关注逆向思维训练在数学教学中的实施

1、关注逆向思维训练在数学教学中的实施【内容摘要】逆向思维是创造性思维的一种，善于逆向思维是思维灵活的一种表现。正确引导学生逆向思维，会使学生对问题的本质掌握得更清楚、更深刻，还可以培养学生的创新思维。笔者认为要真正学好数学，灵活解决数学问题，正向思维和逆向思维都是不可缺少的。因此，我们在教学中应有目的、有计划、有意识地培养学生的逆向思维。本文将针对阻碍学生逆向思维的因素和逆向思维受阻的具体表现来阐述逆向思维的训练如何在数学教学中具体实施及其策略。【关键词】逆向思维受阻表现训练实施策略数学是思维的体操，思维是智力的核心。逆向思维是数学的一个重要法则，其特点表现在：善于从不同的立场、不同的角度、不同

2、的侧面去进行探索，当某一思路出现阻碍时，能够迅速地转移到另一种思路上去，从而使问题得到顺利解决。当学生经过努力从正向理解了某个概念、定理、公式、法则后，若能适当引导学生进行逆向思考，往往会跨进新的知识领域。当人们习惯于正向思维，尤其处于“山穷水尽疑无路”的困境时，逆向思维往往会出现“柳暗花明又一村”的美景。阻碍学生逆向思维的因素.1.从教学形式看，最主要是教师在数学课的教学中，往往采用“建立定理证明定理运用定理”这三部曲或采用“类型+方法”的教学模式，忽视了逆向思维的培养与训练，以致学生不能迅速而准确地由正向思维转向逆向思维。2.从思维过程看，由正向思维序列转到逆向思维序列是思维方向的重建，是

3、从一个方面其作用的单向联想转化为从两个方面都起作用的双向联想。这种转化给学生带来了一定的困难性，另外，一种思维在其逆向思维过程中并不一定恰好重复原来的途径，所以正向思维的训练并不能代替逆向思维的训练。3.从思维能力看，初中学生的思维是刚刚从直观、具体的形象思维向抽象的逻辑思维转化，学生在解答数学问题时的思维必然受到传统的教学方法的约束；只具有机械的记忆和被动的模仿，思维往往会固定在教师设计的框框之内的一种定势。逆向思维受阻的具体表现.缺乏显而易见的逆向联想。由于学生在学习过程中，进行了较多的是由此及彼的单向训练，而忽视了逆向联想，这就造成了知识结构上的缺陷和思维过程中顽固的单向定势习惯。例：“

4、1，0，1的立方根分别是_”，学生回答得非常轻松，也非常正确；但对“一个数的立方根是它的本身，则这个数是_”这一题，却只有少数学生才能填写完全的。像这些显而易见的逆问题，在教学中常常遇到，学生解答起来却并不顺利。混淆重要定理的正逆关系。对于运用正逆关系的数学命题，学生经常混淆题设与结论的顺序。例：勾股定理的逆定理的运用，“在ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么ABC是直角三角形吗？请说明理由。”学生认为运用的是勾股定理，理由是“AC+BC=AB，5+12=13，ABC是直角三角形。”其实有“AC+BC=AB”，已经是直角三角形了，还要“5+12=13”干什么呢？忽视正逆转化的限制条

5、件。例：已知，则；但反过来由推出“”就不全面了，遗漏了另一种情况“”。特别是对一些限制条件的反求，学生更是束手无策，如：当时，；若，则的取值范围是_；使成立的条件是_；等等。缺乏逆向变形的解决能力。例：计算，有些学生竟然对它进行通分，却不会用的变形。缺乏逆向分析的解题思路。学生在分析问题时只习惯于从条件到结论，却不会从结论出发去寻求解题思路，缺乏双向思维解决问题的能力。有下面两个例子：例：已知：在ABC中，AB=AC，BDAC于D，求证：。此题也应从结论分析，因为结论中有平方，联想到要用勾股定理，从题设中的“BDAC”条件联想到可以用勾股定理。有此想法的学生很少，完全做正确的学生更少。逆向思维

6、训练在教学中的具体实施心理学家研究的结果表明，中小学的学生思维发展中所表现的思维方向和水平是不同的，最初只能是单向的，没有逆向思维，以后才逐渐形成思维的可逆性和反复性。对于学习能力不同的学生，从正向思维序列转到逆向思维序列程度也不同：一般地，能力较强的学生几乎在建立正向思维的同时，就建立了逆向思维，只需稍加点拨；能力中等的学生，要建立逆向思维必须进行适当的训练；能力较差的学生，要形成这种逆向的心理过程是非常困难的，对于这些学生还是把重点放在正向思维的建立上，在巩固了正向思维的基础上，通过教师长期多方面的引导和特别训练，才能逐步地接受逆向思维。那么，逆向思维训练如何在教学中的具体实施呢？1、定义

7、教学中逆向思维的训练.作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的。因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。如在几何的教学中，特别是入门阶段，对每一个定义，都要引导学生分清其正逆方向的关系，对今后推理论证的教学很有裨益。值得注意的是教师在平时教学中，经常强调一个定理的逆命题不一定成立，在讲定义时，如不强调它一定具有可逆性，将会引起学生对定义的逆用产生怀疑。例1：解方程：.分析：此题容易想到用求根公式来解，但计算繁琐，如注意到方程中各项系数之和“”的特点，就可以逆用方程根的定义，可知“”是方程的一个根，

8、再根据韦达定理求出另一个根。解：，是原方程的一个根，设另一个根为，由韦达定理，得：，即：.，.例2：已知：，且.求：的值.分析：由已知可得：，且，逆向思维，联想到方程，、恰好是此方程的两个不相等的实数根，从而可根据韦达定理得：，即：原式.2.、公式教学中逆向思维的训练.数学中的公式总是双向的，可很多学生只会从左到右顺用公式，对于逆用，尤其是利用变形的公式更不习惯。事实上，若能够灵活地逆用公式，再解题时就能得心应手，左右逢源。在此应特别注意两点：第一、强调公式的顺用和逆用，“聚合”和“展开”。如：，等；第二、逆用公式是求代数式的值、化简、计算的常用手段。例3：已知：，求：的值。分析：解此题需逆用

9、立方和与完全平方公式。解：，+.例4：化简：解：原式.例5：计算：.分析：直接相乘很难求得结果，根据各因式的特点，将乘法的平方差公式逆用就可化难为易。解：原式.3、运算法则教学中逆向思维的训练.数学中的很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如：加法和减法、乘法和除法、乘方和开方都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关系。而且在同一级运算中，可以互相转化，如利用相反数的概念减法可以转化为加法，利用倒数的概念可以转化为乘法。例6：已知：，求：的值.分析：该题将同底数幂除法法则逆用后得到结果。解：原式.例7：已知：，试比较、的大小.解：，.又125243256.4.、定理教学中逆向思

10、维的训练.不是所有的定理的逆命题都是正确的，引导学生探究定理的逆命题的正确性，不仅能使学生学到的知识更加完备，而且能激发学生去探索新的知识。勾股定理、一元二次方程根的判别式定理、韦达定理的逆定理都是存在的，应用也十分广泛。例8：设、满足，求：的取值范围。解：原方程组变形得：，根据韦达定理的逆定理可知：、为关于的一元二次方程的两根，.即.的取值范围为：。逆向思维训练的实施策略.在学数学的过程中，经常会遇到这样一些问题，当从正面考虑时会出现很多障碍，或者根本解决不了，而从反面着手，往往可以使问题迎刃而解，再或者证明问题的不可能性，等等都需要有非常规思路去解决。非常规地实施逆向思维的训练常采用以下三

11、种策略：1、“正”难则“反”：反证法是一种逆向思维的方法，被誉为“数学家最精良的武器之一”，是解数学题常用的方法。当题目出现有“至少”或“至多”字样，或以否定形式给出时，一般采用反证法。例9：若三个关于的方程：，中至少有一个方程有实数根，求：的取值范围。分析：若从正向考虑“三个关于的方程中至少有一个方程有实数根”，情况较多，一一讨论，解题就相当复杂。这时如果应用逆向思维，考虑到其反面是“三个方程都没有实数根”，再从全体实数中排除反面求得的结论就得到本题的答案。解：假设三个方程均没有实数根，则即：解得：.其反面：当时，原命题成立。例10：若关于的方程至多有一个负根，求的取值范围。分析：逆向思维，

12、用反证法，“一元二次方程至多一个负根”的反面就是“两个根都是负根”，由此下手，此题可解。解：假设两个根都是负根，则必须满足下列不等式组：解得：，的取值范围为。2、以“退”求“进”：例11：解方程：.分析：解分式方程的基本思路是把分式方程去分母转化为整式方程，然而将整式方程逆向转化为分式方程来解，有时也会令人耳目一新。此题要在方程的两边同除以，“退”到分式方程再来解，采取以“退”求“进”策略。解：显然，方程的两边同除以，得：，.，。例12：比较与的大小.分析：有关二次根式的计算、化简常要分母有理化，而本题却要将分子有理化。当然，解决这个问题的办法不止一个。解：，.3、反“客”为“主”：例13：已

13、知：关于的方程，有且只有一个实数根，求：实数的取值范围。分析：按常规思路，把当成主元，求出，再对进行讨论，解题过程相当复杂，如果启发学生运用逆向思维，把当作主元，这种反客为主的技巧很新颖别致。解：原方程可变为：，解得：或，原方程有且只有一个实数根，方程无实数根.，解得：。例14：已知：方程（其中是非负整数），至少有一个整数根，那么.（1998年全国初中数学竞赛试题）。分析：原方程的结构比较复杂，此时应逆向思维，反客为主，即从反面入手，为主元，然后分类讨论，可简易获解。解：原方程变形为：即：，为非负整数，为整数根.当时，；当或时，；当时，.的值为1，3，5。五、逆向思维的训练必须量力而行实践证明，在教学中，关注学生的逆向思维的训练，不仅能培养思维的灵活性、敏捷性、深刻性和双向性，而且还能克服由单向思维定势造成解题方法的刻板和僵化，以及不善于在新条件下独立发现新方法、新结论等不足之处。在数学教学中培养学生逆向思维值得说明的是：首先，必须有扎实而丰富的基础知识和基本思想方法为前提，只有具备大量的知识信息，才能从事物的不同方向、不同联系上去考虑问题；其次，在教学中要充分注意类比、引申、拓广、举反例等多种思维方法