简易数学模型

1、简易数学模型1.某人现有1万元现金，决定存款，计划存n年，试建立存款模型。并用下面的问题验证：中国人民银行97年10月整存整取年利率如下: 一年期二年期三年期四年期5.67%5.94%6.21%6.66%某人97年10月有1万元,选用怎样的存款方式使6年内收益最大?分析： 假设银行提供的整存整取种类（按年数分）为：任何一种存款方案都可用一组非负整数表示：.则n, n年末的收入我们可以算出每种年期的平均年利率（复利）这样这样求p的最大值等价于求lnp的最大值。，则选择第k个年期，否则只能用枚举的方法得到最佳的存款方案。知识点：单利，复利,对数2.体积一定的罐头罐，尺寸应该怎样？ 分析： 罐头罐通

2、常为圆柱体，假设半径为r,高为h.由于体积v一定,所以，设计罐头罐应考虑制造成本：（1） 材料费用：罐头罐的表面积与单位面积材料费c的乘积：（2） 焊接费用：焊接长度与单位长度的焊接费用d的乘积： (4r+h)d总费用当然实际生产过程中，材料的利用率是非常重要的因素。讨论：试研究当d和c的大小发生变换时，对r的影响。练习：某仓库拟用12根长a米的钢管及足量的防水布在露天以钢管为棱搭建若干个棱锥形帐篷零时储物.问如何搭建才能使容积最大?知识点:表面积，体积，函数极值3.某厂每月需供应零件420个(不允许缺货),每月生产率1200个,(由于不必每天生产,所以分批生产)每批装配费500元,存储费每月

3、每件8元(存储费与存储时间成比例),试安排生产周期和每期产量. 分析： 几个基本假设：（1） 不能缺货（2） 零件的供应是连续的匀速的，生产过程中零件的产量是连续均匀的（3） 生产是周期性的每个周期（设为t）需考虑的费用：装配费k,存储费v.一个周期内库存量q与时间t的关系如下：tqtptp为该周期内生产时间,每周期内产量和供应量平衡1200tp=420t，tp=420/1200t=0.35t,最高存储量为(1200-420)tp=273t,最低存储量为0，平均存储量为273t/2=136.5t, 存储费v=8×136.5t×t=1092一周期内的总费用为：k+v=500+

4、1092平均每月费用为：（500+1092）/t最佳的生产计划应使得单位时间成本最低（或单位零件的生产成本最低）讨论：研究最佳生产周期与装配费间的关系。如果允许缺货，缺货费为每月每件s元，对上述模型进行修正练习：3.1.某商店经售甲商品,成本单价500元,年存储费用为成本的20%(存储费与存储时间成比例),年需求量为365件,需求速度为常数(不允许缺货).甲商品的订购费为20元,提前期为10天, 安排订货周期和每期订货量.3.2.某厂每年需某种元件5000个,需求速度为常数(不允许缺货),每次订购费50元, 年存储费用为1元(存储费与存储时间成比例),元件单价K(元)随采购数量Q(个)变化而变

5、化:Q<1500时,K=2.0; Q1500时,K=1.9. 安排采购周期和每期采购量.知识点：函数极值4.汽车位于点A, 朝向垂直 AB. 不允许倒车，求汽车到达点B的最短路径.分析： 假设汽车有最小的转弯半径r， 汽车的大小相对于r,及A,B间的距离d可忽略不计。 如果d2r,如下图：从A点出发作以r为半径的圆周运动，当该圆过汽车所在点的切线过点B时，汽车径直开向B如果d<2r,如下图：从A点出发径直开,然后作以r为半径的圆周运动，圆恰好过B练习：一幅长为b的画挂在墙上，倾角为q,画的底部离地面的高度为a,试确定观赏者的最佳位置。知识点：三角比5.如图为一双向通行的一个十字路口

6、，每个方向均有一车辆通道，不考虑行人，车辆不允许转弯，给定红绿灯变换周期，试建立数学模型确定水平方向红灯所占时间。H:水平方向； V:竖直方向。分析：假设（1）车流是均匀的（2） 有车停车后再发动到正常车速所需时间相等（设为s）。（3） 忽略红绿灯间的间隔（黄灯）（4） 车队中的车能同时制动和同时启动合理的红绿灯比例配置应使得一周期内车子被延误的时间总和尽量小。设一周期时间为1。水平方向红灯时间为r,则绿灯时间为（1-r）; 竖直方向红灯时间为（1-r）,则绿灯时间为r;假设水平方向每周期到达的车辆数为h,则红灯引起的停车量为：hr, 平均等待时间为r/2,总共延误时间为：hr(s+r/2)假

7、设竖直方向每周期到达的车辆数为v,则红灯引起的停车量为：v(1-r), 平均等待时间为(1-r)/2,总共延误时间为：v(1-r)(s+(1-r)/2)两个方向总共延误时间t= hr(s+r/2)+ v(1-r)(s+(1-r)/2)t是r的二次函数，我们可以找到合适的r,使得t最小。讨论：如果假定红灯转成绿灯时，每辆相继启动的车之间有一定时间的延误或考虑红绿灯转换的时间间隔，试修正上述模型。练习：设路口交通灯的变换周期为2分钟,一个周期内东西向和南北向来车分别为20辆和16辆,停车后再发动到正常车速所需时间为2秒. 求一个周期内东西向开红灯的最佳比率.知识点：二次函数6.现有甲，乙，丙三个服

8、装厂生产同一种服装,甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是2:1, 乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是3:2,丙厂每月生产成衣1000套，生产上衣和裤子的时间比是1：1，若三服装厂兼并,试建立数学模型，设计兼并后各厂的生产计划。分析：设甲，乙，丙月生产上衣能力分别为a1,a2,a3,月生产裤子能力分别为b1,b2,b3,每月用于生产上衣的时间百分比分别为：x1,x2,x3.(0x1,x2,x31)则由于上衣数须等于裤子数，所以a1×x1+a2×x2+a3×x3= b1×(1-x1)+b2×(1-x2)+b3×

9、(1-x3) 好的生产计划是确保成衣总数t= a1×x1+a2×x2+a3×x3最大。由a1×x1+a2×x2+a3×x3= b1×(1-x1)+b2×(1-x2)+b3×(1-x3)，x3可用x1,x2表示：x3=c×x1+d×x2+e； t也可用x1,x2表示：t=m×x1+n×x2+l.原模型归结为：max t=m×x1+n×x2+l0c×x1+d×x2+e10x1,x21练习：甲，乙两种零件可在铣床，六角车床，自动机床

10、上加工。每台铣床单位工作日可加工甲15个，或乙20个。每台六角车床单位工作日可加工甲20个，或乙30个。每台自动机床单位工作日可加工甲30个，或乙55个。现有3台铣床，3台六角车床，1台自动机床，试确定加工方案，使得成套产品数最多。知识点：直线，线性规划7.越江隧道内既是交通拥挤地段,又是事故易发地段,为了保证安全,交通部门规定,隧道内的车距d正比于速度v(公里/小时)的平方与车身长(L米)的积,且最小的车距不得少于半个车身长.在交通繁忙时,应规定怎样的车速,可是隧道的车流量最大?分析：假设交通繁忙时，车流是均匀的。车流量由相继开出隧道的两车时间间隔t决定的，t越小，车流量越大。求出t的最小值

11、及相对应的车速v讨论：是否v越大车流量越大，车流量与k的关系如何？知识点：分段函数，函数极值8.有A,B两家企业生产桶装矿泉水.市场价P(元/每桶)与消费者需求量Q(万桶)间的关系:P=30-Q/50.最初只有A一家生产,后来B发现有利可图,也加入生产的行列.试建立数学模型描述桶装矿泉水市场。分析：假设A，B两企业都本着利润最大化原则决定各自产量。为了简化，假设桶装矿泉水生产成本为0。假设A开始产量为a,则市场价P为30-a/50利润Pa=a(30-a/50),当a=750(万桶)时Pa最大，此时P=15(元/每桶)设B进入市场时决定产量为b,则市场价P为30-（750+b）/50利润Pb=b

12、(30-（750+b）/50),当b=375(万桶)时Pb最大，此时P=7.5(元/每桶)然后，A必将调整自己的产量，假设A产量为a,则市场价P为30-（375+a）/50，利润Pa=a(30-（375+a）/50),当a=562.5(万桶)时Pa最大，此时P=11.25(元/每桶)同理，B将调整自己的产量。直到市场稳定，A,B不再调整自己的产量。设此时，A,B的产量分别为a,b则Pa=a(30-(a+b)/50),为了利润最大，a=750-b/2 (I)Pb=b(30-(a+b)/50),为了利润最大，b=750-a/2 (II)由（I）,(II),解得a=b=500,此时市场价为10讨论：

13、（1）如果A,B结成联盟，市场将如何变化？ （2）如果第三家企业C进入市场，市场将如何变化？知识点：二次函数，函数极值9.上海市出租车现行收费制度（6：0023：00）为3公里起步价10元、每公里2元，并且10公里以上每公里3元。一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。可现在，这种乘客越来越少见了。请问适当换车真的省钱吗？建立数学模型解释上述现象。分析：假设堵车不发生，则平均每公里费用p与公里数x关系如下：p-x图像如下：当x=10时，p取得最小值，当x<10时，p是x的减函数，当x>10时，p是x的增函数，但却一直小于3.当x10时，不换车；当x

14、=10n时（n是大于1的整数），每隔10公里换一次车。当10<x<20时，若换车发生在x=10处，费用 若不换车费用 当t<t0,即8+2x<3x-6 也就是x>14时，换车，x<14不换车同理当10n<x<10n+10时（n为大于1的整数）（已经换了n-1次车）若换车发生在x=10n处，费用 若不换车费用 当t<t0,即4n+4+2x<3x-6n 也就是x>10n+4时，换车，x<10n+4不换车讨论：能否设计合适的收费制度，使得顾客不换车？知识点：分段函数，函数单调性10.如图示，某人抛球过平顶屋，试建立数学模型，寻找

15、合适的球速和抛球角度。OPBAS分析：如图，假设出球点高度为h,平顶屋高为b,纵向长度为a,人与屋的距离为x.我们假定b>h，重力加速度为g假设抛球角度为，tg>,设球速为v.球速v须满足两个条件：（1） 保证球飞过点B 球飞至B点上方的时间=此时，球离A点高度(2)保证球飞行的最高点在OP的左方 球飞到O点上方时间为：，球达顶点的时间为：综上所述，讨论：给定x,h,选择合适的,使得v尽量小；给定h,选择合适的x, , 使得v尽量小。练习：黄浦江江面宽为a,一艘艘宽度为b的轮船在江心由北向南以等速v直线行驶,每艘轮船的船头到前一艘轮船的船尾的距离为c,一艘对江轮渡由浦东A点出发驶向

16、浦西岸边B点.求能以最小的等速沿直线安全到达对岸所需的时间. 北AB(轮渡大小忽略不计)知识点：斜抛运动，三角比11.牧场主有一块一公里见方的土地，打算全部或部分出售，土地本身不要钱，不过买主得出钱建围墙，价钱为每公里1元。试建立圈地模型。分析：好的圈地方案应使得平均每元获得的土地面积（即：土地面积比土地周长）最大。很多人根据“周长一定（此处周长即为成本），面积最大的图形是圆”， 设圆的半径为r, 面积比周长为：r/2,半径越大，比值越大，最大的半径为0.5，即最大的圆为土地的内切圆，此时比值为0.25。细心的读者发现，圈整块土地得到的比值也是0.25。如图： r 土地的内切圆半径为0.5，随

17、着圆的半径r继续增大，我们圈得土地如上右图所示（当r=,便圈下整块土地），土地面积比土地周长q可表示为r的函数:q=f(r), 0.5r,求出q的最大值（0.2636）练习：某铝制品厂在边长为40厘米的正方形铝板上以四个顶点为圆心割下四个半径为20厘米的扇形(90度)。为节约铝材，该厂打算用余下的部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒(有底,有盖,接逢用料不计）,求包装盒的最大直径并画出相应的裁剪图。知识点：三角比12.报童问题：报童每天售报数量是随机的。报童每售出一份报纸赚k元。如报纸未售出，每份赔h元。每日售出报纸份数r的概率p(r)根据以往经验是已知的，试建立数学模型，决定报童每天最好准

18、备多少份报纸？ 分析：设报童每天准备的报纸数为q,则报童销售情况分两种：（1） 供不应求（qr），此时收入为：qk（2） 供大于求（q>r）,此时收入为：rk-(q-r)h=r(k+h)-qh期望收入:最好的q应满足:s(q-1) s(q), s(q+1) s(q),即： 练习：某食品店每天顾客需求100、150、200、250、300只蛋糕的可能性分别为0.2、0.25、0.3、0.15、和0.1,每个蛋糕进价2.5元,售价4元,若当天不能售完,剩下的以每个2元处理,问如何进货?总产量最高.知识点：概率，期望值13. 军舰A沿着某固定方向匀速航行，此时军舰B接到命令与军舰A在最短时间内

19、集结，试建立数学模型，研究军舰B的航行方案。分析：假设局部海洋是平面，以AB中点为坐标原点，AB为y轴，建立直角坐标系，如图：BPAxy 设AB=2b, 舰A航行方向与x轴夹角为，由对称性，只研究的情况。集结地点为点P(x,y),因为考虑最短集结时间，我们假设舰B也是直线匀速航行，舰A，舰B的航速分别为.设a=/,于是，点P须满足PB=a×PA，即：。 （*）当a=1时，集结地点P为AB的中垂线与舰A航行直线交点，若0，则两舰不可能集结当a1时, (*)式可改写为其中，集结地点P为圆：与舰A航行直线y=tgx-b (x0)的交点（请读者讨论交点存在的条件及或-的情况）练习海上演习，军

20、舰A,B,C同时接到命令须在最短的时间集结，已知相互间距为AB=100海里，CA=200海里，BC=220海里。A,B,C的速度分别为15海里/小时，20海里/小时，12海里/小时求集结地点D.知识点：圆与直线方程14某公司租用一幢n层的办公大楼，该公司全员会议较多，需在某个楼层设置会议厅，试建立数学模型，选择合适的楼层。分析：假设每个楼层参加会议的人数相同，相邻两层楼梯长都一样。合适的楼层应使得参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小.假设选择楼层k,则各楼层路程总和为：(k-1)+(k-2)+1+0+1+2+(n-k)=当n为奇数时，k=(n+1)/2当n为偶数时，k=n/2或（n+2）/2

21、讨论：若各楼层人数不同，请对上述模型进行修正。如果该为乘电梯，情况又如何？练习：有一36层高楼 （层高一定），你想做一个实验：从某楼层落下一个鸡蛋，看是否会破，测出鸡蛋不破的最高层数。假定没破的鸡蛋可继续用于该试验，破了的鸡蛋将被遗弃。如果只有一个鸡蛋，必然是一层一层抛。如果有两个鸡蛋，请设计试验方案，使得落鸡蛋的次数最少。知识点：二次函数最值15.工厂或公司都会配备一些大型设备，这些设备除了购买成本高外，运转费用及维护费用也不低，而且用的时间越长，运转费用及维护费用越高，试建立设备更新的数学模型。分析：假设设备的运转费用及维护费用按期计算，费用发生在每期开始时。每期运转费用及维护费用递增常数

22、d，折旧费忽略不计。银行利率每期为i.设设备费为a,首期运转费用及维护费用为c,则n期的总费用现值k(n)为：k(n)=a+c+若n期更新一次设备则全部将来（正无穷大年后）费用的现值t(n)=k(n)+ = 求出t(n)的最小值并找出相应的n.练习：某设备设备费为800，第一年运转费为70，以后每年递增20，年利率为12%，求设备更换周期。讨论：若不考虑银行利率，如何修正模型？知识点：数列，数列极限，现值16.下表是一组某汽车车速（单位：米/秒）与对应刹车距离（单位：米）的数据车速203040506070刹车距离4075120175240315试建立数学模型，描述该车刹车距离与车速的关系分析：

23、假设司机刹车反应时间t是常数（与车速无关）刹车时汽车受到的阻力是常数（与车速无关，且在刹车过程中不发生变化）设刹车距离为d,车速为v,刹车时汽车获得的减速度为a.则由运动学知识知：如何获得参数t,a呢？因为所以，与v存在线性关系，由直线型经验公式可求得t1,a10.讨论：若刹车时汽车受到阻力随速度增加而减小，试对模型进行修正练习：为了检验X射线的杀菌作用,用200千伏的X射线来照射细菌,每次照射6分钟.照射次数记为t,共照射15次,各次照射后所剩细菌数y见下表:t123456789101112131415y3522111971601421061046056383632211915试求y与t的关系.知识点：直线经验公式17.设A,B两衣服经洗涤充分拧干后，均残存水量w千克，其中分别含污物，千克。现有清水a千克，试建立漂洗衣服的数学模型。分析：假设a>w,衣服漂洗拧干后仍残存水量w千克。有三种方案：（1）两件衣服同时漂，则漂洗拧干后两件衣服残存污物总量为：（2）先漂洗A,再漂洗B, 则漂洗拧干后两件衣服残存污物总量为:=（3）先漂洗B,再漂洗A, 则漂洗拧干后两件衣服残存污物总量为:讨论：采用何种方案为宜？知识点：不等式18.耐用消费品分期付款模型分析：假设耐用消费品的价格为t,首付a,分n期付清。银行对应第i期利率