垂足）共线（此线称为西姆松线, Simson line）当且仅当P在三角形的外接圆上。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。（1）对于任意三角形ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。到三角形

3、三顶点距离的平方和最小的点-重心。三角形内到三边距离之积最大的点-重心。几何不等式。简单的等周问题。等周定理，又称等周不等式，是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中，以圆形的面积最大；另一个说法是面积相等的几何形状之中，以圆形的周界长度最小。解释：不完全凸的封闭曲线的话，能以“翻折”凹的部分以成为凸的图形，以增加面积，而周长不变一个狭长的图形可以通过“压扁”来变得“更圆”，从而使得面积更大而周长不变。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一

4、定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法:由于复数与平面上的点存在着一一对应关系,所以许多平面几何问题,特别是涉及规则图形(如正多边形、等腰直角三角形、矩形、圆等)的几何问题,都可以通过建立坐标系,利用复数方法求解。向量方法平面凸集、凸包及应用凸集 实数 R （或复数 C 上）在向量空间中，集合 S 称为凸集，如果 S 中任两点的连线内的点都在集合 S 内。 对欧氏空间，直观上，凸集就是凸的。点集Q的凸包（convex hull）是指一个最小凸多边形，满足Q中的点

5、或者在多边形边上或者在其内。右图中由红色线段表示的多边形就是点集Q=p0,p1,.p12的凸包。2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式sin3=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)tan3a = tan a · tan(/3+a)· tan(/3-a)三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。|a|-|b|a±b|a|+|b| (定理)，第二数学归纳法。第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如

6、果： （1）当n1时，命题成立； （2）假设当nk时命题成立，由此可推得当nk+1时，命题也成立。 那么，命题对于一切自然数n来说都成立。第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。递归，递归，就是在运行的过程中调用自己。在数学和计算机科学中，递归指由一种（或多种）简单的基本情况定义的一类对象或方法，并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。例如，下列为某人祖先的递归定义：某人的双亲是他的祖先（基本情况）。某人祖先的双亲同样是某人的祖先（递归步骤）。斐波纳契数列（Fibona

7、cci Sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21. I 斐波纳契数列是典型的递归案例一阶、二阶递归，特征方程法。特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方程等等函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用【柯西不等式】二维形式(a2b2)(c2 + d2)(ac+bd)2 等号成立条件：ad=bc三角形式(a2b2)(c2d2)(a+c)2(b+d)2 等号成立条件：ad=bc 注：“”表示平方根

8、，向量形式|·|，=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)（nN，n2） 等号成立条件：为零向量，或=（R）。一般形式(ai2)(bi2) (ai·bi)2 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=an:bn，或ai、bi均为零.排序不等式设有两组数 a 1 , a 2 , a n, b 1 , b 2 , b n 满足 a 1 a 2 a n, b 1 b 2 b n 则有 a 1 b n + a 2 b n1 + a n a 1 b t + a 2 b t + a n b t a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，tn是1，2，n的

9、任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 = a n 或 b 1 = b 2 = b n 时成立。 以上排序不等式也可简记为： 反序和乱序和同序和.例1在ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinC>= ha + hb +hc解：简单画下图形可知:ha=csinB, hb=asinC, hc=bsinA原不等式即证: asinA+bsinB+csinC>=csinB+asinC+bsinA正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC, a,b,c和sinA,sinB,sinC大小顺序相同排序不等式:顺序和>=乱

10、序和>=反序和asinA+bsinB+csinC(顺序和)>=csinB+asinC+bsinA(乱序和)asinA+bsinB+csinC>=ha+hb+hc复数的指数形式，欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，它只适用于简单多面体。常用的欧拉公式有复数函数eix=cosx+isinx，三角公式d2=R2-2Rr ， 物理学公式F=feka等。欧拉公式，特殊的：分式分式里的欧拉公式：

11、ar/(a-b)(a-c)+br/(b-c)(b-a)+cr/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c三角公式三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d2=R2-2Rr 拓扑学里的欧拉公式：V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数棣莫佛定理，把复数用三角式（具体参见复数）表示：c=r(cosa+isina)或者表示为：r(cos+isina) 的n次方根n次根号下r×cos(a+2k)/n)+isin(a+2k)/n)其中k=0,1,2.n-1单位根，单位根的

12、应用。单位根（unit root） 设n 是正整数，当一个数的n 次乘方等于1 时，称此数为n 次“单位根”。在复数范围内，n 次单位根有n 个。例如，1、1、i、i 都是4次单位根。确切的说，单位根指模为1的根，一般的xn=1的n个根可以表示为: x=cos(2k/n)+sin(2k/n)i ，其中:k=0,1,2,.,n-1 ，i是虚数的单位。圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。从n个不同元素中不重复地取出m（1mn）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。计算公式：n个不同元素的m-圆排列数为

13、60;       n!/(n-m)!*m特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数为      （n-1）！。 一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。高斯函数的形式为：其中 a、b 与 c 为实数常数 ，且a > 0.c2 = 2 的高斯函数是傅立叶变换的特征函数。这就意味着高斯函数的傅立叶变换不

14、仅仅是另一个高斯函数，而且是进行傅立叶变换的函数的标量倍。费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且Gcd(a,p)=1，那么 a(p-1) 1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。欧拉函数:在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、函数、欧拉商数等。 例如(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。孙子定理:若某数x分别被d1、dn除得

15、的余数为r1、r2、rn，则可表示为下式：x=R1*r1+R2*r2+Rn*rn+R*D其中R1是d2、d3、dn的公倍数，而且被d1除，余数为1；（称为R1相对于d1的数论倒数）R1、R2、Rn是d1、d2、dn-1的公倍数，而且被dn除，余数为1；D是d1、d2、的最小公倍数；R是任意整数（代表倍数），可根据实际需要决定；且d1、d2、d3、dn必须互质，以保证每个Ri(i=1,2，n)都能求得.（注：因为R1对d1求余为1，所以R1*r1对d1求余为r1，这就是为什么是R1对d1求余为1的目的，其次，R2*r2,R3*r3Rn*rn对d1求余都是0）无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其

16、步骤为： 假设方程有解，并设X为最小的解。 从X推出一个更小的解Y。 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。同余是数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即m|(a-b)，那么就称整数a与b对模m同余，记作ab(modm)。对模m同余是整数的一个等价关系。用欧几里德算法（辗转相除法）求两个正整数的最大公约数。 先将其中较大的数除以较小的数，如果余数为0，则其中较小的数就是所求的最大公约数，如果余数不为0，就用较小的数再去去除以余数，再看余数是否为0，这样一直做下去，直到余数为0为止，此时除数就是所求的最大公约数。例：48,64 64÷48=116

17、 48÷16=3 所以16即为48和64的最大公约数。3、立体几何多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体，欧拉定理。3 体积证法。截面，会作截面、表面展开图。4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。· 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。· 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。· 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有

18、PA·PB=PC·PD· 定义：圆幂 ·· （称为P点对圆O的幂）· 符号：圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。1· 合），则有 ·· 考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交O于M、N，R为圆的半径，则有 ·· 根轴：在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。· 另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。·5、其它抽屉原理。桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我