高等数学导数的应用ppt教学文稿

1、第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 高等数学导数的应用ppt第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 一、函数的单调性一、函数的单调性第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 定理定理3.2.1（函数单调性的判定法）（函数单调性的判定法）设设y=f(x)在在a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导，则内可导，则（1)如果在如果在(a,b)内内f (x)0 ，那么函数，那么函数y=f(x)在在a,b上单上单调增加；调增加；（2)如果在如果在(a,b)内内f (x)0 由函数图像可知函数在由函数

2、图像可知函数在(- ,+ )上是单调递增的上是单调递增的当当x=0时，时， y =0 当当f(x)在某区间内仅在个别点处的导数为在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在，或不存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时，而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在该区在该区间仍是单增（或单减）的。间仍是单增（或单减）的。 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 例例2 讨论函数讨论函数f(x)=ex-x-1的单调性的单调性.函数的定义域为函数的定义域为(- ,+ )；当当x0时，时， y 0 ,函数在函数在( 0,+ )上单调增加上单调增加当当x0时，时， y

3、0时，时， y 0 ,函数在函数在( 0,+ )上单调增加上单调增加当当x0时，时， y 0时，时，ex1+x f (x)= ex-1所以所以 x 0,+ ),有有f(x)f(0)=0，即，即ex-1-x0 令令f(x)=ex-1-x ，则，则f(x)在在0,+ )上连续、可导上连续、可导,且且当当x0时，时， y 0 ,函数在函数在0,+ )上单调增加上单调增加所以所以当当x0时，时， ex1+x 利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式证明证明第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 又因为：又因为： f(0)=0，所以：当所以：当x0时，时， y 0 ,函数在

4、函数在0,+ )上单调增加上单调增加所以所以 x 0,+ ),有有f(x)f(0)，即不等式成立，即不等式成立.例例7 证明：证明：).0(1)1ln(122 xxxxx22( )1ln(1)1f xxxxx令令则则2( )ln(1)fxxx 0 )0( x证明证明第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 oxyy= (x)Mm12ab设函数设函数 y = (x)在在(a b)内图形如下图内图形如下图: 在在 1处的函数值处的函数值f( 1) 比它附近各点的函数值都要小比它附近各点的函数值都要小;而在而在 2处的函数值处的函数值f( 2)比它附近各点的函数值都要大比

5、它附近各点的函数值都要大;但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此为此,我我们引入极值与极值点的概念们引入极值与极值点的概念. 二、函数的极值二、函数的极值第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 定义定义3.2.1 设函数设函数f(x)在在x0的某领域的某领域N(x0, )内有内有定义，定义， ，都有，都有（1）f(x)f(x0)成立，则称成立，则称f(x0)为函数为函数f(x)的的极小值极小值函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的极值极值，使函数取，使函数取得极值的点称为得极值的点称为极值点

6、极值点0(, )xN x 第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 xyoab1x2x3x4x5x)(xfy f(x)的极小值点的极小值点:f(x)的极大值点的极大值点:1x2x3x4x5x第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 定理定理3.2.2（极值的必要条件）（极值的必要条件）设函数设函数f(x)在点在点x0处处可导，且在点可导，且在点 x0处取得极值，那么函数处取得极值，那么函数 f(x)在点在点x0处的处的导数为零，即导数为零，即 f (x0) =0极值的必要条件极值的必要条件第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函

7、数的性质函数的性质 1、可导函数的极值点必是它的驻点、可导函数的极值点必是它的驻点.从而有几何意义从而有几何意义: 可导函数的图形在极值点处的切线是可导函数的图形在极值点处的切线是与与 x 轴平行的轴平行的 (罗尔定理罗尔定理) .2、对可导函数来说、对可导函数来说, 驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点.即曲线上有水平切线的地方即曲线上有水平切线的地方, 函数不一定有极值函数不一定有极值. 如如3( ),f xx ox3yx y(0)0f 2( )3fxx , ,则则x =0 为为 f (x) = x3 的驻点的驻点.如图：如图：x =0 不是不是f (x) = x3 的极值点的极值点.说明

8、：说明：第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 3、对于函数、对于函数y = |x| , 我们已知我们已知 x = 0 是函数的连续不是函数的连续不可导点可导点. 但但x = 0是函数的极小值点是函数的极小值点. 如图如图.oxy=|x|实际上实际上, 连续不可导点也可能是极值点连续不可导点也可能是极值点. 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 定理定理3.2.3（极值的第一充分条件）（极值的第一充分条件）设函数设函数f(x)在点在点x0某个空心邻域内可导

9、（某个空心邻域内可导（ f (x0)可以不存在），可以不存在），x为该为该邻域内任意一点，邻域内任意一点，（1）当）当x0 ，当，当xx0时时f (x)0 ，则，则f(x0)为为函数函数f(x)的极大值；的极大值；（2）当）当xx0时时 f (x)x0时时f (x)0 ，则，则f(x0)为为函数函数f(x)的极小值；的极小值；（3）当）当xx0时时f (x)的符号相同，则的符号相同，则f(x0)不是函不是函数数f(x)的极值的极值极值的充分条件极值的充分条件第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0

10、 x0 x (不是极值点情形不是极值点情形)第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 定理定理3.2.4（极值的第二充分条件）（极值的第二充分条件）设函数设函数f(x)在点在点x0处二阶可导，且处二阶可导，且 f (x0)=0， f (x0) 0 ，则则（1）当）当f (x0) 0时，函时，函 f(x)在点在点x0 处取得极小值处取得极小值第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 （1）确定函数）确定函数f(x)的考察范围，（除指定范围外，考的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；察范围一般是指函数定义域）；（2）求出函

11、数）求出函数f(x)的导数的导数 f (x)；求出函数求出函数 f(x)的所有的所有驻点及不可导点，即求出驻点及不可导点，即求出f (x)=0的根和的根和 f (x)不存在的不存在的点；点； （3）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值相应的极值 求极值的方法：求极值的方法：第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 例例8 求函数求函数 的极值的极值23( )(2)(1)f xxx（3）列表）列表（1）函数的定义域为）函数

12、的定义域为(- ,+ )；x( )fx ( )f x(- ,-2) 0(-2,-4/5) -4/5(1,+ )+极大值极大值 0-0+所以所以f(x)在在x=0处取得极大值为处取得极大值为0，在，在x=-4/5 处取得极小处取得极小值为值为-8.4（2） ,无不可导点无不可导点2( )(2)(1) (54)fxxxx 令令f (x)=0 ，得，得12342,15xxx 0极小值极小值 -8.4(-4/5，1)+10无极值无极值解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 例例9 求函数求函数 的极值的极值32( )26187f xxxx令令f (x)=0 ，得，得（

13、1）函数的定义域为）函数的定义域为(- ,+ )； 所以所以f(x)在在x=-1处取得极大值为处取得极大值为17，在，在x=3 处取得处取得极小值为极小值为-47（2） ,无不可导点无不可导点( )6(3)(1)fxxx 121,3xx （3）22( )6(1)(51)fxxx 因为因为( 1)240f (3)240f 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 定义定义3.2.2 设函数设函数f(x)在区间在区间I上有定义，上有定义，x1,x2 I ， （1）若）若 x I ，都有，都有f(x) f(x1) 成立，则称成立，则称f(x1)为函数为函数 f(x)的

14、的最大值最大值， x1为函数为函数f(x)的的最大值点最大值点；（2）若）若 x I ，都有，都有f(x) f(x2)成立，则称成立，则称f(x2)为函数为函数f(x)的的最小值最小值，x2为函数为函数f(x)的的最小值点最小值点 函数的最大值与最小值统称为函数的函数的最大值与最小值统称为函数的最值最值，使函，使函数取得最值的点称为数取得最值的点称为最值点最值点三、函数的最值三、函数的最值第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 oxyoxybaoxyabab第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 1. 最值是一个整体概念，在某一范围内

15、，最值若存在，最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在，只能是唯一的；只能是唯一的；2. 最值点可以是最值点可以是 I 内部的点，也可以是端点；内部的点，也可以是端点；3. 如果最值点不是如果最值点不是I 的端点，那么它必定是极值点；极的端点，那么它必定是极值点；极值点不一定是最值点值点不一定是最值点4. 当函数存在当函数存在唯一唯一的极值点时，函数的极大（小）值的极值点时，函数的极大（小）值就是函数的最大（小）值就是函数的最大（小）值. .说明：说明：第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 （2）求出函数）求出函数 f (x)在内的所有可能极值点：驻点及不在

16、内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出可导点，即求出 f (x)=0的根和的根和 f (x)不存在的点；不存在的点； （3）计算函数）计算函数f (x)在驻点、不可导点处及端点在驻点、不可导点处及端点a，b处处的函数值；的函数值； （4）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大值，最小者的即为函数的最小值大值，最小者的即为函数的最小值 （1）确定函数确定函数f(x)的考察范围（除指定范围外，考察范的考察范围（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；围一般是指函数定义域）；求最值的方法（一）：求最值的方法（一）：第三章第三章 导数的应用导数的应

17、用第二节第二节 函数的性质函数的性质 例例10 求函数求函数 在区间在区间0,4 上的最值上的最值.32231225yxxx （3）计算得）计算得f(-1)=32,f(2)=5,又又f(0)=25,f(4)=57（1）考察区间为）考察区间为0,4 ； 所以所以f(x)在区间在区间 0,4上的最大值是上的最大值是f(4)=57 ,最小值最小值是是 f(2)=5 （2） ,无不可导点无不可导点2( )6612fxxx 令令f (x)=0 ，得，得121,2xx 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 （1）当）当f (x0) 是极大值时，是极大值时， f (x0)

18、 就是区间就是区间I上的最大值上的最大值； （2）当）当f (x0) 是极小值时，是极小值时， f (x0) 就是区间就是区间I上的最小值上的最小值. 设函数设函数f(x)在区间在区间I内可导，且只有唯一驻点内可导，且只有唯一驻点x0，又又x0是是f(x)的极值点，则的极值点，则xyo0 x（）I)(0 xf)(xfy xyo0 x（）I)(0 xf)(xfy 求最值的方法（二）：求最值的方法（二）：第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 x R,有有2( )4(21)(1)fxxxx 令令 f (x)=0有唯一驻点有唯一驻点1,2x 假设假设441( )(1)8

19、f xxx 例例11 证明：证明： x R,有有441(1)8xx 22( )1212(1) ,fxxx 1( )60,2f 又又1( )02f 所以函数所以函数f(x)在在x=1/2 处取得极小值，即最小值处取得极小值，即最小值441(1)8xx 因而因而 x R,有有f(x)0即即证明证明第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 在在实际问题实际问题中中,往往根据问题的性质就可以断定可往往根据问题的性质就可以断定可导函数导函数f(x) 必存在最大值必存在最大值(或最小值或最小值),而且一定在定义区而且一定在定义区间内部取到间内部取到.这时这时,如果如果f(x)在

20、定义区间在定义区间内部内部只有只有唯一唯一驻驻点点x0,那么那么,可以断定可以断定f(x0)就是最大值就是最大值(或最小值或最小值). (不必讨不必讨论论f(x0)是否为极值是否为极值).求最值的方法（三）：求最值的方法（三）：第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 例例12 要做一个容积为要做一个容积为V的有盖圆柱形水桶，问半的有盖圆柱形水桶，问半径径r与桶高与桶高h如何确定，可使所用材料最省？如何确定，可使所用材料最省？假设水桶表面积为假设水桶表面积为S，则，则容积容积要使所用材料最省，就要使水桶表面积最小要使所用材料最省，就要使水桶表面积最小222 (0)S

21、rr hr 2Vr h 2Vhr 222VSrr 224VSrr 解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 令令S (r)=0,得唯一的驻点得唯一的驻点302Vr 此时此时h=2r0 ，所以当半径，所以当半径r为为 ，桶高，桶高h为为 时，可使所用材料最省时，可使所用材料最省322V 32V 第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 (1)根据题意建立函数关系式根据题意建立函数关系式y=f(x)；(2)根据实际问题确定函数的定义域；根据实际问题确定函数的定义域；(3) 求出驻点；若定义域为开区间且驻点只有一个，则求出驻点；若定义域为开

22、区间且驻点只有一个，则该驻点所对应函数值就是所求该驻点所对应函数值就是所求. 如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，则需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即值，则需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.实际问题求最值实际问题求最值第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念. .例如：例如：2.yxyx , ,yxo2xy21xy 四、曲线的凹凸性四

23、、曲线的凹凸性第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 xy)2(21xxf)(2xf)(1xf1x221xx 2xoxy)(1xf)(2xf1x221xx )2(21xxf2xo曲线曲线(1)(1)上任意两点上任意两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)之间的弦上的点之间的弦上的点位于曲线相应点的下面，即位于曲线相应点的下面，即曲线在弦之上曲线在弦之上；曲线；曲线(2)则则相反，相反，曲线在弦之下曲线在弦之下.几何解释几何解释第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 定义定义3.2.3 设设f(x)在区间在区间a,b上连续上连续 如果

24、对如果对(a,b)内任意两点内任意两点x1 x2 恒有恒有 那么称那么称f(x)在在a,b上的图形是上的图形是凹凹的（记为的（记为“ ”）；如）；如果恒有果恒有那么称那么称f(x)在在a,b上的图形是上的图形是凸凸的（记为的（记为“ ”）；）；1212()()()22xxf xf xf 1212()()()22xxf xf xf 第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 (1)(1)观察切线与曲线的位置关系观察切线与曲线的位置关系. .xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA(1) 凹凹曲线位于其任一点切线的上方；凸曲线位于其任一点切线的上方；凸曲线曲线

25、位于其任一点切线的下方位于其任一点切线的下方(2)(2)观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系. .(2) 凹凹切线斜率单调递增切线斜率单调递增；凸；凸切线斜率单调递切线斜率单调递减减观察与思考观察与思考第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 定义定义3.2.4 曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点如果如果(x0, f(x0)是拐点且是拐点且f (x0)存在存在, 问问f (x0)=？如何找可能的拐点？如何找可能的拐点？如何确定曲线如何确定曲线y f(x)的拐点？的拐点？oxyy= (x)aABbcC讨

26、论讨论第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 (1)在拐点在拐点(x0, f(x0)处处f (x0)=0或或f (x0)不存在不存在. (2)只有只有f (x0)等于零或不存在等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐点才可能是拐点.(3) 如果在如果在x0的左右两侧的左右两侧f (x)异号异号, 则则(x0, f(x0)是拐点是拐点. (2)拐点是曲线上的点拐点是曲线上的点, 从而拐点的坐标需用从而拐点的坐标需用横坐标与横坐标与纵坐标同时表示纵坐标同时表示, 不能仅用横坐标表示不能仅用横坐标表示. 这与驻点及极这与驻点及极值点的表示方法不一样值点的表示方法

27、不一样.(1)拐点一定是拐点一定是f (x)=0或不存在的点，但是或不存在的点，但是f (x)=0或或不存在的点不一定都是拐点不存在的点不一定都是拐点.结论结论注意注意第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 定理定理3.2.5 设设f(x)在在a b上连续上连续 在在(a b)内具有二内具有二阶导数阶导数. 若在若在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上的图形是凹的上的图形是凹的 若在若在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上的图形是凸的上的图形是凸的 曲线凹凸性判定定理曲线凹凸性判定定理第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节

28、函数的性质函数的性质 若曲线若曲线y=f(x)在点在点x0连续，连续， f (x0)=0或不存在，或不存在， f (x)在在x0两侧异号，则点两侧异号，则点(x0, f(x0)是曲线的一个拐点是曲线的一个拐点(1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；(2)在定义域内求在定义域内求 f (x)=0的点和的点和f (x)不存在的点；不存在的点；(3)用上述点划分定义域，并用上述点划分定义域，并列表列表判别函数的凹凸性判别函数的凹凸性拐点的判定：拐点的判定：求曲线凹向区间和拐点的步骤：求曲线凹向区间和拐点的步骤：第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 f (x) 没有为

29、没有为0的点，但是的点，但是x=4时，时， f (x)不存在，不存在，253312(4),(4)39yxyx 例例13 讨论曲线讨论曲线 的凹向区间与拐的凹向区间与拐点点132(4)yx xf (x)f (x)(- ,4)4(4 ,+ )+-不存在不存在 拐点拐点(4,2)（1）函数的定义域为）函数的定义域为(- ,+ )；解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 定义定义3.2.5 若曲线若曲线L上的动点上的动点P沿着曲线无限地远沿着曲线无限地远离原点时离原点时,点点P与一条定直线与一条定直线C的距离趋于零的距离趋于零,则称直线则称直线 C为曲线为曲线L的的渐

30、近线渐近线当当C垂直于垂直于x轴时轴时,称称C为曲线为曲线L的的垂直渐近线垂直渐近线; 当当C垂直于垂直于y轴时轴时,称称C为曲线为曲线L的的水平渐近水平渐近线线五、曲线的渐近线五、曲线的渐近线第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 11 xy例如，对于曲线例如，对于曲线 来说，来说，, 011lim xx所以直线所以直线 y = 0 是曲线是曲线11 xy的水平渐近线的水平渐近线lim( ),xf xb lim( ),xf xb 若若 或或 则称直线则称直线 y = b 为曲线为曲线 y = f (x) 的水平渐近线的水平渐近线 .yxO11 xyy = 0（1

31、）水平渐近线）水平渐近线第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 所以直线所以直线2 2 yy与与都是该曲线的水平渐近线都是该曲线的水平渐近线 .又如，曲线又如，曲线，2arctanlim xx,2arctanlim xx2 yxO2 y = arctan xarctanyx 第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 例如，对于曲线例如，对于曲线y = ln x来说，来说，0lim lnxx ，所以直线所以直线 x = 0 是曲线是曲线y = ln x的垂直渐近线的垂直渐近线0lim( )xxf x 0lim( )xxf x ，若若 ,或

32、或 或或 则称直线则称直线 x = x0 为曲线为曲线 y = f (x) 的垂直渐近线的垂直渐近线.0lim( ),xxf x yxOy = ln x（2）垂直渐近线）垂直渐近线第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 所以直线所以直线x=1是该曲线的水平渐近线是该曲线的水平渐近线 .又如，曲线又如，曲线11lim,1xx 11yx 1yxO11 xy第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 所以，所以，y=2为水平渐近线为水平渐近线;1lim(2)21xx 例例14 求曲线求曲线 的渐近线的渐近线.121yx 11lim(2),1xx 所以，所以，x=1为垂直渐近线为垂直渐近线.21解解第三章第三章 导数的应用导数的应用第二节第二节 函数的性质函数的性质 所以，所以，x=0为垂直渐近线为垂直渐近线; 204(1)lim2xx,x - -例例15 求曲线求曲线 的