高考数学易错题精选

1、高考数学易错题精选：集合与简易逻辑、极限与复数-121,已知集合M =x|xWZ,且 N,则M的非空真子集的个数是(10-xA. 30 个B. 32 个C. 62 个D. 64 个2.不等式>a的解集为M ,且2盘M ,则a的取值范围是(，1、J 、八，c 1、，c 1,A.(二，+=叼 B. ,+=叼C. (0,T)» (0,二442223 .已知P =m |-4 <m <0, M =m|mx mx1<0对一切头数xfB成立，则下列关 系式中成立的是()A. P? MB. M ? PC. M=P D. MAP：。(1 -)p -14 .已知p和q是两个不相等

2、的正整数，且 q>2 ,则-n=()n 一 (12)q -1nA. 0B. 1C.卫D.卫二1qq-15 .设S为复数集C的非空子集.若对任意 x,y w S ,都有x + y, x y, xy w S ,则称S为封闭集.下列命题：集合S = a +bi |a,b为整数,i为虚数单位为封闭集;若S为封闭集，则一定有 0WS; 封闭集一定是无限集;若S为封闭集，则满足 S T J C的任意集合T也是封闭集.其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号)6 .已知集合 A=x|ax2 3x+2 = 0至多有一个元素，则 a的取值范围 ；若至少有一个元素，则 a的取值范围 .7 .对任意两个集合

3、M、N,定义：M N千 x x且M 取, M 11 N =(M -N) U(N -M),设 M =y|y=x2,xER , N=y|y = 3sin x, x R, 则 M L N =.18 .已知数列4的前n项和S =4% +1-二，其中b是与n无关的常数，且 0<b<1,(1 b)若 lmSn 存在，则 limSn =.9 . lim (Jx2 +x 7X -4x)=x->:：10 .如果 z =a+bi(a,b w R,且a #0)是虚数,则 z,z,z,| z |,| z |,z|_z, z2,| z 匕| z21 中是虚数的有 个，是实数的有 个，相等的有 组.11

4、 .设 A=x|x2 ax+a2_19=0, B = x| x2 5x+6 =0, C = x| x2+2x 8 = 0(1) A0|B=AUB,求 a 的值；(2)0? AAB ,且 A|C =0 ,求 a的值；(3) Ap|B = APlC 字0 ,求 a 的值.一，一一一 _ 10.12 .已知集合 E =x| x-1 至m, F =xw R|>1 .x 6(1)若 m =3,求 Ep|F ；(2)若EUF =R,求实数m的取值范围.一-.、- 一 一 2, ,一 一 一一一 一 , 一 一 一13 .设 R 为全集，集合 A=x|x+ax+1=0, x=FB=y|y=x 1,xy

5、R,右aFICrB =A,求实数a的取值范围.2214 . 设集合 A=(x,y)|ay x 1 = 0, B =( x, y) 14x +2x 2y + 5 = 0, C =( x, y) | y = kx +b.(1)当 a =0时，求 A0| B；(2)当a =1时，问是否存在正整数 k和b ,使得(Anc)U(B0|C)=0 ,若存在，求出k、 b的值；若不存在，说明理由.15 .已知不等式x2 -4x+a+x-3 E5的解集中的最大解为 3,求实数a的值.16 .设x -2 <a时，不等式x2 -4 <1成立，求正数a的取值范围.2217 .设p:万程x +2mx+1 =

6、0有两个不相等的正根；q:万程x +2(m 2)x 3m+ 10 = 0无实根，求使p或q为真，p且q为假的实数m的取值范围. 2,、18 .试判断a 23是关于x的万程x +ax+1=0在区间-1,1上有解的什么条件？并给出判断理由.一 一一 x+2 ,小 . 219 .已知不等式 x+32x ; f±1； 2x +mx1<0.x2 -3x+2(1)若同时满足、的 x也满足，求实数 m的取值范围；(2)若满足的x至少满足、中的一个，求实数m的取值范围.20.已知数列a。的各项都是正数，且满足: an <&+ <2 , nN .1a0 =1,an+=3an(

7、4an) , n=N ,证明:21.试证明：不论正数 a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,nWN”且a、b、c互不相等时，均有：an +cn >2bn .an+ = f(an)(nWN*)，且 a =1 .1 222 .已知函数f(x) =2*2 _x+2 ,数列an满足递推关系式:(1)求a2、a3、a4的值；(2)用数学归纳法证明：当 n25时，an <2-;n -1一， n 1(3)证明：当nA5时，有£ 2 <n-1 .k 1ak23 .已知数列an为等差数列,公差d#0,由.中的部分项组成的数列ab1,ab2,l|l,abn ,为等比数列，其中 b

8、=1 , b2 =5 , b =17 .(1)求数列bn的通项公式； 记 Tn =CX 冗:b2 +C；b3 +III 冗nnbn ,求 nm4二24 .已知公比为q(0 <q Ml)的无穷等比数列，各项的和为9,无穷等比数列a2各项的和为81.5(1)求数列，的首项ai和公比q;(2)对给定的k(k =1,2,川,n),设Tk)是首项为ak ,公差为2ak 1的等差数列，求数列T(2)的 前10项之和;(3)设。为数列T(i)的第i项，Sn也+“|bn ,求S ,并求正整数m(m >1),使得！嗅之存在且不等于零.n -X25 .当xT时，函数f (x)(m,nWN*)的极限是否

9、存在？若存在，求出其极限.x b一，1 一、， 一26 .设z是虚数，8=z+-是实数，且 T<0<2. z(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；1-7(2)设u =L上，求证：u为纯虚数；1 7(3)求。u2的最小值.集合与简易逻辑、极限与复数易错题（参考答案）1. C 解：因为12=1父12=2父6=3父4,又xZ且2-w N ,所以10-x10x =1,2,3,4,6,12，故 M =9,8,7,6,4, 2,所以它的非空真子集有 26 2 = 62个.2. B解：当a W0时，不等式的解集为x| xW RMx #0,不符合题意，所以 a A0 ,由才令下I ax -1ax

10、 -1 ax -112 ax -1不等式 a a得： a a或< -a ,即 :> 0或< 0 ,则有 x < 0或| x |xxxx-11_.1.0 <x <,又2正M ,所以M2,即有a之一，故选B .2a2a423. A 解：当m=0时，一1<0,对一切实数x ,不等式mx mx 1<0恒成立；当m#0 时，要使不等式恒成立，则m<0且 = m2+4m<0,即一4<m<0,所以 M=m|4cm<0,故选 A.4. C解：特殊值法由题意取p =1, q =2 ,则lim(1 1)pn-1(1 1)q -1n1=

11、lim n n_12 一n n= lim 二 一n 二 1 2n 2=卫，可见选C. q5. 解：.集合S为复数集，而复数集一定为封闭集，是真命题.由封闭集定义知为真命题.是假命题.如 S=0符合定义，但是 S为有限集.是假命题.如 S = Z , T为整数和虚数构成集合，满足 S3 T J C ,但T不是封闭集, 如J3 + 2i, J32i都在T中，但（J3+2i） +（J3 2i） = 2向显T ,所以正确的是.,9 T c,96. Wa |a 主一，或 a =0Wa|aE-）,8.8解：当A中仅有一个元素时， a=0,或A=98a = 0; 当A中有0个元素时， =98a <0;

12、当A中有两个元素时，9 =9 -8a >0;所以【a | a之9,或a = 01，la | a <-1 .8,. 187. -3,0) U(3,二)-M =3,0),解：依题意有 M=0, ), N =3,3,所以 M N =(3,y)，N故 M II N = (M -N) IJ(N -M) =-3,0)U(3*) .118. 1 解：因为 Sn =4an+177T=4(0G 1)+1ecbd),(1 b)一 (1 b)1所以 lim Sn = -b(lim S 7m Sn 1)，1 7mn ，n ：n ： nn 二(1 -b)1得 lim Sn =1 - lim-n 二n 二(1

13、 b)n9.解:52lim (Jx2 +x -a/x2 -4x) = lim1 5x :二x 二.x2 xx2-4x=limx "二-51-:11,则 0 <b <1 ,故 1 <1 十b <2 ,所以 lim Sn =1 n :10.4, 5, 3.解：z, z,z,z2四个为虚数;| z|,| z|,zLz,|z|2,|z2| 五个为实数；z=z,| z|=| z|,4 z =| z|2 三组相等.11 .解：（1）因为AIB =AUB，所以A= B ,又由对应系数相等可得 a = 5和a219 = 6 同时成立，即a = 5 ；（2）由于 B =2, 3

14、, C = -4,2，且 0 ? A。B , Ap|C =0 ,故只可能 3亡 A.此时2a -3a - 10 = 0 ,即 a =5 或 a = -2 ,由（1）可知，当 a =5 时，A= B =2, 3,此时ApC #0 ,与已知矛盾，所以 a =5舍去，故a = 2 ；由于B = 2, 3, C =4,2,且A。B= A C± 0 ,此时只可能2亡A ,即2a 一 2a -15= 0也即a=5,或a = -3,由（2）可知a =5不合题息，故a = -3 .12 .解：（1）当 m=3 时，E=x| x1 23 =x|xW2或 x 2 4,，10、，、F =x|>1 =

15、x| -6 <x M4,x 6E Af =x|xM2或 x 之 4nx|-6<x<4=x|-6<xE-2；(2)因为 E=x|xm,当m£0时，E = R,EUF =R,满足条件；当 m>0 时，E =x|xE1m或 x 至 1+m,由 EljF =R, F =x | 6< x < 4,得:1 - m 它：-6«1+mE4 解得0<mw3.综上，实数 m的取值范围为（-0o,3. m >013 .解：因为ADCrB=A,所以ACrB ,又B=0,），所以AQ （吗0）.所以方-0. 2 一程x+ax+1=0或者无实根，或

16、者只有负实数根. 所以，Ac0或 ，即a -4<0-a 二 0a2 -4 0- 或，得a a2 .故实数a的取值范围为（-2,+）.a 0x = 114.解：(1) a=0,则 A=(x,y)|x = 1,yw R,由方程组 «2解4x 2x-2y 5 = 0得:=-17，即 aC1B=(1,7).22(2) a=1,则A中的方程为 y2x1=0 .因为A、B、C都是非空集合，由已知必有 aAc=0且bPic=0,此即方程组1y =x*和方程组卜x+2"2y+5=°均无y二kxby二kxb2 222解，消去 y 整理得 kx +(2bk1)x + b -1=

17、0*/0)和4* +2(1 k)x 2b+ 5 = 0 ,所 2222以1 =(2bk -1) -4k (b -1) =4k -4kb +1 <0 ,_ 2 _2-_一 一4=4(1k) 一16(52b) =4(k 2k + 8b-19) < 0,将其看做关于 k 的二元一次不等25式，从而 A3 =16b -16>0 , A4 =4-4(8b-19) >0 ,所以 b2 > 1且 b <成立.又 b N ,22 - . 32.3所以 b = 2，此时 4k 8k+1<0,且 k2k-3<0,由此得 < k <,由kw N得 k=1,

18、即所求 b = 2, k=1.一一 2一 一 一 一. 一 .一15 .解：将 x =3代入 x 4x + a + x3=5,得一3 + a = 5,即 a=8. cI0<x<3 当a =8时，原不等式可化为 x-3 <-x2 +4x3,解得«,即24xW3,所以2<x<3a =8满足要求.16 .解：因为a>0,所以由x2 <a得2 a<x<2+a,由x24 <1,得：2 - a 333 < x < J5 或 一 J5 < x < 一 J3，故(一，解得 a - J5 - 2 ,2 a - - 52

19、-a - - .5又 a >0,所以 0<awJ52,又 <2+a < -73 ,无解.a 0综上，正数a的取值范围是a|0 <a w，52.2b -17.解：令 f(x)=x +2mx+1,则由 f(0)>0,且> 0 , 2a且 A>0 ,求得 m < -1 , - p: mw (-, 1),2q:A=4(m2) 4(-3m+10) < 0= 2<m<3,由p或q为真，p且q为假知，p、q一真一假. 一 m 二 -1rr当p真q假时，i - ，即mW2;m< -2或m _3m - -1 一当p假q真时，!即1Mm

20、<3.-2 :二 m :二 3m的取值范围是 m < 一2或一1 M m <3 .答案：(-二二，-2山-1,3)218.解：令f(x)=x +ax+1=0,则方程在区间-1,1上有解的充要条件是：2 2a -4 >0-1 < -a <1 . « 121或f (1)f (1)E0 ,由于第一个不等式的解集是 2,2,而第二个不等式的f (-1)之 0f(1)-0解集是a|a M2或a2,所以关于x的方程x2 +ax + 1 = 0在区间1,1上有解的充要条件是|a >2,因为集合a| a之3?a| a之2,故而可得结论：|a之3是关于x的方程

21、x2 +ax+1 =0在区间-1,1上有解的充分不必要条件.19.解：由题意知，解得 T <x<3；解得0Wx<1或2<xW4.(1)设同时满足、的集合A=0,1)U(2,3),满足的集合为 B ,因为A B ,所以:Lf M0 17( () ，所以m E17为所求.f (0)：二 03(2) B 土(1,3)U0,1) U(2,4,所以 B 土(1,4,即方程 2x2 + mx 1 = 0 的两根在-1,4内，所以：f (-1) ,0 f(4) -031,所以一一Em E1为所求.420.证明：用数学归纳法证明13当 n =0 时，a0 =1, a1 = a0 (4

22、a0)=一022所以 <a <2, 命题正确假设当n=k(kwN率)时，有ajcak <2 ,则当n=k+1时,111 ,一ak ak1- 2ak1(4-ak1)- ak(4ak)- 2(ak1 -ak) - 2 (ak 1 一 ak)(akak)1，一2 (ak _L ak )(4 ak Xak),而 ak 1 ak <0,4 3k 1 ak >0 ,所以 ak ak+ <0 -一 11又 ak+=ak(4 ak) =24 (ak 2)2 <2 ,所以当 n=ky 时，命题正确由知，对一切 nWN ,有为 <an+<2 .b一21.证明：

23、(1)设 a、b、c 为等比数列，a =，c = bq(q A0且q01),q c bn n 1 nn所以 a +c = +b q =b ( +q ) >2b . qqn n(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c,猜想3J Afacn之2且nW N*).22下面用数学归纳法证明： 当 n=2 时，由 2(a2 +c2) A(a+c)2 ,22所以邑上J >(。)2 .22k k假设n =卜时成立，即a-J >(ac)k ,22则当n =k +1时，k 1 k 1 =1(ak1 ck1 ak1 ck1)1(ak 1 ck 1 akLc - ckLa)2441 / k ka

24、 c k a . c、/a c、k 1=(a c)(a c) ()()=()422222 .解：(1)由 a =1 及 an + = 1a2-an+2 计算彳导:a2 =- , a3 =13 , a4 =-217 .228128(2)证明：(I)1 ,217.2% 二二(二) 2 1282172171217、c 217 39o 1+2 =2(1 x )=2一一<2,1281282128128 2564(n)假设结论对n =k(k之5)成立，即ak <2k-1即当n =5时，结论成立.因为 an + Jan -1)2 +-之3 ,函数 f (X) =1(X_1)2 +-在(1,收)上

25、递增, 2222211则 f(aj<f(2 )，所以 ak+<-(2 k -12即当n =k +1时结论也成立.1)7=2-k-12-2k -1 2(k -1)2<2-。1由（I） （n）知，不等式 an <2-对一切n25都成立. n -1(3)因为当 n 25 时，an <2 ,所以 一1一 <n .n -12 一 1又由 an + =；a： -an +2 ,即 an+-2 =an(a2-所以数列an的首项a为3,公比q为-. （2）由（1）知，%=34|）",所以，T2）是首项为a2=2,公差d =2a2 1 =3的等差数列,1匕的刖1

26、76;项之和为S1° =1°M2+父1°父9父3 =155 ,即数列T的前1°项之和为155.2,IP =- -1 ,得工,且 a=1.an 1-2 an_2 anan an _=2(Cn3 C：32 上 d3n )(C： 3nn 1，11、111 彳 彳所以 £ 一 =£ () =1 <n -1.k 1akk 3ak_2ak1.-2a1-2an1 - -22 an 1因为d。°，所以a, =2d ,数列abn的公比q = = =3 ,23.解：(1)由题意知 a2 =a1l_a17 ,即(a +4d)2 =&

27、+16d)= &d =2d2 .a a1所以 abn =a1|_3nA.又 abn =a1 +(bn -1)d =n2a1 .由得4回=by1La1.因为 a1 =2d ¥0 ,所以 bn =2|_3n1 .(2)Tn=C；b +C2b +m+Cnbn=C1(23°+1)+C2.(2j1_1)+C：(2_3n,-1)oc 2C： Cn) =-(1 3)n -1-(2n -1) 3=44n -21313'所以lim -nf：Tn24n -2n 1n =lim n i4nbnnf 4n 2匕3n121 n 1 1 n一 一()-()323 4二91 q24.解：（1）由题设可得2 :二二1 -q,解得481"52 q=3(3)因为b为数列T”的第i项，十“是首项为a ,公差为2a1的等差数列,所以 n =a +(i -1)(2 _i)=(2i_(i _i),所以 S =b +b2 用| +bn =ai 十曲 +583 十|十(2n1)& 1 + 2+|十(n 1).令 S =a +3a2 +5a3 曲| +(2n -1)an.因为 S-qS =2(& +a2 +|+an) -a (2n1)an +，81(1 -qn)& (2n -1)an