数学基本思想讲座

1、数学基本思想的内涵、特征及其教学意蕴2011年，课程标准的修订稿终于出台了。原定是5年修改到位的，实际上经过了10年的时间。中间的风风雨雨大家应该都听说过一些，最为激烈争论的时候，以为会把实验稿翻掉重来的。2005年，姜伯驹院士联合90名政协委员，联名向“两会”提交提案，要求立即停止推进新课标的实施。一时山雨欲来风满楼，在国内教育界引起不小的地震。后来，据说派出多个专家小组前往全国各地调研，发现“新课标”实施四年并不是那么糟糕，反而教师拥护的居多数。现在我们来看一看修改稿，与实验稿的变化真的不大。要说有什么显著的变化，我看双基变四基，双能变四能我看是最大的亮点。就是在以前的基础知识、基本技能的

2、基础上，增加了基本思想、基本活动经验。在以前分析问题、解决问题的基础上，增加了发现问题、提出问题的能力。更为准确的说，只是在原有基础上的丰富、补充、矫正，而不是实质性的改变。因为他们的基本方向是一致的。在改变的内容中，新增的基本数学思想、基本活动经验是目前老师们最为关注的，因为过去对这两个名词儿老师们接触不多。因为从深层次上分析，积累数学基本活动经验，是形成数学基本思想的一个途径，数学基本思想是源、是根，所以，我今天重点和老师们谈一谈数学基本思想。当然，谈这个话题有一定的难度，因为对于数学基本思想，并没有一个统一的界定，课标中采用的举例的方式，对数学基本思想进行的一个描述性的定义，原文是这样的

3、：“数学思想蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。”然后，举了一个例子，比如分类是一种重要的数学思想。不关心这个话题的老师，或许不会认为分类就是一种数学思想，我就教过分类啊，低年级的时候，就教过给纽扣分类，有两个孔的，有三个空的，有四个孔的纽扣一堆，其中有红色的、绿色的、黑色的、白色的。教学时我们是怎么处理的呢？看看我们自己穿的衣服，都有纽扣吧？老师这儿也带来了许多好看的纽扣，你喜欢那种？能不能给这些纽扣分分类呢？除了按颜色分类，还可以按什么

4、标准来分类呢？你打算用什么方法把分类后的结果表示出来呢？是这样教的吧？可是没觉得这是什么数学思想啊？不就是一种关于分类的知识么？再进一步，不就是向学生渗透，分类可以有不同的方法么？这与数学思想有关系吗？与这个相联系，到了中高年级，我们还会给图形分类，给数分类，给代数式分类，请问老师们，教学这些内容的时候，您想过“数学思想”这个词儿么？如果上升到数学思想这个层面，分类的教学应该怎么教？要注意些什么呢？这些问题，如果没有关注过，就不会有比较深入的、清晰的认识。对数学思想理解的困惑，还来自于对数学思想的理解有着较大的差异。即便是课标制定组的专家，围绕这两个名词的阐释也不尽相同，即便是一个专家，前后所

5、阐释的也不一样。有趣的是，我们修订的课表中，用来举例的分类的思想，专家们现在说，那不属于基本数学思想。也就是说，用他们现在的表述，课标的修订稿在这个问题上，还是需要进行调整修改的。这是为什么呢？这是因为数学思想的含义，是可以从多方面解释的：一是推进支撑数学产生和发展的思想；二是在数学学习中获得的思想；三是联合国教科文组织关于数学思想的刻画。所以尽管我们常听到数学思想这个词儿，但是由于语境不同，大家表述的内容其实存在着很大的差异性，下面我就这三种不同的角度，分别谈一下，数学思想的涵义。第一：推进支撑数学产生和发展的思想。这其实就论及到数学教育的发源。而不可避免的，人们首先想到的是古巴比伦和古埃及

6、的数学教育思想。因为这不是今天讲题的重点，我就扼要的解释一下这方面的研究成果。古巴比伦与埃及的数学是外国数学的两大源流，数学教育也是如此。巴比伦对数学的贡献主要在代数方面。他们创造了60进位制的计数法，掌握了包括四则运算及平方、开方、立方和立方根的算术运算。在方程、数列和数论方面都有了相当的知识。古埃及的数学倾向于几何。在面积和体积的计算方面有惊人的成果。古埃及公元前2000年已经开始存在学校。而古巴比伦公元前3700年前已经存在学校。而且那会儿就有了择校，因为在繁荣的经济中心，那儿的寺院和图书馆规模更大，资源更加丰富，教育人才也更为优越、充裕。古埃及和巴比伦的数学发展，其实有着深刻的社会政治

7、、经济根源。特别是经济发展，催生了土地划分、灌溉、粮食分配、谷仓修建，引出了许多数学问题。包括青铜器的普遍使用，手工业的发展，商品交换中产生的利率、税率等一系列的数学问题，以及航海中定向定位，促进了航海、天文学的发展等等。所以，数学的发展其实是从社会需要中得到动力的。除了实际的需要以外，并没有其他更进一步的动力和原因。以古巴比伦为例，他们擅长于算术和代数，而对于几何，他们不为几何而研究几何，总是在解决实际问题时才搞几何，他们几何达到的水平可以从他们圆面积公式A=C的平方/12中看出，数学及其教育仅局限于在实际中的运用。最后说一说古希腊的数学，论其成就的不胜枚举了。毕达哥拉斯对于数列的研究、毕达

8、哥拉斯定理、不可公度比的发现、平面几何的许多定理、厄里亚学派的四个关于运动的驳论、柏拉图学派对于立体几何的研究，欧几里得的几何原本，阿基米德关于面积和体积的研究，托勒密的三角术等等。古希腊数学的一个重要特征，就是数学的结论要加以证明，这和古巴比伦和埃及只经验数学是很不相同的。由这一特征所决定，古希腊的数学具有抽象性、严谨性和轻视实际应用的特性。上述是对数学产生的思想做出的分析，这种分析的思路大家可参见克莱因的古今数学思想一书。事实上，这部著作至今仍被认为是一部对数学思想考察之集大成的作品。这样的考察其实会让我们从中产生一种体会和思考，即对数学本源的思考，至少以下几点值得我们注意：（1）数学教育

9、应该首先满足学生离校后参加生产及日常生活的基本数学需要；故而学校的数学教育必须紧密联系实际，重视数学在生产和生活中的应用价值；重视实际问题的数学模型建立课，培养学生的应用数学的观念和能力。（2）数学课程应该随着数学科学本身的不断发展而不断更新。特别是随着计算机的发展，其对数学发展和影响要进行重新的评估。（3）数学教育应培养勇于探索的精神和追求真理的理想。考察古希腊人为什么能创造出如此辉煌的数学成就，不能不归结到希腊人对了解自然界的不可遏制的愿望。所以，好的数学教育应该能把“冰冷的美丽”化作“火热的思考”。（4）数学教育要让学生得到美的享受、心灵的陶冶。数学除了应用价值外，还有美育的价值。数学所

10、特有的理性美、对称美、冷峻美、简约美等，都会让学生的身心得到熏陶。三次数学危机带给我们的启示数学史上的三次危机1第一次数学危机回顾数学史上的三次危机，我们还得从“数”的研究开始。人们最早认识的是自然数，很有意思，数学经过了上千年的辗转反侧，最终又回到了自然数。因为微积分的基础是实数论，实数的基础是有理数，有理数的基础就是自然数。还是克罗内克说得好：“上帝创造了自然数，其余的都是人的工作。”研究自然数遇到的第一个问题就是记数法与进位制的问题。无穷多个自然数可以用有限的符号来驾驭，所有的自然数都可以方便清楚的表示出来。不能不说，记数法和十进制是自然数发展史上的一次飞跃。但是，真正意义上对自然数的理

11、性认识，还应该从毕达哥拉斯谈起。毕达哥拉斯学派对自然数做了多方面的研究，他们的研究成果对后来的柏拉图、亚里士多德都有较大的影响。毕达哥拉斯学派是一个宗教性的学派，他们不仅把数字看做计数的工具，而且看成神圣、完善、友好、幸运及邪恶的符号。比如，他们认为大于1的奇数象征男性，偶数象征女性；5是第一个男性数与女性数之和，所以象征结婚与结合。他们发现了完美数6=1+2+3和亲和数，如284和220是一对亲和数，220的真因数是1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284，而284所有的真因数之和为220（朋友是什么？另一个我）。包括他们对和谐（3：4：6）的乐声、勾股定理的发现等

12、等。这些发现，都使他们确信，整个宇宙的现象都依附于某种数值的相互关系，也就是存在着“宇宙的和谐”。毕达哥拉斯学派认为，从0和1出发，通过加法，能得到所有的自然数；通过减法，得到所有的整数；通过除法得到所有的有理数。故而在数轴上，具有稠密性。无穷分下去，是不是意味着占据了数轴上所有的点呢？他们错了，他的一个学生发现，边长为1的正方形的对角线长度，就无法使用两个自然数的比来表示，亦即是，正方形的对角线的长度与边长是不可公度的。数学基础出现了“逻辑上的丑闻”，在毕达哥拉斯学派内部造成了强烈的冲击：（整）数并不能统治宇宙。由此便引发了历史上第一次数学危机。据说，把消息泄露出去的学生被抛进了大海。另一种

13、说法是，被逐出学派，并为他立了一个墓碑，说他已经死了。这一次为危机，导致新的理论建立起来了，在新的理论体系下，数系扩张了。无理数出现了。被毕达哥拉斯认为是“异物”的东西成了这个体系的合理的存在物。2第二次数学危机数学的第二次危机萌芽于公元前450年，发生在十七、八世纪。17世纪晚期，牛顿和莱布尼兹彼此独立地创立了进行无穷小运算的微积分。牛顿基于运动的观点提出了“流数术”，莱布尼兹则从几何的角度出发，提出了“一种求极大、极小和切线的新方法，以及这种方法的奇妙类型的运算”。他们都把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法，有了明确的计算步骤，阐明了微分法和积分法的互逆性。但是两位创立者由于对某些概念

14、描述得含混不清，特别是没有找到从有限量到无限小量的桥梁，从而遭到了来自各方的攻击。英国大主教、唯心论哲学家贝克莱于1734年写文章，攻击说流数（导数）是“消失了量的鬼魂”，“用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果。”（兔子追不上乌龟、飞矢不动）神秘的微分学遭遇模棱两可、不能自圆其说的尴尬，引发了第二次数学危机。虽然在这次危机中，微分学被人攻击为“瞪着眼睛说瞎话”，但在克服“无穷小量是零又不是零”的矛盾中，大大促进了微积分、级数论、函数论、微分方程、变分法、泛函分析等学科的飞速发展，尤其到了18世纪，是数学的发展达到了空前光辉灿烂的程度。直到19世纪7

15、0年代，魏尔斯特拉斯、狄德金、康拓等人建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，完成了分析学逻辑的奠基工作，从而结束了因微积分基础不牢而造成的长达300多年的争论局面。3第三次数学危机算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面、体为对象。这样，数学家门就自然想到了把数学要统一起来，而统一的基础就是集合，这样一来，集合成了更基本的概念。数学家弗雷格就做了这样的工作，他在集合论的基础上写了一本研究算术的书算术基础。为了做好这项工作，他必须对正整数等进行重新定义，也就是，用集合的语言和观点去定义。这里不妨举一个例子，就是关于0的定义。在集合里，我们有必要承认空集。比如X的平方

16、+1=0，在实数域的根就是空集。这个空集我们给它一个符号就是0。空集是空的，由空集组成的类，即集合的集合，它本身是一个元素，即0是一个元素，由它组成的一个集0则是非空的。由此出发，还可以建立很多集，这样就能把全部的正整数都定义出来，也就是，我们有把握说，整个数学都可以建立在集合论的基础上了。可是，正当他准备出版这本书时，罗素悖论（其通俗说法，就是我们常听到的理发师悖论）如同一颗重磅炸弹，无情地震撼了整个数学界，顷刻之间，算术基础动摇了，整个数学的基础似乎也动摇了。许多为集合论兴高采烈的数学家发出了哀叹：我们的数学就是建立在这样的基础上吗？罗素的悖论在当时是不可辩驳的，这确实导致了一场深刻的危机

17、。“（悖论 上帝是万能的）为应对第三次数学危机，数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论做某些必要的规定。以排除悖论，于是，数学家们又忙碌起来。于是由德国数学家策梅洛提出，后经以色列数学家弗兰克尔等补充完成的，简称ZFC公理系统的公理化集合论限制了构造集合论的方法，避免了罗素悖论中那种集合的出现。当然，这也只能等于在羊群外圈了一道围墙。但围墙内是否还有暗藏的“狼”，这实在说不清。即便到现在，第三次危机整体上看来，还没有解决到令人满意的境地。数学危机带给我们的启示数学的发展时而惊涛骇浪，时而波澜不惊，千百年来，在不断克服危机中前进。这一过程令我们沉思、令我们遐想，为我们进一步地思考什么是数

18、学、什么是数学教育、什么是数学学习等命题带来不少的启示。1我们应持有什么样的数学观？(小学老师上课不能听，通篇都是错误。30045一定要读作三万零四十五，千万不能读成三万零千零百四十五；两位数乘两位数，一定要从个位撑起等等。他们觉得啼笑皆非，这些具体的办法都是不重要的，重要的是孩子是不是真正理解数的构造) 什么是数学？这实际上是一个关于数学的哲学命题。如果我们去查找有关学者的论述，会发现有非常多的答案。恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。”列宁说：“数学逐渐脱离感性空间而上升到几何

19、空间，但是它并不脱离实在的空间，即不脱离事物之间的真实关系，它反而更接近事物之间的真实关系。”柯朗和罗宾斯的研究认为：“数学作为人类思想的表达形式，反映了人们积极进取的意志，缜密周详的推理，以及对于完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑与直觉、分析与构造、一般性和个别性。”还有数学家说：“数学是量的科学”，“数学是结构的科学”，“数学是引出必然结论的科学”，“数学是模式的科学”，“纯数学是一组假设与演绎的理论”，等等。这些论断都是从各个侧面反映了数学的特性，它给我们的启示是，对于“什么是数学”这一问题，答案显然不应是铁板一块，而应采用综合的、辩证的观点。回顾数学的三次危机，让我们进一步认识到：（

20、1）数学知识不是无可怀疑的真理体系，而是可误的。数学是处理数学问题时，人与人之间的对话。决不可认为数学结果（包括概念和证明）是最终的或完善的，它们会随着严密性的标准的变化，或随着新的挑战、新意义的产生，而需要重新商榷。（2）数学并非一个组织起来的高度统一且十分严密的内在逻辑体系，而是一种社会的建构。它不是任意地被创造的，而是在已经存在着的数学对象的活动中以及从科学和日常生活的需要中产生出来的。（3）数学问题的解答和方法具有多样性，评价在某原则框架中进行。数学并不是一种“给定”，他需要我们去挖掘和创造，对数学的理解会因个体“经验”的差异而不同。正如柯朗和罗宾斯指出的：“不论对专家来说，还是对普通

21、人来说，惟一能回答数学是什么的，不是哲学而是数学本身中的活生生的经验。”特别是，当数学家们论述起“数学科学”的时候，中小学教育工作者，应结合作为学校教育任务的数学加以理解。毫无疑问，作为教育内容的数学和数学家所研究的数学科学具有本质的联系，中小学的数学内容是数学学科的一个最基础的部分。另一方面，我们同样应该注意到：中小学数学学科有自身的一下重要特点。认识作为学习内容的义务教育阶段数学学科的特点，对于广大数学教师引导学生学好数学是必要的。荷兰著名的数学家和数学教育家弗赖登塔尔认为，随着数学的进步，普通常识必须系统化和组织化，“数学的根源在于普通常识”。他指出，“在教育中值得推荐的是，应该从普通常

22、识的概念开始，这比他作为过时的应该抑制的东西去拒绝要好。”正确理解中小学数学学科的特点，需要从“成人数学与学生自己的数学”、“学校数学与街头数学”、“数学科学与学校数学”、“大众数学与精英数学”等多个角度讨论数学自身的特点。（1）学校数学与数学科学 我们经常讲“数学”、“数学教学”等，但有时我们并不是在讲同一个事情。我国学者总结了中小学数学与科学数学的重要区别，概括起来，有目的、形式等多方面的不同。 首先，目的不同。作为科学的数学以完全揭示数量关系和空间形式为目的，其目的往往是通过逻辑推理发现数学理论，主要着眼点是精确地阐明某些数学理论，而学校数学与此有很大不同。数学教学并不是为了构建一个逻辑

23、体系，而是要使学生学好学活，以促进学生的终身可持续发展为学校数学教育的基本出发点。数学教学的目的是促进学生学习数学知识和思维的发展，并对学生进行思想品德教育。 第二，形式不同。数学科学，对有关定理和法则要进行严格推理。在数学科学中，许多严格的证明是非常重要的。而在数学教学中，有关的定理和法则往往不以严格的证明方式呈现，而是通过一些不完全归纳得出结论。数学教学必须从学生的心理特点出发，逐步加深学生对数学的理解。例如，学生学习三角形的知识，可以让他们观察三角形，把三角形纸片中的三个角撕下来拼成180度，使学生了解三角形内角和等于180度。 第三，顺序不同。数学科学以数学理论的逻辑系统进行编制。而编

24、排数学教学内容，不仅要符合学科逻辑程序，而且要符合学生心理的特点，根据学生认识和学科的特点进行编排。一般说来，学生容易理解的放在前面，学生不容易理解的放在后面。第四，认识的起点(或基础)不同。作为科学的数学，对所有的定理、法则都要严格论证。而数学学科的认识的起点往往不是逻辑公理，而是学生生活中的一些实际事例，例如，我们讲运算时，并不是从定义出发，而是从学生生活中的事例出发，然后总结法则和意义。（2）成人数学与儿童自己的数学皮亚杰的研究表明，儿童和少年日常生活的购物活动对学生数概念的发展具有重大意义。即便是尚未入学的儿童，他们的数学知识也已经相当丰富，这些数学知识虽然是非正规的、不系统的，有的概

25、念是模糊的，甚至是错误的，但是对学生来说是生动有趣和真实的，它是学习学校数学知识的必要基础。 数学学习的基本方法就是对经验现象的逻辑归纳和引申，我们不能把学生看作一张白纸，而应该从学生角度看待问题。因此，数学教学更要向学生提供探索、讨论、实践、调查和解决问题的各种机会，教师教学的基本方式不应该是“授予”而是“引导”，让学生成为学习活动的主人，给学生思考和发展留下充分的空间。数学学习不是单纯的记忆、模仿和训练转变，而是包括了自主探索、合作交流与实践创新等多种形式，数学课堂由单纯传授知识的殿堂转变为学生主动从事数学活动的场所，数学教师由单纯的知识传递者转变为学生学习数学的组织者、引导者和合作者。这

26、样对学生发展创新和实践能力是有益的。 成人数学与学生自己的数学关系并不是对立的。实际上，这两种角度看数学都是正确的，这是一个问题的两个方面。在数学教学中，要做到学科逻辑程序与学生心理程序的统一，不仅从学科的角度，而且从学生的角度看待数学学科，这对于全面理解学生学习数学的过程非常必要。 （3）学校数学与街头数学对数学再认识的第三个角度是区别“学校数学”与“街头数学”。国外很多研究把大众生活中的数学称为“街头数学”。事实上，数学不仅仅是教室中的活动，而且是一种社会性的活动。学生的家、公园、商店都可以是数学课堂。校外，无论是买卖活动还是建造房子都有数学问题和数学知识，数学不仅仅是学校中的书本知识。因

27、此，数学既是一种知识形式，又是一种活动；既是一门学校课程，又是学生在生活中的一种思考方式。 街头数学与学校数学既有区别又有联系。研究表明，儿童和少年在解决街头数学问题与使用系统符号是不同的。儿童和少年在解决街头数学问题时，用的是口头语言甚至是直觉的方式，而学校教授的是书面和符号方法，这两种符号系统之间的差异是街头数学与学校数学之间本质的差异，也是学生学习数学的困难所在。 学生的数学学习，并不是独立于他们生活其中的复杂社会环境的一个体系。数学与日常生活具有紧密的联系，日常生活应用到数学的例子不胜枚举。比如：计算水电费的问题、计算出租车费问题、税款的交付问题、利润与成本的比较以及商业问的来往问题等

28、，都与数学有关。数学的内容与学生的生活具有本质的联系，因此学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的、富有挑战性的。这些内容有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理、交流与解决问题。在数学课堂中，应该有更多机会让学生自主探索、合作交流、积极思考和操作实验，现实的有趣的和探索性的数学课题学习活动应该成为数学学习内容的有机组成部分，让学生通过各种媒介获得信息，进行数学思考活动。 （4）大众的数学与精英数学现代数学教育的一个基本观点是，数学是属于所有人的，人人都可以学好有价值的数学。20世纪80年代国际数学教育界提出了“大众数学”的新口号。大众数学的理念首先强调，数学教育必须照顾到所有人的需求，促进

29、全体公民数学素养的提高；大众数学第二方面的理念，是指在数学学习中，人人都能学好数学，每个人学习他所需要的数学，不同的人可以达到不同的数学水平，构筑不同的数学现实。弗赖登塔尔提出了一个重要的基本观点：每个人都有自己生活、工作和思考着的客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念，他的运算方法、规律和有关的数学知识结构就是每个人的数学现实。在基础教育阶段，特别是义务教育阶段，数学学科教育不应仅以培养少数数学家和科学家为目的，而应面向大众。新的课程标准强调“基础性、普及性和发展性”，义务教育阶段的数学教育要促进每一个学生的发展，为每一个学生适应社会生活与进一步学习打好基础。标准着重强调关注每一个学生，

30、人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，体现了大众数学的教育思想。2我们应持有怎样的数学教育价值观？ 三次数学危机告诉我们，数学过程其实充满着猜测与想象、反驳与改进，甚至错误与曲折。这正如克莱因所说：一门逻辑的学科却是不合逻辑地发展。这实际上给我们的数学教育提出一个问题：怎样的数学教学才能发挥出数学学科所特有的价值呢？作为学科教学的数学教育，其目标是与数学的价值定位紧紧联系在一起的，为了明确数学教育的目标、地位和作用，我们必须首先明确数学课程的结构体系和价值基础。 数学是人类社会文化活动的一个重要有机成分，自然受到社会整体文化的影响，并且对整个人类文明的发展

31、和进步起着重要的促进作用?因此可以说“数学是一种文化”。 那么，从作为文化的数学角度去看数学教育，数学就是一个多元的复合体，既包括知识的成分，又包括思维方法的成分，还包括文化素养的东西。 数学知识成分一般通过数学知识结构体系来体现，是有形的东西，容易把握。而数学中的思维方法和文化素养是有机渗透在数学知识结构体系之中的，难以把握，容易被忽视。数学的教育价值概括起来表现在以下几个方面：工具价值、思维能力培养价值、文化素养价值。长期以来，受“实用主义”和“功利主义”教育思想的影响，过重地甚至是唯一地强调了数学的工具作用，而忽视了思维能力培养和育人功能。即使是十分重视思维训练和培养的今天，教会学生思维

32、的问题也没得到足够的重视。数学观念、数学意识、数学态度、数学精神的培养就更是薄弱。因此，充分挖掘数学教育的价值就显得十分重要。关于数学的工具价值，在这里不再赘述，着重于数学的思维能力培养和文化素养价值作以分析和说明。 (1)思维能力培养价值 俗话说：“数学是思维的体操”，就是指数学的思维训练功能。数学思维有四个显著特点： a推理的逻辑结构严密 借助于逻辑规范一步一个脚印，由此及彼，最大限度地注意思维过程的正确性，从正确前提得出正确结论。 b思路简洁 总是自觉地努力寻求导向目的的最简洁的逻辑途径，毫不留情地舍弃对于完美无缺的论证不必要的一切。 c符号精密准确 每一个数学符号都有严格的定义，用另一

33、个符号来替它或把它放到另一位置上，通常总是引起误解，有时甚至使原来给定的含义完全没有意义了。 d理性思维 数学思维是一种高度抽象的理性思维，正是由于数学思维的高度抽象性，决定了它的理性特征。理性是相对于感性而言的，理性思维是概念化、符号化、模式化的思维活动形式。数学理性的主要内涵是：主客体的严格区分，采取纯客观的、理智的态度，而不掺杂有任何主观情感的成分；精确的、定量的，而不应是含糊的；批判的精神和开放的头脑。 e抽象的、超验的思维取向 就是超越直观经验并通过抽象思维达到对事物本质和普遍规律的认识。在认识的发展过程中，对自身的局限性有着清醒的认识，并能超越自我。 (2)文化素养价值 美国数学家

34、克莱因指出：“从最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度；亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活，试图回答有关人类自身提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探求和确立已经获得的知识的最深刻和最完善的内涵。” 日本数学家、教育家米山国藏提出数学有七种精神：应用化精神；扩张化、一般化精神；组织化、系统化精神；统一建设精神；严密的精神；思想的经济化精神；致力于发明发现的精神。 总之，上述的精神可以说渗透于全部的数学活动中。其实，在西方，数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。

35、所以香港大学的齐民友先生说：“历史已经证明，而且将继续证明?一个没有相当发达的数学文化的民族是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”面对当今的信息社会和高度发达的现代科学技术，人们对数学的价值又有了许多新的、更深刻的认识。3我们应持有怎样的数学教学观？数学的三次危机也召唤着我们有必要对传统的数学教育进行深刻的反思，应努力摈弃绝对主义的数学观，而应该采用相对、辩证的眼光看待数学教育，具体地说，应树立起以下的数学教育观：数学学习是有意义的社会建构，教师应为学生创造自我实现的种种机会，通过师生、生生之间的立体交流，是他们在数学学习过程中获得最大的满足。数学的教学应具有民主

36、性，教师是学习活动的促进者，而不是知识的传授者。教师有必要帮助学生营设一种宽松的、平等的环境，让学生善于提问、敢于质疑、乐于合作、勇于批判，并在这一过程中，提高学生对数学关系的理解，对数学魅力的欣赏，体会到数学是认识世界和了解世界的有力工具，是日常交流的重要手段。数学的教学应该是开放性的，并在这一过程中培养学生对数学的自信心、自尊心和积极性，培养学生的创造力、直觉和灵活性。对学生在学习过程中产生的错误，教师应采取宽容的态度，且应善于把错误当做教育的资源，通过师生的共同努力消除错误，而不是简单地求助于教师（或教材）的权威。应鼓励学生对内容、教育手段和评价方式提出异议，从而保持对这些内容潜在可变性

37、的观念，结果是一种动态的、寻找更好的数学活动的过程。培养学生清晰地表达自己的观点和假说，正视他人的意见与想法，敢于接受挑战。弗赖登塔尔说：“将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立在这一基础之上的教学方法，我称之为再创造方法。”也就是说，数学学习是一个以学习者已有的知识和经验为基础的主动建构过程，即“学数学就是做数学”，简称“做中学”或“做数学”。 这里的“做”是一个广义词，诸如动手操作、观察、感知、尝试、体验、分析、推理、抽象、概括、计算、交流、讨论等等都是“做数学”活动。 当然，这里的“做中学”与杜威所说的“做中学”不是一个概念，后者认为教育即生活(没有系统教材和知识结构)，认为学生的经验

38、应该是课程的重要内容(儿童中心)，杜威的缺点在于忽视了教师的主导作用和学科系统。我们现在的“做数学”活动是在教师主导作用下与同学的合作交流中，通过班集体，依据于系统的知识教材的主动建构活动，这样的学习认识观是比较辩证的。数学是个系统性很强的学科，新知识往往是旧知识的重组、变形或自然延伸。每个新知识点大多是在旧的知识点链条中生长出来的，如果把学生借助已知学习新知的过程作为培养学生创新意识和创新能力的一种契机，那就可谓是一种“再创造”的活动。因为在这种“做数学”的活动中就有许多“创新”的成分。对于培养学生的自学能力、创新能力具有重要的意义。总之，我们应努力实现从被动接受式的学习理论转移到建构主义的

39、学习理论，即应把学生的学习活动，看成是学生依靠已有的经验进行的主动自我建构的活动，而并非是对教师授予知识的被动接受。因此，数学学习活动首先而且也是最重要的是要强调积极性儿童在游戏、活动、调查、设计、讨论和发现中的学习积极性。其次的关键是数学学习的自我表现儿童自己的解决方法和探求记录，因为“儿童自己的数学思想和规划尤其有价值。”数学的三次危机，在当时看来是数学的灾难，但从长远看来，却是推动数学发展的强劲动力。真理是直的，通往真理的道理永远是弯曲的。这同样让我们联想起新一轮的课程改革，不顺利、有挫折这是正常的，指望一步改革到位，不仅不符合当下的实际情况，也不符合事物前进的规律。有争论、有批判、有斗

40、争，又何尝不是数学教育改革不可或缺的动力因素呢？现在我们知道了，从数学的产生和支撑数学的发展的角度考察数学思想，更具有一些哲学的味道，能够让我们理解数学教育的价值，坚定数学教育的信心，增强进行数学教育的使命感和责任感。事实上，考察当今的科技发展和教育，几乎没有一门学科可以与数学摆脱联系，没有哪一行生产与数学毫无关系。数学与物理、化学数学与文学数学与生物数学与军事（伊拉克战争）数学与人的培养（这个问题，我们留到后面做进一步的详细阐述）老师们，这样一分析，我们就知道了，我们所执教的学科，是其他学科所无法比拟的，这就是到高考时，为什么数学的占分总是最高的原因所在。我觉得，我们应该感到光荣，比起其他学

41、科的老师，应该更有优越感才对。第二：谈一谈学生在数学学习中获得的思想上面所谈的数学思想，老师们可能觉得好像会与平常听到的数学思想不一样，因为这是从数学的产生与支撑数学的发展角度进行的分析。在数学的内部，特别是学生通过数学学习，也会获得一些基本的数学思想。这种数学思想指的是什么呢？我们来看：一流教师教智慧，二流教师教方法，三流教师教知识。这句话听过吧？我不喜欢把老师用一流、二流来分类，但是其中说到的智慧，说的就是数学思想。这样说很玄，老师还是不能清楚，到底什么是数学思想，我现在来举一些例子，大家就会明白：分类：分类通常是揭示概念外延的一种逻辑方法，也就是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同

42、性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的过程。当人们遇到一件事情不能按同一标准统一处理时，常常会把这件事情先分成几种不同的情形和种类，再制定不同情形或种类的处理规则和办法，然后分别加以解决。这个过程就是分类讨论的思想。而基于这一思想所形成的数学方法就是分类讨论的方法。转化：转化又称为化归，就是转化和归结的意思。其基本思想是，把有待解决的问题，通过转化的手段，归结为一类已经解决或较容易解决的问题，并通过对后者的解决实现对前者的解决。转化在小学数学中的应用非常广泛，比如 数学家善于使用的手段，往往不是对问题发起正面的攻击，而是尝试转化成自己所熟悉的、更为简单的问题加以解决。.数学家问物理学

43、家：假如你有一个空水壶和一个没点火的炉子，你要怎样烧开水呢？物理学家说：我把壶灌满水，把炉子点着，再把壶放到炉子上。数学家接着说：答对了。但是假如原来壶里已经灌满了水，炉子也点着了，你又如何烧开水呢？物理学家说：那不是更简单了吗？我只要把水壶放到炉子上就好了。数学家叹口气说：错了！错了！你应该把水倒掉，把炉火熄灭。那样你就把这个新问题转化到原来的老问题了。数形结合的思想：数和“形”是数学研究的两个基本对象，数构成了数学的抽象化语言，形构成了数学的直观化图形语言，由于两者各有优势，所以人们经常把两者结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，是数量的精确刻画与空间形式的直观形象和谐统一。从而使问题

44、得到有效解决。这样的思想叫数学结合的思想。数形结合的实质就是通过数量关系去发现其几何背景，使数量关系转化成图形关系，从而化抽象为直观；或者反过来，根据几何图形的结构特征，从量的角度加以分析、论证，使得图形关系转化成数学关系，从而化直观为精确。理解数形结合的思想，不仅有助于丰富分析和解决问题的策略，而且有助于更加透彻地理解数学关系的本质。类比：关注两个对象在某些方面的相同或相似之处，从而推测它们在其他方面也可能存在相同或相似之处。生活中的类比很多，比如会握铅笔写字了，那么用钢笔写字就显得简单的多；数学中的类比，比如除法的商不变的性质、分数的基本性质、比的基本性质，通过类比，学生就容易发现，既然分

45、数、比都可以写成除法的形式，那么，除法的商不变的性质，在分数和比中应该同样存在。再如，给一个由8个小方块组成的小正方体的表面涂色，一面被涂色的小方块有几个？两面的呢？三面的呢？如果我们进而将正方体改为长方体，解决这个问题的思路就可以采用类比的方法，处于定点的方块三面被涂色，在棱上的方块两面被涂色，处于中间位置的只有一面被涂色。等下面我们再来看几个更重要的思想：抽象数学家用抽象的方式进行研究。抽象是一个去生活、去情景的过程，是把现实问题转化为数学问题过程中的思维活动。他们会去掉事情中那些感性的东西，得到数学的研究对象，这比如点、线、面，生活中有没有？当然没有，这是抽象的结果。比如1、2、3，生活

46、中有没有，也没有，生活中只有具体的事物，如1个面包、2只苹果、3根绳子，至于这些数，其实都是人们从1个面包、1把勺子、一头猪等具体事物中抽象出来的，便于用数学的方式进行研究的。其实中国人的思维方式里并不缺少抽象，我们来举例：比如圆，生活中没有，但生活中有球，我们看到球，我们会想到圆，但如果球不在眼前，你的头脑中有圆么？有的，因为我们会画出一个圆来，而这个圆，已不是刚才看到的球，它是一个抽象的存在；数学的思维，依赖的不是具体的存在，而是抽象的存在，这句话谁说得最好？郑板桥，他说，我画的竹子已不是我眼中的竹子，这不就是抽象的存在么？胸中是抽象存在的竹子，所以，郑板桥画出的竹子比现实生活中的竹子更有

47、风骨。再看，中国人谈论一件事情的时候，往往喜欢举例子，这个例子，就不是具体的存在，而是抽象的存在。比如雷锋，我们说到时，已经不是指原本的雷锋那个人，而是是指具有那种思想、理念、精神境界的那一类人，是一种抽象的存在。所以，从思维方式上来说，中国人是具备抽象的文化和基因的。我们通过抽象得到什么？得到数学的研究对象，光有研究对象还不够，更重要的是对象之间的关系。亚里士多德是一位千年智者，他的思想非常深刻，人们往往几千年不理解，到后来才明白。他曾经说过这段话：数学家用抽象的方法进行思考，去掉事物中那些感性的东西，对于数学而言，点、线、角或是其他量的定义，不是作为存在而是作为关系。这句话的意思是，数学中

48、的那些东西本身并不重要，重要的是这些东西之间的关系。一直到上个世纪，伟大的数学家希尔伯特才明白这句话的真意。对于抽象，在数学上只有两种，一种是数量与数量关系的抽象，一种是图形与图形关系的抽象，所以，数学本质上研究这两种关系的抽象。抽象可分为两个层次，第一个层次叫直观描述，第二个层次叫符号表达。抽象的第一步是从数量中抽象出数，生活中没有数，只有数量。刚才说了，2头牛、2匹马、2匹狼，2是抽象出来的数。数量关系的本质是什么，就是多和少，用什么来判断一件事物的本质呢，就是看动物是否明白。一头狼来了，一只狮子足以对付；一群狼来了，狮子就会掉头就跑；动物也是知道多和少的。有这样一个故事：欧洲某庄园的望楼

49、上有一只乌鸦，主人想杀死它，但乌鸦很狡猾，几次都没有成功。他一走进望楼，乌鸦就飞走，他一离开，乌鸦又飞回来。后来有个智者想了个注意，两个人一起走进去，只出来一个人，乌鸦不上当；这个人当然不死心，换成三个人走进去，出来两个人，乌鸦还是不上当，直到五个人走进去，四个人走出来，乌鸦终于分辨不清了，就飞了回来。还有心里学的老师对孩子进行过专门的研究，发现在不数数的情况下，孩子能辨别的也就是4、5个，比乌鸦强不了多少。这个关系抽象到数学的内部，就是大和小。大和小，打几个，这就产生了加法。有了加法，就有了有理数，有了四则运算。为了保证运算的结果还在集合里，继而产生了实数。中学的老师常发生混淆，把1/4和0

50、.25当做一回事儿，其实不然，分数形式的有理数，3000年前就有了，而小数形式的有理数，才有了300年的历史。分数形式是有理数的本质。在这个问题上，我们小学老师是不会犯错的。现在我们来看小学的一个问题：4÷1/3等于多少呢？等于4×3=12，我们小学阶段是给学生计算方法的，除以一个数，等于乘这个数的倒数。那再问，为什么4÷1/3等于4×3呢？这个问题就不容易了。清华大学的教授文治英在博士生面试的时候曾出过这一道题，听说没有一个学生能答对。我们都知道除法是乘法的逆运算，可以这么解释了，多少乘1/3等于4呢？建立等式？×1/3=4，将等式的两边同乘

51、上3，这个？不就等于4×3了吗？因此，对于概念 或者命题是否理解，就是举例。能举出适当的例子就是理解，不能就是还没有明白。我们再来看，学生“认识分数”时，必须经历一个怎样的逐步抽象的过程。从分蛋糕、分苹果入手，学生在“均分”的活动中明白，过去经验中最小的“1”还是可以继续分下去的，只不过分得的结果就得用新的数来表示了。进而组织学生通过折纸、填图等操作性的活动，进一步明白，线段、长方形、圆等，都可以像分苹果那样均分下去的。在此基础上，我们还得继续引导学生实现更高层次的抽象，即帮助学生挣脱对具体事物的束缚，理解作为均分对象的单位“1”具有更为一般化的意义，这样，分数的概念才算是真正建立起

52、来了。不难看出，越往高层次的抽象，生活味儿会越淡，数学味儿越浓。当学生真正理解单位“1”时，几乎就没有生活味儿了。因为这世界根本就没有单位“1”，有的只是2个瓶子、1个班的学生等具体的事物。这里的单位“1”已不再依赖于某一特定的物体而存在了，而是具有了无量纲性，能够把事物许多原本不可比的状态变成了可比的状态（如一群牛的1/2与一个足球场的1/2意义是不同的，但在讨论分数时又是等价的）。所以有专家说：“数学在本质上研究的抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象”。这样我们就知道了，抽象是数学活动中最为基本的思维方法，也是数学化活动的一般思想方法。指人们在对客观事物的属性和特点进行

53、分析、比较和综合的基础上，舍弃其非本质的属性，而抽取其本质属性的思维过程，是人们用来接近事物本质和形成概念的思维方法。就小学阶段而言，抽象方法主要体现在数学概念、原理的形成过程以及解决实际问题的过程中。对数学抽象方法的初步体会，不仅有助于培养学生的数学意识、数学眼光，而且有助于逐步提高他们的抽象水平以及分析和解决问题的能力。推理：推理。推理是从一个命题判断到另一个命题判断之间的思维过程。数学中的定义和定理都是命题，命题是可以进行判断的语句，所以数学在本质上是进行判断，对定义和定理进行判断。推理的上一个层次，叫思维，思维有几种形式呢？三种，形象思维、逻辑思维、辩证思维。这三种思维中，数学只用一种

54、，逻辑思维，与逻辑思维所对应的是逻辑推理。什么叫逻辑推理？有逻辑的推理是这样的，命题主词的内涵之间具有传递性，命题之间没有传递性就是没逻辑的。凡人都会死，苏格拉底是凡人，所以苏格拉底一定会死。这个是有逻辑的。苹果是酸的，酸是一种味道，所以苹果是一种味道。小明的爸爸是工人，工人是一种职业，所以小明的爸爸是一种职业。这个是没有逻辑的，因为命题之间没有传递性。如果是从一系列具体事实概括出一般原理的过程，称为归纳推理；如果是从普遍性结论或一般性前提出发，推出个别或特殊结论的过程，称之为演绎推理。例如，有8个男生在跳绳，7个女生在跳绳，还有12个女生在踢毽子，求跳绳和踢毽子的一共有多少人？我们既可以先求

55、跳绳的人数，列出算式(8+7)+12计算，也可以先求女生的人数，列出算式8+(7+12)计算。这两道算式的算理是等价的，得数也相同，因此可以写成等式(8+7)+12=8+(7+12)。这种数学现象是不是具有普遍性的规律呢？这就需要在类似的情况中验证。于是，学生会举出更多的实例，如(45+25)+13和45+(25+13)，(36+18)+22和36+(18+22)。看看每组的两道算式是不是分别相等，两道算式中间能不能填上等号，再看看这些相等的算式有什么结构上的特点，进而在实验中概括出加法结合律，并用字母写成(a+b)+c=a+(b+c)。这样，学生就经历了由具体到一般的抽象、概括过程，不仅可以

56、发现数学规律，而且能够初步感受归纳的思想方法，使思维水平得到提升。归纳推理包括归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析法等等。从经验的东西推出未曾经验过的东西，虽然不一定正确，但是，它引领着人们奔向前进的方向。反之，当学生学习了(a+b)+c=a+(b+c)以后，要求学生应用加法结合律进行27+48+52的简便计算时，学生根据已经获得的定义、定律、公式等，去解决一个个具体的问题，这便是一个演绎的过程，使得抽象的数学概念、规律和原理具体化，从而促进数学知识的理解和掌握，发展推理能力和思维能力。归纳推理和演绎推理的教育价值并不相同，因为归纳是被看做数学探索和数学发现过程中的一种特别重要的方法，而演绎推

57、理虽然“也是必要的，但这种推理不能用于发现新命题”。多年来，我国基础教育重在学生思维能力的培养上，而弱于归纳能力的训练，给创新型人才的培养带来了严重的障碍，所以，我们应更为关注对学生归纳推理能力的培养。模型：模型思想是指用数学模型方法处理和解决实际问题的一种思想。数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁，数学之所以成为差不多能在解决所有现实问题中派上用场的利器，出面的都是模型。模型就是数学在解决实际问题过程中思维活动的结果。通俗地表达，数学模型是借助数学的语言讲述现实生活的故事。就小学阶段而言，主要有两种模型，一个是部分量+部分量=总量，还有一个是每份数×份数=总数。我们平时所提到的单价、

58、数量、总价；速度、路程、时间以及工作效率、工作时间、工作总量等，本质上都属于第二种模型。比如，“西安的大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？”学生列方程解决问题的关键是：通过适当的分析，找出大雁塔与小雁塔之间的相等关系，这样就可以把题目中已知量与未知量放在同等的地位，能使思考过程变得更加顺畅和灵活。事实上，该题中所列的方程以及这类方程更为一般的形式“ax±b=c”，正是解决一类实际问题的有效的数学模型。这个模型中的未知数或者未知量，通常就是所求实际问题的数值解，而方程的检验乃至对不同方程列法的进一步探索，可以理解为是对模型适切性的确定和完善。模型化的数学思想是20世纪下半叶随着计算机技术的发展和进步而逐步发展起来的，是现代应用数学赖以解决实际问题的基本思想。刚才大家实际上经历了一个对小学阶段所蕴含的数学思想的一个识