新北师大版七年级数学下导学案第三章变量之间的关系知识点

1、第三章变量之间的关系【知识点一】用表格表示变量之间的关系（一）理解变量和常量1、我们生活的世界里有许多量，有些是变化的，有些是不变的，数值不变的量，我们称之 为,数值发生变化的量，我们称之为。请找出下列哪些量是变量， 哪些是变量？1）圆柱的高h为10厘米，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变 化，在这个变化过程中 是变量，是常量。2）圆的周长C随着半径R的变化而变化，圆的周长公式是，其中 是变量，是常量。（二）理解自变量和因变量1、在某一变化过程中，一般有两个变量，一个是在一定范围内主动发生变化的,称之 为.另一个是随着量的变化而变化的,称之为。请你找出下列哪些量是自变量，

2、那些量是因变量？1）圆柱的高h为10厘米，当圆柱的底而半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变 化，在这个变化过程中 是自变量，是因变量。2）骆驼被称为“沙漠之舟”，时间的变化会引起它体温的变化，在这一变化过程中， 是自变量，是因变量。3）你给远在外地的叔叔打电话，电话费随时间的变化而变化，在这一变化过程中， 是自变量，是因变量。4）某水果店橘子的售价为2.5元/千克，买a千克橘子共用去S元钱：答：是常量，a与S是,其中a是, S是 05）小军以240米/分的速度在操场上练习长跑，t分钟内奔跑的路程为s米。6）科学研究表明，一个年龄在1050岁的人，每天所需要的睡眠时间H （h）可用公式表

3、示 为H= （110-N） /10,其中N代表这个人的年龄；（三）用表格表示变量之间的关系，并对变化趋势进行初步预测1、用表格可以表示因变量与自变量的一组对应值，这种表示变量之间关系的方法叫做表搭返下表是某河受暴雨的袭击，某天此河水的水位记录如下表:时间小水位/m2345678（1）上表反映的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？（2）如果用t表示时间，h表示水位，随着t的逐渐增大，h的变化趋势是什么？（3） t每增加4h, h的变化情况相同吗?（4）请你估计一下28h时，河水水位是多少?规律总结：表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示，第二行表示， 从表格中可以发现 随 变

4、化存在一定规律一一或者增加或者减少或者呈 现规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测。（四）综合练习1、一名同学用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体时弹簧的长度就会发生变化，但所 挂物体质量不能超过1000g,实验数据如下：物体质量/g1弹簧长度/cm111213141）你能指出在这个实验中什么是自变量，什么是因变量吗?2）你能否预测所挂物体的质量为800g时，弹簧的长度是多少？弹簧的长度为15cm时，所挂 物体的质量是多少？3）不挂物体时，弹簧的长度是多少？在弹性限度内弹簧的最大长度是多少?2、王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间.他们得到如下数据:支撑物高

5、度/厘米1708090100小车下滑 时间/秒4.233.002.452.131.891.711.591.501.411.35（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什 么？（3） h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=U0时，t的值是多少，你是怎样估计的？变式：一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表:时间（秒）速度（米/秒）0031.32.84.97.611.014.118.424.228.9（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如

6、果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒钟内，v的增加最大？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车 速度就将达到这个上限？（五）拓展：1、如图，是一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层；第二层每边两个点; 第三层每边有三个点，依此类推：（1）填写下表:层数123456该层的点数所有层的点数（2）每层点数是如何随层数的变化而变化的？所有层的总点数是如何随层数的变化而变化的？（3）此题中的自变量和因变量分别是什么？(4)写出第n层所对应的点数，以及n层的六边形点阵的

7、总点数:(5)如果某一层的点数是96,它是第几层?（6）有没有一层，它的点数是100?为什么？2、下表是明明商行某商品的销售情况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价（单位: 元），日销量（单位：件）发生相应变化如下表：降价（元）51日销量（件）7800930960（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中那个是自变量，哪个是因变量?（2）每降价5元，日销量增加多少件？请你估计降价之前的日销量是多少？（3）如果售价为500元时，日销量为多少?【知识点二】用关系式表示的变量间关系（一）用关系式表示两个变量之间的关系1、如图，AABC底边BC上的高是6厘米。当三角形的顶点C沿底边BC所在直线向

8、点B运动时，三角形的面积发生了变化。（1）这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？如果三角形的底边长为X （厘米），那么三角形的面 积y （厘米二）可以表示为（3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的而积从 平方厘米变化到 平方（厘米'）与r的关系式是厘米.3、如图4所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底而半径由小到大变化时，圆锥体枳也随之而发生了变化。在这个变化过程中，自变量是,因变量是如果圆锥底而半径为r （厘米），那么圆锥的体积V（3）当底而半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由厘米'变化到 厘米工4、某校办工厂2012年的年产值是15万元，计划今后每年年产值增加2

9、万元。1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？2）如果经过的年数用x （年）表示，年产值用y （万元），那么y与x之间有什么样的关系。3） 5年后，该校办工厂的年产值将达到多少？知识归纳：1）关系式一般是用含 的代数式表示 的等式。将表示的字母单独写在等号的左边，右边为用 表示 的代数式。2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来。3） 一些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围（二）根据关系式求值1、根据关系式求值实际上就是求代数式的值，比如y = 3x, y的值就是3x的值。因此我 们可以利用求代数式的值的方法来求值。求值时注意书写格式。2、打电话

10、时电话费随时间的变化而变化，有一种手机的电话费用y （元）与通话时间 x（分）之间的关系可近似地表示为y=5+0.25x.（1）小张打了 100分钟电话，费用为多少元？（2）小张这个月的电话费是55元，他打了多少分钟电话？（三）综合练习1、通过表格可表示两个变量之间的关系，本节中利用 也可表示两个变量之间的关系.2、半径为R的圆面积5=,当R=3时，S=3、长方形的长为10,宽为x。1）长方形的而积y与x之间的关系式是:2）填下表：X123 y 803）当x每增加1时，y增加。4、会议厅共有30排座位，第一排有20个座位，后排每排比前一排多一个座位.（1）你知道第九排有多少个座位吗？第26排呢

11、？（2）每排的座位数y可用排数x来表示吗？（3）可不可能某一排的座位数是52?为什么?变式1、如图，已知梯形的上底为x,下底为8,高为4. （1）求梯形面积y与x的关系；（2）用表格表示，当x从3到7 （每次增加1）时，y的相应值:（3）当x每增加1时，y如何变化?（4）当y=50时，x为多少？（5）当x=0时，y等于多少？此时它表示的是什么？5、将若干张长为20cm、宽为10cm的长 方形白纸，按下图所示的方法粘合起来， 粘合部分的宽为2cm.（1）求4张白纸粘合后的总长度：（2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm,写出y与x之间的关系式：（3）并求当x=20时，y的值变式2、声音在空气中传播

12、的速度y （米/秒）与气温之间有如下关系：y = -x + 33（1）在这一变化过程中，自变量是、因变量是:（2）当气温x = 15。时，声音速度丫=米/秒：（3）当气温工=22。时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地约相距 米：（四）拓展1、如图，在中,已知NC = 9O ,边AC=4cm, BC=5cm,点P为CB边上一动点, 当点P沿CB从点C向点B运动时，MPC的面积发生了变化.（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？a（2）如果设CP长为mpc的面积为户川，则y与x的关系可表示为；（3）当点P从点D （点D为BC的中点）运动到点B时，则AAPC的面积从

13、 变到 cm2【知识点三】用图象表示的变量间关系（一）一般图像某地某天的温度变化情况如下图示，观察下表回答下列问题:（1）、上午9时的温度是： 12时的温度是（2）、这一天 时的温度最高，最高温度是一这一天一时的温度最低，最低温度是（3）、这一天的温差是 , 从最低温度到最高温度经过了多长时间？（4）、在什么时间范围内温度在上升？ 在什么时间范围内温度在下降？ （5）、图中的A点表示的是什么？ B点呢？ （6）、你能预测次日凌晨1时的温度吗？说说你的理由.知识归纳1： 1）上图表示了 随 的变化而变化的情况，它是温度与时间之间 关系的图象。是我们表示变量之间关系的又一种方法。2）用图象表示变量

14、之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示，3）它的特点是 ,可以形象地反映出变量之间关系的 二是研窕变量性质的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值，（二）用图象表示速度与时间之间的关系（vt图）1、观察右图回答下列问题：（1）a代表物体从 开始运动：（2） b代表物体 运动：（3） c代表物体 运动；（4） a表示的速度d表的速度（填"廿或“v”）1、每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度，你会看这个表吗？汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。速度/ （千米

15、/时）（1）汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它最高时速是多少?（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。知识归纳1：在速度与时间的图象中，上升线表示,下降线表示 水平线分两种：a.在横轴上时表示静止，速度为； b.其他的表示（三）用图象表示路程与时间之间的关系（St图）1、观察右图回答下列问题：（1）a代表物体 运动：（2） b代表物体:（3） c代表物体 运动直至回到:2、如图，这是反映爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之间关系的一幅图.徒离（米）（1）右图反映了哪两个变量之间

16、的关系？9007（2）爷爷每天散步多长时间？/ ； （3）爷爷散步时最远离家多少米？/；（4）爷爷从家里出发后20分钟到30分钟内可能在 5 10 15 20 25 30 35 4050 血（分）做什么？第24题（5）计算爷爷离家后的20分钟内的平均速度.知识归纳2:1）在路程与时间的图象中，线段的倾斜程度表示，越陡速度越，越平速度越。2）在路程与时间的图象中，上升线代表，下降线表示，水平线表木,（三）综合练习1、某山区今年6月中旬的天气情况是：前5天小雨，后5天暴雨，那么反映该地区某河流 水位变化的图像大致是（）变式1、为自约用水，利民学校冲厕水箱经改造后，当水箱水满后就按一定的速度放掉水箱

17、 的一半水，随后立即按一定的速度注水，等水箱的水满后，又立即按一定的速度放掉水箱一 般的水，下面的图像可以刻画水箱的存水量V （立方米）与放水或注水时间t （分钟）之间 的关系的是（）4y（微克）ABCD2、新成药业集团研究开发了一种新药，在实验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那 么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每亳升血液中含药量y （微克）随时间 x （小时）的变化如图所示.当儿童按规定剂量服药后：（1）何时血液中含药量最高？是多少微克？（2） A点表示什么意义?（3）每亳升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多 长？（4）你建议该儿童首次服药后

18、几小时再服药？为什 么？3、如图，是表示某天小明上学从家到学校时，离家的距离与时间的关系的图像。（1）小明从家到学校有多远？他一共用了多长时间到校？（2）中途小明停下来子啊路边的商店买了一些练习本，图中那一段曲线表示这一过程?（3）你能想象小明从离家到第4min时的情况吗？4、一列火车从青岛站出发，加速行驶一段时间开始匀速行驶。过了一段时间，火车到达下 一个车站。乘客上下车后，火车又加速，一段时间后再次开始匀速行驶，下而可以近似地刻 画出火车在这段时间内的速度变化情况的图是下图中的（）5、小李骑车沿直线旅行，先前进了 a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b<a）, 再前进c千米，则

19、他离起点的距离s与时间t的关系示意图是（）6、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化 情况（如图所示）（1）图像表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2） 10时和13时,他分别离家多远？（3）他到达离家最远的地方时什么时间？离家多远?（4） 11时到12时他行驶了多少千米？（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？（6）由他离家最远的地方返回时的平均速度是多少?变式、（1）如图，是自行车行驶路程与时间的关系图，则整个行驶过程的平均速度是（）（2）如图所示，OA、BA分别表示甲、乙两名学社运动的路程与时间的关系图像，图中S 和t分别表示运动

20、路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快（）A. 2.5m B. 2mC. 1.5m（三）拓展1、王大爷带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价出售一些后，又降价出售，售出土豆的千克数x与他手中持有的钱 数y （含备用零钱）的关系如图所示。根据图像回答下列问题：（1）王大爷自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克上豆出售的价格是多少?（3）降价后他按每千克0.4元将剩余上豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆?2、如图中的折线ABC是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y （元）与通话时间t （分 钟）之间的关系的图像。（

21、1）通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？（2）通话多少分钟以内，所支付的电话费不变？(3)如果通话3分钟以上，电话费y （元）与时间t （分钟）的关系式是丁 = 2.5 + （1-3）,那么通话4分钟的电话费是多少元?3、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一家个体车主或一家国有出租车公司签 订租车合同，合同中规定所付月租金的多少与出租车每月行驶的距离有关。下图表示出租车 每月行驶的距离与所付月租金的关系，（.表示个体车主，力表示国有出租车）观察图像回 答下列问题（1）每月行驶路程在什么范围内时租国有公司的车合算？（2）租个体车主的车，租来的车如果没有行驶，是否也要缴

22、租金？缴多少租金？租国有公 司的车呢？（3）每月行驶路程等于多少时，租两家车的费用相同？（4）如果这个单位估计每月行驶的路程2300米, 那么这个单位租哪家的车合算？4、甲、乙两地相距80千米，A骑自行车，B骑摩托车沿相同路线由甲地到乙地行驶，两人 行驶的路程y（千米）与时间x （时）的关系如图所示，请你根据图像回答或解决下面的问 题：（1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程 的路程y （千米）与时间x （小时）的关系。第三单元变量之间的关系单元测试1、（贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：

23、“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿 子到后细端详，父子高兴把家还如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横 轴X表示父亲离家的时间，那么下而的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）2、（陕西）星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系.依据图象，下而描述符合小红散步情景的 是（）.A.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就 回家了B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后， 继续向前走了一段，然后回家了C.从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后 才

24、开始返3、右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶 45千米，由A地到B地时，行驶的路程y （千米）与经过 的时间x （小时）之间的关系.请根据这个行驶过程中的图 象填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇：电动自行车的速度为 千米/时：汽车的速度为 千米/时：汽车比电动自行车早 小时到达B地.4、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余 部分的高度y （厘米）与燃烧时间x （小时） 之间的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是从点燃到燃尽所用的时间分别是:（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么

25、时 间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？5、（2006宿迁课改）小明从家骑车上学，先上坡到达A地 后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示.如果返回 时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（A. 8.6分钟C. 12分钟)B. 9分钟D. 6分钟6、某机动车出发前油箱内有油42L行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升.油箱中余油量Q（L）与行驶时间t （L）之间的关系如图8所示.回答问题：（1）机动车行驶几小时后加油？（2）中途中力口油 L：（3）己知加油站距目的地还有24（加，车速为40k/， 若要达到目的地，油箱中的油是否够用？并说明原因.7、在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定.在其下端悬挂物体，下而是测得的弹簧的 长度y与所挂物体质量x的一组对应值.所挂质量x/kg012345弹簧长度