2020高考数学专题训练专题复习——求轨迹方程

1、一.本周教学内容：专题复习一一求轨迹方程（一）求轨迹方程的一般方法：1 .待定系数法：如果动点 P的运动规律合乎我们已知的某种曲线 （如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再 根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此 方法称为定义法。2 .直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线 的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出 点p所满足的几何上的等量关系，再用点 p的坐标 ”,y 表示该 等量关系式，即可得到轨迹方程。3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发 动点p运动的某个几何量t,以此量作为参变数，分别

2、建立 p点坐标 x, y与该参数t的函数关系x = f （t）, y = g （t）,进而通过消参化为 轨迹的普通方程F （x, v） =0。4 .代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运 动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程）， 则可以设出P （x, y）,用（x, y）表示出相关点P'的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程.即可得到动点 P的轨迹方程。（二）求轨迹方程的注意事项：1 .求轨迹方程的关鲤I在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P的 运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不 变。2 .轨迹方程既可用普通

3、方程F（x,y） 0表示，又可用参数方程x f（t为参数） y g来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为 普通方程。3 .求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否 增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否 丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍 去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端 情形。【典型例题】例1.22点B是椭圆 J 二 1上的动点,A（2a,0）为定点，求线段AB的中点M的 a b轨迹方程。分析：题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点，而B、M 为动点，且点B的运动是有规律的，

4、显然 M的运动是由B的运动而 引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点 M的轨迹方程。解：设动点M的坐标为（x, y）,而设B点坐标为（yo)则由M为线段AB中点，可得X0y02a x202 yx0 2x 2aV。 2y即点B坐标可表为（2x2a, 2y）22又点B(x0，y°)在椭圆2- -yy1上a b2 x0 -2 a2yv1从而有b2_2_2(2x 2a)(2y)b21,整理，得动点M的轨迹方程为224(x a) 4y2,2a b长半轴为短半轴为b的椭圆。2.动椭圆过定点M（1,2）,并且以y轴为准线，离心率为-,求椭圆的左顶2点A的轨迹方程。分析：先画出示意图，如图

5、所示：根据已知条件：动椭圆过（1 , 2）且以y轴为其准线，可见该椭圆位于 y轴右侧，注意到点M在椭圆上，故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等无内心率。 即可发现间接涉及动顶点 A的等量关系。只需用 A的坐标先表示出左焦点F的坐标，即可列出轨迹方程。解:设A(x, y),左焦点为F(Xo, y),则由离心率e1一，及点A在椭圆上，2可得除| 即T1 2'3X。-x,2呜x，y)又丁乂在椭圆上,3 22|MF| 1 即K1 2x)2 (2 y)21-,即-,|MN | 212化简，得9(x222(x -)-)2 4(y 2)2 1,即3- 39(y 2

6、)2114该方程表示以2 1 1 ,一(2,2)为中心,长半轴为2短半轴为3的椭圆。例3.过点P (2, 4)作两条互相垂直的直线l1, I2,若I1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。分析1:设M (x, y),由已知11±12,联想到两直线垂直的充要条件：kik2 = 1,即可列出轨迹方程，关键是如何用 M点坐标表示 A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之 间的联系。解法1 :设M (x, y), /M为AB中点,.A (2x, 0), B (0,而4 0而 kPA,2 2x44 2y2 2x 2注意到1i，x轴时，12，y轴，此时

7、A (20), B (0, 4)中点M (1, 2),经检验，它也满足方程x + 2y 5 = 02y)。又 11, 12过点 P (2, 4),且 li±l2. PAXPB,从而 kPA kPB=- 14 2yPB 2 01,化简，得x 2y 5 0综上可知，点M的轨迹方程为x + 2y 5 = 0。分析2:解法1中在利用k1k2 = -1时，需注意k1、k2是否存在， 故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用 PAB为直角三角形的 几何特性：1|MP| 11ABi 2解法 2:设 M (x, y),连结 MP,则 A (2x, 0), B (0, 2y),I1，l2,.ZPAB为

8、直角三角形1由直角二角形的性质 ，|MP | 31ABi也义 2)2 (y 4)2 g M'(2x)2 (2y)22化简，得x + 2y5 = 0,止匕即M的轨迹方程。分析3:从运动的角度观察发现，点 M的运动是由直线li引发 的，可设出li的斜率k作为参数，建立动点M坐标(x, v)满足的 参数方程。解法3:设M (x, y),设直线li的方程为y-4 = k (x2), (k* 0)1由li I2,则直线I2的万程为y 4(x 2)k4li与x轴交点A的坐标为(2 -,0),k2 、%与y轴交点b的坐标为(o4 ),k.M为AB的中点，2i -k （k为参数）消去 k,得 x +

9、2y-5 = 0另外，当k = 0时，AB中点为M (i, 2),满足上述轨迹方程;当k不存在时，AB中点为M(i , 2),也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x+2y 5 = 0例4.已知定点A (2, 0),点Q是圆x2 + y2=i的动点，“OQ的平分线交AQ于M ,当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程。分析1 :由三角形的内角平分线的性质，知四3 |MQ| |OQ|而 |OA| 2,|OQ| 1,故此以 |MQ |2,即点M分AQ成比为2,若设出M（X,y）,则由分点坐标公式，可表示出点 Q的坐标,因Q、M为相关点,（Q点运动导致点M运动），可采用相关点法求点M的轨迹方程。

10、解法1 :设M（X,y）,由三角形内角平分线性| AM |质定理，得|'| MQ |I AO| 2 |OQ| '.M在AQ上,，点M分AQ成比为2 2 xo又A（2,。）若设点Q的坐标为（X。，y。）,1 20 2 y。XoV。3x 22而点Q（x。，y。）在圆3y22X。y。2 1,即（）2（3y）2 1,22化简彳曰/2224，信（x 二）y 二 39点M的轨迹方程为(x 2)2 y2 4。 39分析2：由三角形的内角平分线性质，知上以生J 2, |QM | |QO |若过M作MN /OQ交OA于N,则LAN 四 2, |ON | |QM |从而呜，而耨| AM |bAo7

11、2 2,|OQ| 1,3222| MN | -|OQ | 一为定值，可见动点M到定点N的距离为定值一3332 一一因此M的轨迹是以N为圆心，半径为2的圆，3其方程为(x )2 y2 , 39而当/AOQ =180°时其角分线为y轴，它与AQ交点为原点O,显然，该点也满足上述轨迹方程。注：此种解法为定义法例5.如图，给出定点A (a, 0), (a>0)与定直线l: x=1,点B是l上动点，/BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a值关系。分析：由OC是/AOB的平分线，可联想到如下结论:(1)点C到/AOB的两边OA , OB的距离相等；(

12、2) OC与OA、OB所成的角相等。 I AC | |AO| | BC | |BO |对于(1)、(2)、(3),若再注意到点C在直线AB上，则可求 得轨迹方程。因此，本题从不同角度入手，则有不同解法。解法1:设B ( 1, b), C (x, y),直线OB的方程为y = bx ,即 bx + y = 0 ,OC平分/AOB, 点C到角的两边距离相等。I bx y I , b2 1IyI又点C在直线AB上，.A、B、C三点共线kAC kAB,即工 x a 1 a由得b9旬义 a x22由得b(x y ) 2 xy 0把代入，得 22(1 a)y(x y )- 2xy 0 (0 x a) a

13、xa a 2(x )2当a 1时，方程为1a-2-1,(0 x a)()2 J1 a 1 a .0<a<1时，轨迹为椭圆弧；a>1时，轨迹为双曲线弧。解法 2：设 B (1, b), C (x, y)则 kOA 0, koc , koB b x.tg /AOC=tg /COB,U by x,消去b,得 OC 平分/AOBzAOC = /COBb工 x(b) - xy 0 x10 x又J b包3代入式 x a 1 aa x22、(1 a)y(x y ) 2xy(a x) 0,(0 x a)以下略，（见解法1的相应部分）解法 3:设 B ( 1, b), C (x, y),又 A

14、 (a, 0)|AC| ，(a 1)2 b2 ,|BC| J(x 1)2 (y b)2, | AO | a,|BO| Jb2 1 OC平分/AOB,由三角形内角平分线性质，得22|AC | AO| 叩 J(a 1) ba|BC| |BOJ(x 1)2 (y b)2 1整理，得(b2 + 1) (a + 1)2+b2=a2(x + 1)2 + (y b)2又由kAC kAB得b (a 1川代入上式，整理，得 a x(1 a)y(x2 y2) 2xy(a x) 0, (0 x a)以下略。（同解法1的相应部分）【模拟试题】1.长为3a (a>0 )的线段AB的两端点A、B分别在y轴、x轴上

15、运动，P点分线段AB或正比2: 1 ,求点P的轨迹方程。222. AABC的顶点B、C 双曲线y- 1的焦点，点C在抛物169线y = 4x2上运动，求4ABC的重心G的轨迹方程。3 .自双曲线x2 y2 1上的动点A引直线x + y = 2的垂线，垂足为B,求线段AB中点M的轨迹方程。4 .已知定点 A( 1,0), B (2, 0), P 为动点，且/PBA = 2ZPAB, 求动点P的轨迹方程。5 . 以双曲线 x2 y2 2 的右准线 l 为左准线，以双曲线的右焦点为左焦点的椭圆C的短轴顶点为B,求BF中点M的轨迹方程。【试题答案】1. x2 4y2 4a222. y 12x ,(x 0, y 0) c 2c 253、3. 2x 2y 2x 2y 1 0, (x , y -)442