量子信息技术-第二章

1、一、量子态的不可克隆定理一、量子态的不可克隆定理(Non-Cloning theorem) 由于量子力学的态叠加原理，量子系统的任意未知量由于量子力学的态叠加原理，量子系统的任意未知量子态，不可能在不遭破坏的前提下，以确定成功的概率被子态，不可能在不遭破坏的前提下，以确定成功的概率被克隆到另一量子体系上。克隆到另一量子体系上。证明证明1 假定存在理想克隆机，它的幺正变换为U。克隆机的初态为ABSUABABABSUS1.量子态的不可克隆定理量子态的不可克隆定理假定存在某两个纯态 ，那么,ABABUSABABUS取这两个方程的内积，得2 由此可得0 或者1 这就是说，要么被拷贝的态 相同，这对拷贝

2、来说是平庸的；要么被拷贝的态 相互正交。于是，一架以幺正变换的方式，即概率守恒的、也即以不含测量环节的方式运行的克隆机，只能克隆相互正交的量子态。,肯定成功、绝对准确并概率守恒的任意态克隆机肯定成功、绝对准确并概率守恒的任意态克隆机是不存在的是不存在的!对量子态运算的线性要求和概率守恒要求，导致了不可对量子态运算的线性要求和概率守恒要求，导致了不可克隆。克隆。证明证明2 对两能级两体AB系统的任意态，态的理想克隆应为12sss，总有0ssAs sA特别地，对两个基矢态 而言，应当有12,ss10111ssAssA20222ssAssA对克隆过程有两种理解：对克隆过程有两种理解：1)按态叠加原理

3、有0120sAssA111222ssssAssA(1)2)若任意态可克隆，有0ssAs sA 1212sABssssA221 11 22 12 2ss ss ss ss sA(2)如果 不同，(1)右边出来的应是混态；假如相同，将是纯态 。与此对照，(2)右边出来的总是个纯态。且(2)中 是(1)中所没有的。此外，(1)和(2)两种结果对原先态中系数 和 的依赖关系分别为线性的和非线性的，也不相同。12,ssAA1122ssss12ss量子态的不可删除定理：量子态的不可删除定理：由于量子态的线性性质，不容许人们理想地、真正地删除任意量子态的副本。证明证明 想删掉一个未知量子态，理想的实现办法是

4、去定义一个和标准量子态做交换的交换操作。而理想的量子删除机应当是这种采用交换操作来实现删除的线性量子变换：当两个相同任意态输入时，留下一个而让另一个转为标准（“置零”）态。一方面，对任意信息态 和它的副本，总有sss sAsA2.量子态量子态的不可删除定理的不可删除定理(no-deleting principle)另一方面，如果两个输入态不相同，删除机就让它们通过。于是，删除机的工作变换为HVHHAHAV VAVAH VAH VAVHAVHA假定任意输入态-信息态为HV22AHHV VHVVHA 删除过程有两种理解：1)22HVHAVAHVVHAout2)outAHVA 这两式完全不同。其一，

5、对 态的依赖关系不同；其二，系数 是任意的，但现在关于它们的依赖关系也不同。, 3.普适量子克隆普适量子克隆Buzek 和 Hillery于 1996 年发表的文章中指出对于任意量子任意量子态的确定性近似克隆是可以实现的态的确定性近似克隆是可以实现的，并且建立了普适量子普适量子复制机复制机。普适量子复制机不依赖于输入态，并能以一定的保真度实现对任意未知量子态的复制。Buzek 和 Hillery给出的1 2普适量子克隆机，具体演化形式如下2100 0 1033R M2111 1 0133R M11 00 12其中 是辅助量子位， 是任意选择的参考态MR对于任意的输入态 ，可得012136R M

6、 其中10从上式可以看出对于任意的输入态 都进行了非完美的复制，最后得到的克隆态为5166AB其保真度56ABAFF 这样就实现了对任意未知量子态的克隆。4.概率量子克隆概率量子克隆量子演化的线性决定了两个非正交的量子态不可以克隆。在量子力学中，并不是所有的过程都能用幺正算符来表示，比如测量，测量测量是一个典型的非幺正演化过程。1998 年，段路明和郭光灿提出了概率克隆方案。他们把幺正幺正演化和测量结合起来演化和测量结合起来，使非正交态可以通过一个幺正塌缩过程来精确克隆。概率克隆定理概率克隆定理：从已知的态集合 中随机选择态 ，如果此态集合中这些态之间线性无关。那么 能够以一定的概率被精确克隆

7、。12,nSii文献证明了存在幺正演化矩阵U 满足001njiiiiijABjjUPPcP 演化完成以后对探针位P 进行von Neumann测量，如果探测到 态则克隆成功，那么就会得到两个与输入态完全相同的拷贝。如果探测到 态则克隆失败，得到的态 ，应该丢弃。0PjPjAB 是概率克隆机成功产生初态拷贝的成功率，将是概率克隆机成功产生初态拷贝的成功率，将 定义为克隆系数。定义为克隆系数。 代表了克隆机的克隆效率。代表了克隆机的克隆效率。 越接近越接近 1 表示效率越高。表示效率越高。希望设计这样一个克隆机，使得它具有最大的克隆效率，并且该效率与具体的输入态无关，这样的克隆机叫最佳最佳量子概率

8、克隆机量子概率克隆机。如果输入态只有两个态 ，可以证明量子概率克隆机的最佳效率与输入态之间有如下的关系：12,1212121 可以看出只有对于输入态是正交的情况，其效率才能达到 1，这也保证了传送两个非正交态的量子密码体系的安全性。特例二、量子隐形传态二、量子隐形传态(quantum teleportation)1.单量子比特态量子隐形传态单量子比特态量子隐形传态粒子2、3构成Bell基，它是A、B之间的量子通道粒子1处于信息态111012323101102于是三个粒子所组成的系统的总状态为12312312300101010111022 送收信双方共同拥有量子纠缠态，通过无噪声经典信道确保能够

9、无误地传送2个经典信息，实现正确无误地传送1个qubit的量子状态的过程，该过程称之为量子隐形传态量子隐形传态。用四个Bell基对粒子1、2的状态进行测量，得到123331212101012 3312121010 原则性操作：1) A 对粒子1、2做 Bell 基测量；2) A 用经典办法广播所得的测量结果；3) B 根据 A 广播，决定对粒子3做相应的幺正变换，实现13考虑粒子1和2的四个Bell基121210110212121011123) A测得 ，B对粒子3施以 变换即得待传态12x310 x3014) A测得 ，B对粒子3施以 变换即得待传态12yiyi310301具体操作：3301

10、01z123331212101012 3312121010 12z2) A测得 ，B需要对粒子3施以 变换即得待传态121)A 测得 ，B不必做任何操作即可获得待传态；利用Hadamard操作和Cnot操作重写teleportation过程。第二题作业！第二题作业！说明说明:1) 此过程不违背不可克隆定理。A 处粒子1在测量后已不处于原来状态。过程只是待传态转移(从1到3)，不是待传态的复制。2) 不存在信息的瞬间传递。B必须等候收听A测量的结果，所以没有违背狭义相对论原理。3) 也可以通过这样的方式来完成隐形传态：即送信者A 先对自己的两个qubit进行Cnot操作，随后对载有待传态的qub

11、it进行Hadamard门操作。23中的中的 qubit 2例：设送信者A希望通过隐形传态的方式将状态 传送给收信者。01102323100112Cnot1231231000011212312310000112H-gate1231231000112H12312312312310000111001112解：紧接着送信者A 将自己拥有的2个qubit用2 qubit态矢空间的基底 进行测量。00 , 01 , 10 , 111200120112101211303310 x303310 x123123123123123100001110011124) 量子隐形传态与量子高密度编码的比较一、1997年

12、，奥地利蔡林格小组在室内首次完成了量子态隐形传输的原理性实验验证原理性实验验证。三、2004年，中国科大潘建伟、彭承志等研究人员开始探索在自由空间实现更远距离的量子通信。在自由空间，环境对光量子态的干扰效应极小，而光子一旦穿透大气层进入外层空间，其损耗更是接近于零，这使得自由空间信道比光纤信道在远距离传输方面更具优势。这个小组2005年在合肥创造了13公里的自由空间双向量子纠缠分发世界纪录公里的自由空间双向量子纠缠分发世界纪录，同时验证了在外层空间与地球之间分发纠缠光子的可行性。四、2007年开始，中国科大清华大学联合小组在北京八达岭与河北怀来之间架设长达长达16公里的自由空间量子信道公里的自

13、由空间量子信道，并取得了一系列关键技术突破，最终在2009年成功实现了世年成功实现了世界上最远距离的量子态隐形传输界上最远距离的量子态隐形传输，证实了量子态隐形传输穿越大气层的可行性，为未来卫星中继的全球化量子通信网络奠定了可靠基础。 二、2004年，这个小组利用多瑙河底的光纤信道，成功地将量子态隐形传输距离提高到600米米。但由于光纤信道中的损耗和环境的干扰，量子态隐形传输的距离难以大幅度提高。 国内最新进展中科大和清华大学的联合研究小组实现16公里的自由空间自由空间量子隐形传态北京八达岭到河北张家口市怀来县2.量子纠缠的超空间制造量子纠缠的超空间制造(quantum swapping) 设

14、送信者A在具备量子隐形传态的基础上希望把某一状态表示的信息传送给收信者B，但 A 与B 之间并没有直接共同拥有Bell状态。 如果此时在A与备制中心C之间，及B与备制中心C之间已分别共同拥有相同的Bell状态。这种情况下使得A与B之间间接地共同拥有Bell状态，称之为纠缠状态交换纠缠状态交换。理论方案：理论方案： 开始粒子1、2处于纠缠态 ；粒子3、4处于另一纠缠态 。其中粒子2、3位于C处，1、4分别位于A、B处。整个系统处于量子态1234123412341011001102C 对粒子2、3做Bell测量，产生相应纠缠分解和塌缩，这相当于用四个Bell基对这四个粒子系统上述态重新做等价地分解

15、12341423142312 14231423 1) 这里1和4粒子之间并没有直接的相互作用，而是当 C 对粒子2和3做Bell测量时，通过2和3两粒子纠缠，以间接方式纠缠起来的。注意：注意：4) 1998年，量子交换实验-量子纠缠的超空间转移实验首次实现。2) Entanglement swapping也可以通过这样的方式实现：C对粒子2和3进行Cnot操作，再做Hadamard门操作。3) 利用纠缠状态交换原理能够构成关于利用纠缠状态交换原理能够构成关于qubit的交换机。的交换机。3.多目标共享量子隐形传态多目标共享量子隐形传态设粒子1处于未知的信息态11101而粒子2、3、4和5事先制

16、备在GHZ态上234523451000011112Alice对粒子1和2做Bell基测量12345345121000111234512000111 34512111000 34512111000 根据测量结果，对粒子3、4和5进行幺正操作，可以将粒子3、4和5转换成345345345000111从而完成开目标的隐形传态11101345345345000111注意：注意：这是量子理论空间非定域性明显体现。这是量子理论空间非定域性明显体现。 信息 含在三个粒子3、4和5的态上。就是说， 以非定域的方式联合储存在三个不同的空间位置上。、4.可控的量子隐形传态可控的量子隐形传态 可控量子隐形传态过程就

17、是允许可控量子隐形传态过程就是允许Alice和和Bob之间进行一之间进行一个未知量子态的传送，在这个方案中除了个未知量子态的传送，在这个方案中除了Alice和和Bob，还有，还有第三个控制方第三个控制方Charlie。 为了实现可控隐形传态，Alice、Bob和Charlie之间必须事先共同分享一个纠缠的量子通道，即GHZ态，如果没有三者都同意，是无法进行量子隐形传态的。假设要传送的量子态为Alice、Bob和Charlie共享的三粒子GHZ态作为量子通道：01DDD2211GHZ0001112ABCABC系统所处的量子态为：1GHZ010001112DABCDABC 1001100112BC

18、BCADAD 11001100BCBCADAD 具体步骤：具体步骤：a)Alice首先采用能识别Bell态的装置对粒子A和D进行Bell态测量；假设测量的结果为ADb)测量之后，Alice通过经典通道告诉Bob测量结果；粒子B 和C 将塌缩到量子态0011BCBCBob和Charlie共享一个纠缠态，如果没得到Charlie的同意，不管Bob对自己的粒子做什么幺正变换都不可能完全获得Alice希望传送的量子态。因此合作方因此合作方Charlie起到控制的作用！起到控制的作用！c) 假设Charlie同意Bob获得信息，她可对自己的粒子C作一个幺正变换，即对自己的粒子作一个Hadamard门变换

19、。010011BCCCBBd) 接着Charlie对粒子C作正交测量，并把结果告诉Bob。01BBB当结果为 时，Bob手中的量子态为0C至此，完成了可控的量子隐形传态！5.概率量子隐形传态概率量子隐形传态 在Bennett 等人提出的标准量子隐形传态方案中，采用最大纠缠态作为量子通道来传送未知量子态，隐形传态的成功率必定会达到100%。 但是在实际中由于量子态和周围环境的耦合是不可避免的。所以，作为量子通道的这些最大纠缠态在制备过程中会受到上述及其它因素的影响而很难得到，最终粒子对处于部分纠缠或非最大纠缠态。因此，运用部分纠缠态作为量子通道就具有很大的实际意义。假设Alice和Bob拥有的两

20、个粒子被制备为部分纠缠态：23230011ab粒子2属于Alice，粒子3属于Bob。设要被传送的粒子1处于未知量子态，她要将这个量子态传送个Bob101这三个粒子体系的复合波函数，即量子态可表示为 123123123010011ab123123123123000011100111abab具体过程：具体过程：a) Alice对粒子1和2实施Bell态测量，那么Bob所拥有的粒子3就会塌缩到如下之一的量子态1212331012ab1212331012ab1212331012ab1212331012abb)Alice将她所测量的结果通知Bob，Bob就会得到相应的粒子3的塌缩态。比如，Alice测

21、得的结果为 ，则对应的粒子3的量子态为1212312331012ab c)为了得到Alice希望传送的量子态，Bob必须引进一个辅助粒子，其初始态为 。0aux在 下，粒子3和辅助粒子构成的量子态为333300, 10, 01, 11auxauxauxaux33110100220auxabab对粒子3和辅助粒子共同进行幺正变换222201001000001100bbaaUbbaa 2211002201Ubabbbaa粒子3和辅助粒子的量子态演化为223,3331101011122auxauxauxbbaad)对辅助粒子进行von-Neumann测量。如果辅助粒子处于 ，则量子隐形传态过程成功；

22、反之，则失败，没有获得粒子1的任何量子信息。0aux三、量子密集编码三、量子密集编码 利用量子纠缠态实现量子密集编码，能够实现利用量子纠缠态实现量子密集编码，能够实现1个个qubit传送传送 2 bit经典信息。经典信息。 假设送信者A希望送2 bit 的经典信息给远处的收信者B。此时送信者A仅仅只能利用惟一的一个qubit向收信者B传送信息，那么如何才能把2 bit的信息代换成1 qubit编码进行传送呢?首先：送信者和收信者分享Bell态100112ABAB1.量子密集编码量子密集编码其次：送信者A 对应于自己想要发送的信息，在自己拥有的qubit上实施如下的操作。希望发送的信息对送信者拥

23、有的qubit实施的操作00011011什么操作也不施加施加X-gate操作施加Z-gate操作施加X-gate操作和Z-gate操作送信者A通过上述操作，这个纠缠状态由Bell态变化成下列状态希望发送的信息00施加操作后的纠缠态01X 1001Z ZX 最后：送信者A在对自己拥有的qubit实施操作以后将自己拥有的qubit传送给收信者B，此时收信者B拥有的qubit对的状态依赖于送信信息，取不同的Bell态。Bell态 构成正规直交基底，因此通过基于Bell态的测定，收信者能够正确地(即概率为1)知道qubit对的状态是4个状态中的哪一个，并能获取送信者发来的信息。,注意：注意： 量子密集

24、编码的特征是：即使送信者送出的qubit被收信者以外的第三者截获，截获者也无法得到正确的信息。此时即使单独测定送信者此时即使单独测定送信者A的的qubit，也只能概率为，也只能概率为0.5地地获得获得0或概率为或概率为0.5地获得地获得1，即收信者只能够等概率地获即收信者只能够等概率地获得得0或或1，从这样的测定结果，从这样的测定结果无法判断所截取的信息，所无法判断所截取的信息，所以信息能够被完全的保密。以信息能够被完全的保密。101102ABAB1011001 10122A 例如，在传送2个bit为11信息的场合，施加X-gate演算和Z-gate演算Z X 后，送、收信者的qubit对状态将变成2.采用量子比特的通信界限采用量子比特的通信界限 如果送收信者之间存在一个能够传送qubit且不产生误码的信道，为了使送信者能够送出 n 个bit的信息，送收者之间需要采用几个qubit来实现送收较为妥当?定理：定理：假设假设A有有 n 个个bit的信息要传送给的信息要传送给B。如果。如果A和和B不共有纠不共有纠缠状态，且无论是从缠状态，且无论是从A到到B或是从或是从B到到A，双向都可以无误地传，双向