经济学中的数学改2

1、河 北 科 技 大 学个性发展教育报告学生姓名： 周嘉楠 学 号： 111005130 学 院： 理学院 专 业： 数学与应用数学 项目题目： 经济学中的数学 2014年 11 月 10日 2014年 12 月21日经济学中的数学个性发展教育目的通过研究数学在经济学当中的发展，来体会数学在经济学中广泛与深入的的应用及其重要性，并且培养与锻炼我们在日常生活中将数学应用到经济学中的意识。个性发展教育介绍近30年来，数学作为一门“经济学语言”兴起了。今天的经济学家在从事经济研究的时候都会把数学作为一种必备的工具，无论他们是在用统计数据来表达现实世界的变化发展趋势，还是在发展完全抽象的经济制度。本文将

2、对数学在经济学中的发展与应用进行更加深入的介绍。从最基本的层面上看，数学是我们围绕相关的经济变量得出经验性命题的依据。利用统计技术，经济学家把来自现实世界的原始数据加工成上面提到的需求函数和需求弹性那样的抽象数学表达式。进一步讲，这种统计关系一旦形成，就能够与同类型的其他关系相关联，这使经济学家逐步构建起了一个由各种相互联结的关系组成的整体关系网，有了这个关系网，经济学家就能对那些相互之间只存在间接性关系的经济变量进行推断。通过了解经济学在数学中的不断发展与深入，可让我们了解数学在经济学中所占有的重要地位，并且培养我们在经济学中使用数学的能力。一数学在经济学中的发展自从亚当·斯密（A

3、dam Smith,17231790年）创立了古典政治经济学之后，经济学的理论名目繁多，也各有不同程度的数学化，不过占主流地位的是：1.1 古典政治经济学时期（1776-1870,主要人物是亚当·斯密，大卫李嘉图和穆勒（Mill，）穆勒亚当斯密穆勒在他那本政治经济学原理中说，就一般原理而言，价值与价格理论已完全阐明，再也没有可增添到东西了。他的生产成本是价格的基础，竞争的市场价格自发地调节供求关系，形成均衡，这就是所谓的“看不见的手”。在古典政治经济学的基础上，马克思发展了“劳动价值理论”，而西方经济学则发展了一句市场供求关系而产生的均衡价格理论，一次来解释市场价格的决定和变动的问题

4、。同时，他们认为价格的调节使资源配置达到最优化，从而市场机制是完善的。西方经济学家一直有倡导自由放任主义的学派。但是从数学上进行定量分析以及严格证明则是比较近期的事。1.2 从边际理论革命到新古典经济学（1870-1930）1870年左右，英国数学家，逻辑学家杰方斯（Jevons，W.S.,1835-1882）,奥地利经济学家门格尔（Menger, C. , 1840-1921），瑞士经济学家瓦尔拉（Walras, L. , 1834-1910）大约同时发动了这场边际理论革命，同时正式宣告数理经济学的诞生。虽然历史上边际概念几数学应用都可以追溯到更早，但正是他们第一个把经济孤立起来使得它成为数

5、学可以处理的对象。边际理论完全根据市场交易及货币交易来说明价格变动原因，而对生产及劳动的因素均不考虑自然摆脱来古典的劳动价值论，从而使问题大大简化。这样瓦尔拉就提出他的一般均衡理论。这不但说明来完全竞争经济学中市场如何自动调节，而且建立来数理经济学第一个可以独立研究的题目。最后马歇尔集其大成，其著作经济学原理自1890年出版以来，多次再版，成为西方经济学的经典，被称为新古典经济学，与后来的凯恩斯（Keynes, J. , 1883-1946）经济学对比也可称为微观经济学。正是马歇尔，首先把“政治经济学”中的政治两个字去掉，使经济学成为一门独立的科学。微观经济学是整个经济学的基础，它以单个市场的

6、经济行为以及相应的经济变量为研究对象，主要是供给者（厂商或企业）和消费者（买方）。厂商要通过把一定量资源分配在各种商品生产上以取得最大利润，而消费者则要把有限收入分配在各种消费上以取得最大满足。因此供给和（消费者的）需求就是微观经济学的关键词，而它的中心问题是价格如何决定，经济学的答案是通过市场需求均衡，也就是需求量等于供给量时形成市场价格，这样就给数学提供了用武之地。瓦尔拉实际上就是这么做的。他把m种商品数量，m种商品价格，n种劳务量，n种劳务价格，通过2m2n1个方程联系起来由于2m2n个变量有一个不独立（即可设它为1），因此有2m2n1个独立变量，2m2n1个方程，这样这个问题有解，瓦尔

7、拉从而证明一般均衡存在。不过，他的这种数学并不严格。其后百年间，通过拓扑学，首先是布劳维尔（Brouwer, Jan, 1881-1966）证明的不懂点定理才使一般均衡理论真正建立起来。1.3 凯恩斯革命（1930-1970）凯恩斯19世纪末的垄断的发展打破了完全竞争的格局，10世纪20年代末开始的大萧条使以往的经济学说无法解释。凯恩斯从理论上，政策上及方法上进行三方面的革命：理论上批驳自由主义经济学的两大原则，一使萨伊（Say, J.B. , 1767-1832）定律，也就是供给能自动创造需求，有卖的就有买的。一是利率自动调节，使社会储蓄及投资平衡。有这两点保证，满足需求就可以确保充分就业并

8、避免经济萧条，由此自由市场经济可以自发顺利发展。客观事实打破了这个深化，凯恩斯承认自由市场经济并非如此和谐，失业及生产过剩是经济活动中常存在的问题，从而造成有效需求不足。于是他在政策上提出国家进行干预，必须有宏观财政及货币政策来刺激需求以及调节经济。在方法上就必须从国家整体上考虑，首先从国民收入总量出发研究问题，因此常称为宏观经济学。第二次世界大战后形成的主要经济思想流派是新古典综合派和新剑桥学派。前者的代表人物是萨谬尔逊他的“综合”是综合凯恩斯的理论及马歇尔的微观经济分析方法和生产要素的分析，首先提出经济学界现在通用的数学分析方法，他还最早在1955年把线性规划引进经济学。另外，哈罗德及多马

9、海拔凯恩斯的静态分析及短时分析长期分化，动态化，形成著名的经济增长模型。新剑桥学派代表人物是罗宾逊等“凯恩斯左派”，他们自认为是凯恩斯学派的正统，单独研究价值论和分配理论，为凯恩斯宏观经济学创立了微观基础。1.4 经济学的多样化20世纪60年代末遇到了前所未有的通货膨胀以及失业同时并存的“滞涨”局面。无论是古典经济学或是凯恩斯经济学都不能解释这种现象。于是1967年开始出现“货币主义”的经济理论，对英语凯恩斯革命被称为“货币主义反革命”。特别是“自然失业率”甲说与“合理期望”假定的结合，形成了第二代“新古典宏观经济学”的模型。从而得出：任何需求管理政策不会产生实际效果，任何系统的经济政策将只影

10、响通货膨胀率，而不影响实际产值增长率或失业率，但不系统也就是错误但经济政策则会造成私营经济部门但不确定性。因此，他开出解决通货膨胀问题但处方：以固定年率扩大货币投放量，对失业率不闻不问。因按照弗里德曼假定，经过一定时期，失业率会趋于自然失业率。从60年代起一系列发展中国家经济的起飞刺激了经济学由静态向动态对发展。另一方面，部门经济学尤其是金融经济学成为热门，其中，数学起了决定性作用。90年代，随着技术进步以及国际互联网的形成，高技术经济成为经济发展的领头羊，而这种情况很难用传统经济学解释。新兴产业的指数增长，国际大公司的兼并浪潮以及泡沫的出现等都有待遇经济学通过数学，统计，计算机工具加以研究。

11、从微观经济学所用都数学工具来看，首先是微分法。19世纪，微分法最先应用于热力学，同时经济学家也注意到之一工具对经济学的用处。但直到边际革命后，微分及导数的概念才成为表达古典经济学的最佳手段。其后经济量逐步抽象，从据体量如价格到有效函数，得出边际效用递减规律以及序数效用理论，及无差异曲线分析。到50年代，经济学已经成为行为与决策理论。当前到微观经济学主要内容如此，而数学工具则为线性规划理论和对策论。计量经济学是弗里希等人以统计学为基础创立到，其主要课题是对各种经济量指尖的关系提供分析方法，按照经济量之间的关系，分为因果关系的分析，平衡关系的分析，相关关系的分析以及随时间演变的分析四个范畴。到20

12、世纪60年代末开始对几百个方程对大宏观经济模型进行预算，70年代初利用最优控制方法求出经济发展对最优途径。由于多数情况下预测效果及给决策者提供方案的不理想导致论数学工具的改善，特别是引进时间序列分析大大减少模型变元的数目。弗里希改进与推广传统模型，建立为发达国家短期政策所用的模型，目的是以固定收入，不定收入以及财富为独立变元的消费函数。近十年来，各种改进都是增加变元因素，方程越来越复杂，使结果更加符合实际。在这个过程中，以前老的一些概念需要更加精微化：尤其是闵色尔等人引进的“人力资本”概念。以前劳动力只不过使经济学中的简单变元，尔技术进步以及生产的复杂性增高，劳动者的教育与生产率及收入大有关系

13、，教育也成为一种投资，由此教育经济学成为重要的课题。二 金融与数学就在十年前，对于我国大多数老百姓来说，金融不过使人命币，银行，存款乃至通货膨胀之类的事，十年后金融这个领域以及牵动许多人的心。1990年底，我国开办股票交易，不过七年，股民已达两千万，而到1998年，更多人关心人民币会不会贬值等。金融这个领域数学学家的作用已处于举足轻重的地位。2.1 金融及货币的稳定性金融是实行从储蓄到投资的过程，狭义的可以理解为金融是动态的货币经济学。由于商品市场的发育，导致了货币的发行和银行的产生，并且产生了最早的金融交易，也就是最早的金融市场。金融交易的基础就是货币价值的稳定，而问题在于货币的价值很难稳定

14、。而资本主义发展初期，就曾千方百计地使币值稳定。保证币值的稳定性的主要措施当然是用贵金属铸币。16世纪西方采用两种金属铸币复本位制，即可用金，银铸币。但是由于金银比价保持固定以及铸币成色降低，其价值总是低于票面价值，导致了最在的金融风波。19世纪40年代起，世界各国开始实行金铸币本位制来代替两种金属的双轨制，其实质是：1. 各国货币与黄金挂钩；2. 实行固定汇率制；3. 银行卷与黄金自由兑换；4. 黄金成为主要的储备资产；5. 黄金自由流通，自动矫正国际收支平衡；由于金本位制度的优越性，导致资本主义世界近半个世纪的繁荣。但是这种制度是通过固定汇率和黄金自由兑换及流动来保证的，由于第一次世界大战

15、战前扩军备战，战后通货膨胀，不得不让位于金汇兑本位制，即银行券，只能购买外汇，而去只能在国外兑换黄金。由于1931年经济危机兑换黄金，到1933年美国不得不宣布停止兑换黄金，至此金本位制彻底瓦解。2.2 国际货币体系的两次变革第二次世界大战后，国际货币体系实行了两次变革：第一次是1944年布雷顿森林体系，他的特点为：1. 美元与黄金有固定比价（1美元等于35盎司黄金）；2. 参与国货币与美元保持固定汇率；3. 国际收支逆差可向国际货币基金组织贷款或通过调整汇率取得平衡；由于以美元为中心的世纪货币体系存在，弥补黄金不足以及汇率相对稳定使得国际贸易有了很大发展。但是美国的国际收支会对美元的供求及价

16、格产生很大的影响，从而产生美元的信任危机，尤其是大量发行美元使得各国通货膨胀，从而导致上世纪70年代初布雷顿森体系瓦解。而后1976年便出台来牙买加体系，其主要特点是国际储备货币多元化和汇率浮动制。这样，各国货币坚挺与疲软比较敏感地反映各国经济实力和变化趋势。三 金融对数学的需求这样一种多元国际货币体系马上就向人们提出一系列问题，而这些问题的解决要比黄金或美元为中心的货币体系复杂得多，显然数学是不可少的：对于发达国家或发展中国家，如何分配国际储备货币？具体说黄金、美元、英镑、欧元、日元等应各占多少？汇率自由浮动后，汇率等风险大大增加，如何去规避？随着全球经济问题变得十分复杂，；使得20世纪70

17、年代以来，金融在经济中的地位变得举足轻重，而且经济形势的变化完全超出传统经济学等预料之外。借助于数学，经济学不但要去科学地解释世界，而且还要通过创新来改造世界。人们开始主动的规避及化解风险，甚至从中渔利。3.1 金融经济学的四大特点定量：一说到货币，股票不定量不行，更不用说现代各种金融衍生工具了。以股票为例，只说涨落无济于事，必须说涨多少落多少，涨落的速度和频率如何？没有数学工具，起码是微积分和函数很难讲清楚的。随机：金融与产品经济不同，产品经济还可用决定向模型，金融就得用概率模型，金融经济需要用较为困难的概率论。动态：一般产品或整个市场的经济，首先研究静态也就是均衡理论，第二步才是动态，到2

18、0世纪中期才发展出成长经济学，发展经济学等。可是，股票市场瞬息万变，研究它就要用随机过程理论。这个理论到20世纪中期才定型，而且属于当前的前沿数学。例如，随即分析、随机微分方程等。优化：金融市场极为复杂多变，怎样回避风险同时获取最大利益，不经认真分析是不行的。二战后发展的运筹学是专门研究各种情形下优化的理论，其数学也是不简单的，它与计算机相结合，对于金融数学的发展至关重要。由于金融的这些特点，金融经济理论有一定难度，特别是需要比较深刻的数学。而金融经济的发展以及宏观财政金融政策的制定就更需要数学的支持，而且在发展金融数学的同时也需要推动数学的发展。3.2 金融理论的发展谈到现代金融理论，那是从

19、上世纪50年代开始的。其中许多有贡献的专家都荣获诺贝尔经济学奖。金融理论的一个基本定理是莫迪利亚尼和米勒在1958年得出的。例如，金融市场在完善状态下运行并处于均衡状态，那么一个公司的市场价值即其股本和负债的市场价值都代数和与它的债务大小和结构无关，同时也和它的融资方式无关。米勒莫迪利亚尼乍一看来，这与常识相勃，之前人们一般认为，厂商面对两种选择：债券融资或股票融资，而他们推翻了这个观点。在1963年和1966年，他们证明了两个不定性定理，后称MM定理：MM第一不变定理：1. 资本的平均成本不受债券与股权比例的影响；2. 企业股份的期望报酬（即股权资本的成本）随负债与股权的比例而线性增加，这是

20、所谓的的操纵效益，即杠杆效；MM第二不变定理：一个公司或企业市场价值不受其红利政策的影响；莫迪利亚尼和米勒的理论为了金融经济学的基础，但“华尔街的革命”发生在资本市场中。对于资本市场的理论，有三套金融经济与金融数学理论有重大影响。 Markowitz理论1952年马尔科维奇还在大二时就提出所谓“文件夹”选择理论。现在这个词多翻译成“投资组合”，也就是像把不同的文件放在不同的文件夹一样，投资者把不同的证券组合以求风险最小而获得最大的收益。许多人都认为投资者买的证券品种越多，风险就分散的越小，从而大的投资组合要比小的或单个证券都投资组合收益更稳定。实际上，马尔科维奇发现，分散投资组合的风险并不仅仅

21、在于所含证券的数量，而且还和这些证券的收益的想关性有关。如果证券收益彼此高度相关，那么风险并没有分散。只有相关性小的投资组合才能分散风险。马尔科维奇进而通过数学来表述这个问题：1. 证券的期望收益率可用价格变化平均值来表示；2. 一个证券的风险可用价格变化都方差来表示；3. 证券的投资组合的风险还有其中任何两种证券的相关性，这可用协方差来表示；马尔科维奇这些都可以通过过去的数据用统计方法计算出来。把投资组合中各种股票之间的比列设为变量，我们的问题是，求受益一定风险最小，或者风险一定受益最大的情形。这成为一个带参数的二次规划问题。1956年，马尔科维奇引进具体算法，称为临界线算法。但是由于当时解

22、带参数问题的方法还不成熟，计算机功能不够，他的理论计算起来有一定困难。到60年代，计算机可以在半个小时内算100种证券的投资组合的前言曲线。1959年马尔科维奇出版的投资组合选择：有效的分散化，完成他的理论系统，被称为“第一次华尔街革命”。3.2.2 CAPM模型1964年夏普发表来CAPM模型。在这个模型中，他用投资组合的价格变化的回归系数来衡量风险。这个系数通常用来表示，于是CAPM讨论投资组合的与收益的关系。而可以通过市场的指数具体计算出来。这样，比较容易得出有效的证券组合的前沿曲线。全部金融市场的1，高的证券有高效益。这样如果知道某证券的就可以预测其长期收益，他的研究被称为革命。按照C

23、APM，在一个有效的资本市场中，一次资产的风险和期望回报取决于。通过可用广泛进行经验分析，使丰富的金融统计数据得到系统和有效的利用。通过，不仅可以定出产业的风险费用，而且在决策如投资或兼并时可以计算有关的资本费用。它还可以用于比较不同投资者的成功状况，而最重要的是为金融资产定价提供依据。但是CAPM仍然存在一些问题，有些低的证券有好的受益，而高的债券却收益较差。1977年罗尔指出，如果市场资产组合有小小的变化可能完全改变CAPM所预测的股票预期收益。实际上，CAPM模型当时只考虑来500种股票，换成5000种股票就有很大问题。因此，真正的市场资产组合谁也不知道，这样就无从判断CAPM模型是否成

24、立。3.2.3 APT理论对CAPM模型的攻击导致另一种资产定价模型套利定价理论（APT）的产生。他发现资产收益取决于四个要素：1. 通货膨胀；2. 工业生产；3. 投资者风险偏好；4. 利率；APT认为股票等预期收益与它对每个因素的敏感性成正比例。APT模型是CAPM的发展，它更有效的预测股票收益，并且更为真实。但是，它大量运用高深的数学。这些模型都是假定市场是有效的，但实际有许多出入。经济学家现在正运用新数学工具研究一些其它因素的影响。例如，情绪，爱好，欺诈性投资。上面的投资组合理论和CAPM都可以看成是静态的，也就是市场均衡理论。更进一步考虑动态都投资组合理论以及期间资本资产定价理论模型（ICAPM）主要会用到随机过程理论，如扩散过程理论以及随机微分方程理论。肖尔斯布莱克 华尔街第二次革命一般认为，“华尔街第二次革命”出现于1973年，这一年4月