数学应用题求解策略

1、数学应用题求解策略湖南省祁东县洪桥镇一中 徐秋蓉 421600湖南祁东育贤中学 周友良 421600各级各类考试,不论数学应用题的题目难或易，其得分率都是比较低的。究其原因，一是考生对数学应用题有一种恐惧感；二是考生没有掌握数学应用题求解的一般分析方法；三是考生的应试策略与表述方面还存在一些问题。如何能在数学应用题方面有所突破呢？下面谈谈我们的看法，供参考。一. 突破口之一学会数学建模分析的步骤 高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型， 另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化， 紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色.求解应用

2、题的一般步骤是：1° 审题：抓住问题中关键词，弄清问题的情景和变化过程，使问题数学化。2° 建模：注意问题涉及知识点或新概念、新原理，分析数量关系，运用数学符号语言、图象语言，建立问题的数学模型。3° 解题：根据数学模型，选择恰当的数学工具与方法，求得未知数或未知关系，获得问题的数学解。4° 检验：通过检验选择符合实际的解。5° 写答案：写出问题的实际解。二. 突破口之二掌握数学建模分析的具体方法 1. 关系分析法。即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法。例1（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规

3、划10年后粮食单产比现有增加22，人均粮食产量比现在提高10，如果人口年增长率为1，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ （粮食单产 ； 人均粮食产量）分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策.解：1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P， 主要关系是：PP .2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(10.22)，人口数为m(10.01)，耕地面积为（1010x）. （1

4、0.1） 即 1.22（1010x）1.1×10×（10.01）3.求解： x10×10×（10.01） （10.01）1C×0.01C×0.01C×0.011.1046 x10995.94（公顷）4.评价：答案x4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）另解：1.读题：粮食总产量单产×耕地面积； 粮食总占有量人均占有量×总人口数；而主要关系是：粮食总产量粮食总占有量2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(

5、10.22)，人口数为m(10.01)，耕地面积为（1010x）. a(10.22)×(1O10x)×(10.1)×m(10.01)3.求解： x10×10×（10.01） （10.01）1C×0.01C×0.01C×0.011.1046 x10995.94（公顷）4.评价：答案x4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率.其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不

6、同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.011，算得结果为x98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01的近似计算上.2.图像分析法。即通过对图像中的数量关系进行分析来建立问题数学模型的方法。 例2. （西红柿种植与销售问题）某蔬菜基地种植西红柿

7、，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示，（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式； 写出图2表示的种植成本与时间的函数关系； （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/，时间单位：天） 读懂题目：（1）观察图像求出市场售价函数和种植成本函数；（2）由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数 解题思路：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为 由图2可得种植成本与时间的函数关系为 （2）解略。3. 图表分析

8、法。即通过对图表中给出的数量关系进行分析处理来建立问题数学模型的方法。4.作图分析法。即通过作图的方式探索问题的数学模型的方法。三. 突破口之三注意语言表达的完整性 数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。从上述实际问题可见实际应用问题的特征是： 实际问题的情景比较复杂，文字说明较长，信息量大，要从中抓住关键词，转化为数学问题（既数学化）的思维量较大、较难。 问题涉及的知识点比较广泛，大多隐含在文字说明当中，其中的数量关系常寓于常识之中，或数学、物理、其它知识之中，有时也可能在题中给出的概念（新的定义）或原理之中。 问题涉及的数学模型有些是数学中常用的，有些是随题目内涵而变独立建立的。针对上述特点，解题思路是：由此可见要提高解决实际问题的能力，应在数学知识、数学语言的理解上下功夫，注意数学语言形态（自然语言