2019广西中考数学专题训练二次函数压轴题

1、二次函数压轴题1.如图，抛物线y=ax2+(a+2)x + 2(a*0)与x轴交于点A(4, 0),与y 轴交于点B,在x轴上有一动点P(m, 0)(0m4).过点P作x轴的垂线交 直线AB于点N,交抛物线于点M.(1)求a的值；若PN ： MN = 1 ： 3,求m的值；(3)如图，在(2)的条件下，设动点P对应的位置是Pi,将线段OPi绕点O3逆时针旋转得到OP2,旋转角为M0 芯90 ),连接AP2、BP2,求AP2+2BP2 的最小值.第1题图解：(1)：A(4, 0)在抛物线上，1 .0= 16a+4(a + 2) + 2,解得 a=2；(2)由(1)可知抛物线解析式为y= 1x2

2、+ 2x+2,令x=0可得y= 2, .OB = 2,; OP=m, . AP=4 m,.PM，x 轴, .OABsPAN, 01T哈普1,.、 . PN = 2（4 m）,.M在抛物线上，-1 9 3 PM =产 2+ 2m+2,VPN : MN=1 : 3,.PN : PM=1 : 4,1 0 3 一 1 一 2m2 + 2m+2= 4 x 2（4- m）,解得m=3或m= 4（舍去），即m的值为3;（3）如解图,在y轴上取一点Q,使器=3,第1题解图由(2)可知 巳(3, 0),且0B=2, 05p2=3,且/ P2Ob=/Q0P2,.P2OBszQOP2,.QP2 OP2 3 =，BP

3、2-OB-2,当 Q(0, 9)时，QP2 = 2BP2,一 3_ AP2+2BP2 = AP2+QP24AQ,当A、P2、Q三点在一条直线上时，AP2+QP2有最小值，一9又. A(4, 0), Q(0, 2),.AQ = 42+ (9) 2=245,即ap2+ |bp2的最小值为72452.如图，已知二次函数y = ax2+ bx+ 4的图象与x轴交于A( 2, 0), B(4, 0)两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,点P是x 轴上方抛物线上的一个动点，过 P作PNx轴于N,交直线BC于M.求二次函数表达式及顶点D的坐标；(2)当PM=MN时，求点P的坐标；(3)设抛物线对称轴与x轴

4、交于点H,连接AP交对称轴于E,连接BP并延 长交对称轴于F,试证明HE+HF的值为定值，并求出这个定值.第2题图解：(1)A( 2, 0), B(4, 0)在二次函数的图象上,将 A,数表达式中，B点代入二次函f4a+ (2) b + 4=0得，”, c ,116a+4b+4=01/口 a= - o解得 2,lb = 11 c二次函数的表达式为 y = 2x2 + x+4, 1c 9将其化为顶点式为y= 2(x1)2+2，9顶点D的坐标为(1, 9);(2)由抛物线表达式得点C的坐标为(0, 4),设直线BC的解析式为y=kx+ c(k?0),将点B(4, 0),点C(0, 4)代入得4k+

5、 c= 0 c=4k= 1,解得c = 4直线BC的解析式为y=-x+ 4, (5分)点P在x轴上方的抛物线上,1 9设点 P 的坐标为(t, 2t2+t+4)( 2t4),.PN，x轴于 N,点N的坐标为(t, 0),. PN 交 BC 于 M,点M的坐标为(t, t + 4), (7分).PM = MN,点 P 在点 M 的上方，PN=2MN, 一 1 c即一/ + t + 4=2（ 1+ 4）,解得ti=2, t2=4（与B重合舍去）， 当PM = MN时，点P的坐标为（2, 4）; （8分）第2题解图1c(3)如解图，过点P作PG，x轴于点G,设点P的坐标为(t, -2t2 + t+4

6、), DH，x轴于点H, . PG / DH ,.AHEs/XAGP, BGPs BHF,.EH AH PG BG PG AG，FH BH，.a AH PG 1TLi BH PG 八、 .EH=AG, FH=BG，(10分)当点G在BH上时，1. AH = BH = 3, AG = t+2, BG = 4-1, PG=2t2 + t + 4,PG PG14 t + t + 2-.EH + FH = 3G+）= 3 （2）（t+1解：(1)由2x+1 = 0,得 x= 2, .A(2, 0), t 1.i由2x+1 = 3,得 x=4,B(4, 3).）（t-4）（t+2）（4t） = 9，同理

7、，当点G在AH上，由抛物线对称性可知，结果相同.综上可知，HE + HF的结果为定值，且这个定值为 9.（14分）3.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=；x+1与抛物线y=ax2+bx 3交 于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛 物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C, 作PDLAB于点D.（1）求 a、b 及 sin/ACP 的值；（2）设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连接PB,线段PC把4PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m值，使 这两个三角形的面积之比为9 ： 10?若存在，

8、直接写出m的值；若不存在， 说明理由.y= ax2 + bx3 经过 A、B 两点,(-2) 2 - a 2b 3 = 0Sc,I42 a + 4b-3= 31 a=2解得，,b= 一2如解图，设直线AB与y轴交于点E,则E(0, 1).PC/y 轴,./ACP=/AEO. sin/ Acp=sin/ aeo=oa=2j 12=255；(2)由(1)知，抛物线的解析式为 y=1x2-1x- 3,.P(m, 2m2 m 3), 1 ，,、C(m, 2m+1),1 c、 1 2 , 一2m 3)= 2m +m+4.2V5_V5(m- 1)2, ,_1 n在 RtAPCD 中，PD=PC sin/A

9、CP= (2m2+m+4)x,955 .5.一 5，当m=1时，PD有最大值95存在，m=5或32. 29【解法提示】如解图，分别过点D、B作DFPC, BGXPC,垂足分别为 点 F、G.第3题解图由图中几何关系可知5=5，/FDP = / DCP=/AEO,cos/ FDP = cos/ AEO= OE= AE125(m2 2m 8).5在DF = cos/ FDpPD = D =又.BG = 4m,1 / 2ci- 一 匚(m - 2m- 8). o.Sa PCD _DF_ 5 _m2三-BG-4-m - 5 .当UD=个=时，解得m=5；Sa pbc5102当之迪二喈2：1时，解得m=

10、普.Sa pbc599-m= 5或 32. 294.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是矩形，OA=3, AB = 4,在OC上取一点E,使OA=OE,抛物线y=a/ + bx+c过A, E, B三点.(1)求B, E点的坐标及抛物线表达式;(2)若M为抛物线对称轴上一动点，则当|MAME|最大时，求M点的坐标；若点D为OA中点，过D作DNLBC于点N,连接AC,若点P为线段 OC上一动点且不与 C重合，PFXDN于F, PGLAC于G,连接GF,是 否存在点P,使4PGF为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的 P点 坐标；若不存在，请说明理由.第4题图解：(1)OA=3, AB=4

11、, OA= OE, /. A(0, 3), B( 4, 3), E( 3, 0).将A, B, E三点坐标代入y=ax2+bx+ c中，3=La= 1得16a 4b+c= 3,解得 b=4,9a-3b+c=01c=3抛物线的表达式为y=x2 + 4x+3; (3分)抛物线y= x2 + 4x + 3的对称轴为直线x= 2,点A关于对称轴的对称 点为点B,当|MAME|最大时，M在直线BE与直线x= 2的交点处，即连接 BE 并延长交直线x= 2于点M, M点即为所求，如解图，(5分)%第4题解图设直线BE的解析式为y = kx+ b(k# 0),.直线过 B(4, 3), E(3, 0),14

12、k+ b=3II-3k+ b=0k= - 3 1,b= - 9直线BE的解析式为y=-3x-9.当 x= - 2 时，y= 3, .M(2, 3); (7 分)(3)设P(x, 0)(x0),如解图，过点 P分别作PFLDN于点F, PGXAC于点G,过点G作GHOC于点H,交DN于点Q,连接GF,B.7 AC II P 0第4题解图. OA=3, AB=4, /AOC=90 , .AC=5, .D 为 OA 的中点，DNBC, .PF = |, sin/1PG OA= _PC ACPG 3x+ 4 5PG =3 (x+4)5CG OC= 二PC ACCG 4 =二 x+ 4 5CG =4 (

13、x+ 4)5.CGHsCAO,GH CG CH=-=AO CA COGH CG CH _ = =354 33 4 (x+4)gh=3cg=5xr-12 (x+ 4)一 25，44 4 (x+4)CH = 5CG = 5X也J, (9分)25PH = QF = OC-CH_OP=4_16 n4)+x=9 寸4), 2525GQ=GH-QH12 (x+4)3= 一 一二252 在 RtzGQF 中,9 + 4.- J2 (x+ 4)3 2 , 81 (4 + x) 2 9 (x+ 4) 2 36 (x+4)GF =25 2 +625=2525要使 PGF为等腰三角形，可分三种情况讨论:(i)当 G

14、F = GP 时，GF2=GP2,9 (x + 4) 2 36 (x+ 4) 9 9 (x+4) 2 -2525+4=25，3916 PL而，S；(11 分)(ii)当 FG = FP 时，FG2=FP2,一，2.9 (x + 4)36 (x+ 4)9 9一 2525+4= 4, x1 = 4, x2= 0.点P不与C重合，.x= 4(舍去)，.P2(0, 0);(12 分)(iii)当 PG = PF 时，3(x54)=3, 5231 x= 2,3八2 .P3( 2, 0). (13 分)(14综上所述，存在P39,0),P2(0,0),P3( 2，。)使4PFG为等腰三角形.分)5.已知：

15、直线y=$3与x轴、y轴分别交于 A、B,抛物线y=3x2+bx + c经过点A、B,且交x轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m.试求当m为何值时， PAB的面积最大；当APAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD,垂足为点D,问在直 线PD上是否存在点Q,使4QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合 条件的Q点的坐标，若不存在，请说明理由.第5题图备用图1解：(1):直线y=x 3与x轴、y轴分别交于A、B,则 A(6, 0), B(0, 3),又抛物线y=1x2+bx+ c经过点A、B,w0=1x62 + 6b + cb=-3则

16、3,解得2,、3= c、c= - 3抛物线的解析式为y=3x2-2x-3；1 o 3(2)二点 P 的横坐标为 m,P(m, 3m -2m-3),点P在直线AB下方，. 0m6,第5题解图如解图，过点P作x轴的垂线，交AB于点E,交x轴于点D,1则 E(m, /m3),二 & PAB= Sz bpe1- . PE=2m 3一3-1 2 一/m3)=3m +2m,-1一+ Sa pea =2PE , OA第5题解图1当/CBQ=90时，如解图，易知 Q在AB上，将x= 3代入直线y=x3-33,侍 y= 2，Q(3, 2);第5题解图9当/BQC=90时，如解图，易证CDQszqrb,则CDMD

17、Q,即三QR BR 3一 DQDQ =飞-,无解.第5题解图综上所述，在直线PD上存在点Q,使4QBC为直角三角形，点Q的坐标、，一 9 ,、3为(3, 4)或(3, 2).6.如图，抛物线y= x2-4x5与x轴交于A, B两点（点B在点A的右侧）, 与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求A, B, C三点的坐标及抛物线的对称轴;(2)如图，点E(m, n)为抛物线上一点,且 2m5,过点E作EF/x轴, 交抛物线的对称轴于点F,作EH，x轴于点H,求四边形EHDF周长的最 大值； 如图，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点 P,使以点P, B, C 为顶点的三角形是直角三角

18、形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在， 请说明理由.第6题图解：（1）把 y=0代入 y= x2 4x5,得 x2 4x5= 0,解得 xi = 1, X2=5, 点B在点A的右侧，.A, B两点的坐标分别为（1, 0）, （5, 0）,把 x=0 代入 y = x24x5,得 y= 5, 点C的坐标为（0, 5）,; y= x24x 5= （x 2）29, 抛物线的对称轴为直线x=2; (4分)(2)由题意可知，四边形EHDF是矩形, .抛物线的对称轴为直线x=2,点E坐标为(m, m2-4m 5), .EH = m2+4m+ 5, EF = m2, .矩形 EHDF 的周长为 2(EH

19、 + EF) = 2(-m2 + 4m+5+m-2)=- 2(m2-5m 3)= _ 2(m-2)2+-2,20, 2m/52 + 52 =5也，当/ CBP = 90时，.BC2+BP2=CP2, . (5 亚)2 + (5-2)2 + (- k)2= 22+ (k+ 5)2,解得k= 3, Pi(2, 3); (10 分)当/ PCB = 90 , .BC2+PC2=BP2, . (5 也)2 + 22+(k+ 5)2 = (5-2)2 + (- k)2,解得k= 7, .P2(2, 7); (12 分)当/ CPB = 90时， .PC2+PB2=BC2, . 22 + (k+5)2+

20、(5-2)2+ k2 = (5/3, .AOQ 边 OA 上的高为 2,9如解图，过点O作OMLOA,截取OM = 9,第8题解图过点M作MN / OA交y轴于点N,. AC = OA=2弧 ./AOC=30 ,又 MN / OA ./ MNO = / AOC= 30 , 在 RtAOMN 中，ON = 2OM=9,即 N(0, 9),过点 M 作 MH，x 轴交 x轴于点H,199 3 一 9 3 . /MNO = 30 , /MOH = 30 , . MH =2OM =. OH=-4-,即 M(,4),设直线MN的解析式为y=kx+ 9(k# 0),把点M的坐标代入得4=94k+ 9,即k

21、=- 四 y= - /3x + 9,y= 3x+ 9联立得12乳3 , y= 2x 2 xx=373x= - 2J3解得g或5,即 Q(3小,0)或(2，3, 15).9.如图，抛物线经过原点 0(0, 0),与x轴交于点A(3, 0),与直线l交于点 B(2, -2).(1)求抛物线的解析式；(2)点C是x轴正半轴上一动点，过点 C作y轴的平行线交直线l于点E,交抛物线于点F,当EF = 0E时，请求出点C的坐标； (3)点D为抛物线的顶点，连接0D,在抛物线上是否存在点P,使得/ B0D= /A0P?如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.第9题图备用图解：(1)由题意可设

22、抛物线的解析式为y=ax2+bx, 将 A(3, 0), B(2, 2)代入 y= ax2 + bx 中,a= 1解得；，lb=-3(9a +3b=0得1,l4a + 2b=-2抛物线的解析式为y=x2-3x;(2)设直线l的解析式为y= kx,将 B(2, 2)代入 y=kx 中，得一2 = 2k,解得k= 1,直线l的解析式为y= x,设点C的坐标为（n, 0）,则点E的坐标为（n, n）,点F的坐标为（n, n2 3n）.当点C在点A的左侧时，如解图所示，EF=-n-（n2-3n） = -n2 + 2n, OE=、n2+ （ n） 2 = 6, .EF = OE, a /+ 2门=y2门

23、，解得Q = 0（C, E, F三点均与原点重合，舍去），n2=2-V2, 点C的坐标为（2 ，2, 0）;当点C在点A的右侧时，如解图所示，EF=n2-3n- （-n）=n2-2n,OE= yjn 2+ （ n）/2 n, .EF = OE, n2 2n=n,解得ni = 0（C, E, F均与原点重合，舍去），2=2 +爽， 点C的坐标为（2 +爽，0）;综上所述，当EF = OE时，点C的坐标为（2 收，0）或（2+作，0）;5，25) 1414 .16 16（3）存在点P使得/ BOD=/AOP,点P的坐标为（片,荷戚（三-二 5253 - 9【解法提示】抛物线的解析式为y=x2-3x

24、= （x3）29, 顶点D的坐标为(|, -9),设抛物线的对称轴交直线l于点M,交x轴正 半轴于点N,过点D作DGLOB于点G,过点P作PH，x轴于点H,如解 图所示， 直线l的解析式为y= x, ./ MON = 45 , .ONM 为等腰直角三角形，ON=MN = 2，OM = y2ON=322,9 3 3DM = 9 3 = 3，在 RtADGM 中，/ DMG = / NMO = 45 , RtA DGM为等腰直角三角形， .MG=DG=3x ， 428 3 .2 3 .2 15 12 .OG = OM + MG= 2 + 8 = 8 .设点P的坐标为(c, c2 3c),当点P在x

25、轴下方时，如解图所示，OH = c, HP = 3c-c2,./ HOP=/ BOD,第9题解图tan/HOP = tan/ BOD,3.2.HP DG3c- c2 8 OH-OG，即 c -的也解得g = 0（P点与O点重合，舍去）,14c2 = M，1414.点P的坐标为（叫,14）;525当点P在x轴上方时，如解图所示,OH = c, HP =第9题解图3 2 c23c8同 理可得 一;=yr7Z， c 15 12816解得c1 = 0（P点与O点重合，舍去），c2= ,5.P点的坐标为（16悬 5 25卷或婿，综上所述，存在点P使得/BOD=/AOP，点P的坐标为鲁1625）110.在

26、平面直角坐标系中，直线y=2x2与x轴交于点B,与y轴交于点C, 二次函数y=1x2 + bx+c的图象经过B, C两点，且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.(1)求二次函数的表达式；(2)如图，连接DC, DB,设 BCD的面积为S,求S的最大值；(3)如图，过点D作DMLBC于点M,是否存在点D,使得 CDM中的某个角恰好等于/ ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存 在，请说明理由.图图第10题图解：(1)直线y= %2中，令y= 0,解得x= 4,令x=0,解得y= 2,.点 B(4, 0), C(0, 2),将点 B(4, 0), C(0, 2

27、)代入1 o,-18 + 4b + c=0y=7x2+ bx+ c 中，得 j,解得*c= -2c= 2二次函数的表达式为y=2x2 2x 2;第10题解图(2)如解图，过点D作DE/y轴，交BC于点E,1 0 3一一 1设点 D 的坐标为(x, 2。一2 2)(1x4)，则点 E(x，2),1 一 ，1 2 312c . DE = 2X 2 (2x 2x 2) = - 2x +2x,1 1 - S)= Sa cde + S. bde =2( 2x +2x)X4= x + 4x= (x 2) +4,.当=2时，S有最大值，S的最大值为4;29(3)存在，满足条件的点D的横坐标为2或1r【解法提示】令y=0,则%23x 2 = 0,解得 x1 = 1, x2=4,A(T, 0),. B(4, 0), C(0, 2),AB2=52 = 25, AC2=12+( 2)2=5, BC2=42+22 = 20,AB2=AC2+BC2,.ABC是以/ACB为直角的直角三角形，如解图，取 AB的中点P,第10题解图.P(l, 0), -5.RA=PC=PB=|,.