数学证明的教育价值研究

1、数学证明的教育价值研究摘 要：数学证明的教育价值是数学新课程改革中要探讨的首要问题，本文以中学数学教学为载体，以几何画板及MATLAB软件为工具，以数学思想为依托，以培养学生创新能力为目标，阐述了数学证明的教育价值在中学数学教学中的地位和作用。结合自己顶岗实习的教学经验与收集到的相关参考资料，详细介绍了数学证明的含义、数学证明的教育价值、影响数学证明教育价值实现的因素、中学课堂教学中如何应用几何画板及MATLAB软件实现数学证明教育价值。 关键词：数学证明；教育价值；几何画板；Matlab软件0引言随着新课程改革的不断推进，特别是计算机技术的快速发展，数学证明的途径越来越广泛，计算机证明正在有

2、效应用在当今的中学数学教学中，因此，数学证明的教育价值也在不断改变，这可能会是对数学证明教学实践产生影响，目前数学教育界都在关注国家数学课程标准，其主要讨论的话题是如何处理中学几何课程的改革。争论焦点之一是如何看待几何中演绎推理的教育价值，由此可见，数学证明教育价值的研究有重要的现实意义。数学证明过程是一个逻辑推理过程，主要通过人们对命题有了自己的理解，并在此基础上有所发现，有所创新，培养学生的理解能力及创造能力。而创新教育主要培养学生的创新意识，创新思维以及创新情感等。全国教育工作会议明确提出要全面推进素质教育，发展和培养人才的核心是着力培养学生的创新精神、创新能力，因此，作为数学教师，在数

3、学证明教学中要着重培养学生的创新理念，做到一题多解，触类旁通的效果，在课堂中激励学生的创新意识，鼓励有想法，有新点子的同学，对他们进行积极的引导，不断优化学生的创新意识。 本文将对数学证明的含义及数学证明教育价值的内容作一详细综述，并从社会、家庭、学校等多方面考虑影响数学证明教育价值实现的因素，及在中学数学证明教学中引入几何画板及Matlab软件等工具来有效实现数学证明的教育价值，这样既可总结已有的研究成果，也可促使新的研究成果在中学教育教学实践中的有效运用。 1数学证明的含义数学史上，研究数学证明所遵循的模式是从一组原始的法则、原理、公式出发，经过数学上的演绎推理得到一系列的定理和证明。但随

4、着数学的不断发展，特别是计算机时代的到来，计算机（机器）被应用到数学证明之中，用机器证明产生定理(如四色问题等)，所以人们考虑用计算机去证明数学命题，于是提出“实验证明”的想法1。数学证明的真正含义不在于能否证明命题的真与假，而在于通过数学证明，能够更好的理解和掌握数学知识及产生自己的一些新想法及观点，并能在此过程中学会一种追求真理的方法和手段，因此这就突破了传统中学数学教学中对数学证明的理解。由于计算机（机器）的介入，新一代的数学家已经开始将自己的新想法实践于计算机。甚至他们将自己看作是实验数学家，创办实验数学杂志，着手建立数学实验室等。同时对数学证明提出了一些新的看法： 1.通过证明真正理

5、解数学知识，而不只是证明结论的真假性；2.重视发现与创造，数学证明的真谛在于充分发挥自己的自由思想，突破创新；3.追求解决数学问题的理性精神，将数学更好运用在实际生活中；其实,数学证明是一项错综复杂的活动,证明的过程中不仅包含逻辑关系与公理系统,也包含人的知识范围,理解能力,甚至是人际交往能力【2】。另外，从学生的认知结构来看，教师不是简单的传授数学知识，而是随着学生认知结构的变化，学生重新构建自己对数学的真正理解，拓展学生的知识范围，掌握追求真理的途径，增强学生的理解能力，及发现问题的能力，并能形成学生自己的新认知结构。2数学证明的教育价值数学证明在中学数学学习过程中非常重要，通过对一些相关

6、文献的分析对数学证明的价值有了新的认识，数学证明教育价值有非常广泛的内容。2.1理解作用数学证明有助于增进理解， 以做到温故而知新，使所学的知识系统化数学证明是一个温故知新的过程，它不仅有利于对所学知识的理解，还能对命题所牵涉的其他数学知识的一个整合，形成自己一个新的知识结构，使人们获得的知识系统化。证明一个命题的真假时，需要灵活多变地运用掌握的公理、定理以及其他的题设条件，因而，在数学证明的过程中必须充分掌握某个命题证明过程中所牵涉的知识，也就说与此命题证明相关的其他命题，因此，命题的证明是一个相互联系的过程，这些命题之间一定有某些内在的联系，发现他们之间联系的桥梁，并通过严格的逻辑推理就是

7、一个数学证明，同时，通过不断的数学证明，寻找新旧知识之间的联系，使数学知识有机的结合起来，在不断提取中得到巩固，复习已学知识的同时加深对新知识的理解，以做到温故而知新，举一反三，将自己所学的知识系统化。2.2 发现作用数学证明有助于对知识有新的理解，发现新的知识，新的结论在数学史上，有许多发现就是从数学证明开始的，意大利数学家Saccheri和法国数学家Legendre对第五公设的“证明”，尽管他们都没能证明欧氏平行公理，但是通过他们对第五公设的证明使后来的数学家对欧氏平行公理有了更为深刻、更为清楚的理解，并最后导致了非欧几何的发现。因此，Saccheri和Legendre等人被公认为发现非欧

8、几何的先驱者。事实上，Saccheri和Legendre等人的思想方法已经打开了一条通向非欧几何的大门。因为他们从第五公设不成立这一假定下推出的许多事实，恰恰就是非欧几何中的定理【3】。计算机证明（机器证明）同样有导致发现的功能，其中一个较为典型的例子是分形几何的创立。早在20世纪20年代，法国数学家Julia就开始着手研究分形几何，但是由于这种几何图形的惊人复杂性，Julia的研究沉寂了几十年。直到60年代以后，美国数学家B.Mandelbrot(曼德勃罗)开始用计算机来画图，才使分形几何得到了真正的发展。因此人们普遍认为分形几何是由曼德勃罗创始的【3】。2.3培养理性精神数学证明可以培养学

9、生理性精神及爱国主义热情数学证明是一个追求真理的过程，在证明过程中，我们要有清醒的头脑，对过程的每一步做出逻辑上的判断，理性面对每一个问题，做到实事求是，并通过数学证明让学生懂得大自然是可以被认识的，每个人都要有一种追求真理的信念，因此，通过数学证明可以培养学生的理性精神【4】。其次，美妙的数学都是几代人通过不断努力和实践才的出来的，看似简单的数学公式，确有多少人日日夜夜艰辛，学生理解相关的数学知识和数学史同时让学生感受前人的智慧和勤奋，使学生了解到我国古代在数学领域占有相当重要的位置，这样更能增加学生的爱国主义热情2.4思维训练作用数学证明有助于训练和培养学生的思维能力和数学交流能力 数学证

10、明的过程有助于训练和培养学生的逻辑思维能力以及数学的交流能力，使学生形成严谨的治学态度，数学证明是一种演绎推理证明，我们在数学教学中应该重视非逻辑证明(实验、猜测、类比、归纳等合情推理)的教学,合理把握逻辑演绎在数学教学中的地位和时间。这在实际数学教学中，要站在学生的角度思考问题，采用学生能够接受的证明方法，在强调逻辑证明的同时，不要忽视非逻辑证明对学生理解数学知识的必要性，要从多个角度去剖析数学问题，这更有利于培养学生数学思维能力以及数学交流能力。2.5获得追求真理的方法数学证明有利于学生获得一种得到真理的方法或手段数学证明的教育价值还在于使学生获得一种追求真理的方法或手段，这不仅可以运用到

11、其他数学学习中，还可以解决生活中很多实际问题，也就是说，数学证明是一个追求真理的过程，人们通过数学证明学习到某些解决问题的方法和手段，这可以运用到其他数学知识的学习过程中，为解决问题提供方法论的指导。通过数学证明方法的学习和对一些数学证明问题的解决，学生就能获得这种得到真理的方法或手段【5】。3影响数学证明教育价值实现的因素3.1社会，家庭，学校教育对数学证明教育价值的影响社会、家庭、学校构成了一个比较健全的教育网络，每个人的成长、学习生活都受到这个大环境潜移默化的影响，只有这个环境是健康的，积极向上的，才能促进学生积极健康的成长，才能更好培养学生。3.1.1健康的社会环境是创新教育得以繁荣发

12、展的基础众所周知，社会是一个大环境，无奇不有，“近朱者赤，近墨者黑”这个道理大家都明白。为了使学生周围有一个健康的环境，学校与家长、社会共同携手，带动学校周边环境，让学生接触到社会上的事物是健康的、文明的、健康向上的。同时，我们应该引导学生大胆走入社会，关注社会问题，环境问题，并积极承担参与一些力所能及的社区服务活动，让学生充分接触社会，了解社会，融入社会这个大家庭，产生正确的世界观、人生观、价值观。让学生到实践中去，去接触实际生活，领学生了解城市繁荣的同时，深入了解农村的村民、村貌，通过这一系列的社会活动，让事实说话，让学生亲身感受到社会环境的差异，激发学生求知欲望、拼搏精神和创新能力。由此

13、可见，要实现好教育价值，健康向上的社会环境是基础。3.1.2家庭教育对创新教育的培养家庭与人们成长离不开的，它对人的创造力的培养有着深厚的影响和渗透作用，对人的影响是潜移默化的，良好的家庭氛围是培养子女创新力的基础和重要条件。一个人出生，首先受到是家庭教育的熏陶，父母是子女的第一位老师，家庭是子女的第一所学校。培养创新人才是社会的需要，是学校的需要，更是每个家庭的迫切需要，每个父母都希望自己的孩子有出息，积极进取，那家庭教育就显得尤为重要，俗话说的好“有其父，必有其子”，父母是孩子的榜样，家庭应给子女营造一个学习、求知的氛围。家长要懂得一些教育孩子的方法和手段，如不要忽视子女的一些小发明、小创

14、造，家长要找对自己的位置，和自己的孩子平等相处，不能无视子女的心理成长过程，及时了解子女的心理压力和思想压力，不断鼓励子女的创造精神。家庭教育是启蒙教育，它是学校和社会教育都代替不了的，它对子女创新思维及创新能力的培养是至关重要的。 3.1.3学校教育对创新教育的培养   学校教育是创新教育的主力军，学校教育的性能决定学校教育是处于创新教育的主导地位。学校是学生成长的乐园，教师是陪伴学生的园丁，如何能使乐园中的幼苗茁壮成长，使学生的精神积极向上，这就是学校教育任务。学校要给学生创设一个师生平等、人人平等的学习氛围，不能让学生在思想上、心理上对于学校教育产生抵抗，要

15、让学生从心底热爱这个大家庭，并对学生按不同年级制定不同的学习目标，按不同的层次的学生实施差异教育，按不同特点学生进行培优辅差工作，使每位学生的发展各得其所，人人都得到尊重，获得关注，受到关怀。其次教师也要与时俱进，不断学习，特别是新的教育理论，新的教育思想，让学生快乐健康的成长。因此，学校教育是创新教育的主阵地，对创新教育起着引导开路的先锋作用，是社会和家庭教育替代不了的一种先驱教育。3.2教育模式以及教师素质对数学证明教育价值的影响目前，中国对教育的理解是将有问题的学生教育得没问题，全都懂了，这就是一种成功的标准，所以中国的学生从幼儿园的“问题户”，随着年龄越大，年级越高，问题反而越来越少；

16、老师教育什么，我就照学什么，已经不知道它是否正确得当，变得墨守成规，毫无创新可言，而美国衡量教育成功的标准是将没问题的学生教育得有问题，学生发现了问题，并且提出问题，教师都回答不了，那算是非常成功，并且不断鼓励学生提问，所以美国的学生年级越高，知识越丰富，越富有创意，越会突发奇想。”  韩愈的师说曰：师者，传道授业解惑也，我们强调教师的职责时 “解惑”，那么教师不能传授暂无定论但可以加以讨论的东西，更不要说没有得到证明的结论，教师必须给学生确切的和无可置疑的知识。以此，老师会采用已经准备好的固定模式上课，按部就班并通过各种方式引导学生到达老师指定的那个标准答案，并往制定的流程进展，从

17、而完成教学任务。为此，在课堂教学中老师常阻止学生乱提问，怕学生的问题超过老师的解决能力，教师无从回答，影响到教师的威信，再次，学生的提问势必会影响就课堂教学的进度，超出事先设定范围而打乱整个教学程序。因此教师的教学活动应更多围绕问题的本质展开，要引导他们寻求问题的答案的途径和方法，鼓励大胆发言提问，教会学生发现问题，解决问题的能力，要给有问题的同学更多地鼓励、保护和培养，以充分调动学生的积极性及创造性，激发学生的创新精神，培养学生的创新能力，从而获取创新的本领。3.3数学证明中知识和方法对数学证明教育价值的影响3.3.1 影响学生对所证数学命题的理解数学证明采用不同的方法和知识会影响学生对所证

18、数学命题的理解。有的数学证明采用方法直观、具体,学生一目了然,能很快把握所证命题的实质，而有的数学证明使用的知识和方法只是形式上的逻辑的推演,死板不生动，学生不能很好理解所证命题，有的数学证明所用的知识和方法简单 ,学生容易理解和掌握。因此，运用不同的知识和方法会直接影响数学证明教育价值的实现。3.3.2 影响学生认知结构的完善学生认知结构完善随着数学证明中所使用的知识和方法的不同而不同 。 如从数学归纳法的方面完善学生的认知结构、数形结合法和形数的方面完善学生的认知结构、倒序相加法的方面完善学生的认知结构等等，运用不同的证明知识会直接影响学生的认知结构发展。3.3.3 影响学生的学习兴趣、态

19、度和能力的发展教师讲授不同的知识及方法会直接影响到学生的学习兴趣、态度和能力的发展。有的数学证明所使用的知识和方法能够激发学生的学习兴趣 ,学生愿意主动去学习，端正了自己的学习态度 ,能力得到了发展。如数形结合法和多媒体演示法发展了学生观察能力、从形和数的方面认识几何命题本质的能力,从而学生能够使用这些方法发现新的数学命题及解决其他数学问题。有的数学证明中所使用的知识和方法只是形式上的逻辑推理和机械的符号运算,不能激起学生的兴趣和发展学生的能力。总而言之，在数学课堂教学中教师要新新课程理念为指导，以学生为中心，创新适宜学生的教学方法，建立民主的师生关系，尊重学生的人格，平等对待学生，以平等合作

20、的身份参与学生的学习活动，教师与学生相互学习，相互促进积极引导学生进行自主探究，自主发现，激发培养学生的创新意识与创造能力。4数学证明的教育价值在中学课堂教学中的实现总而数学证明的真谛是培养学生的创新意识，为了实行新课程理念理念,在中学数学课堂教学中，要培养学生创新意识及创新能力。而新课程标准要求学生的数学内容必须是现实的、有趣的、富有挑战性的,并且有利于学生主动地从事观察、试验、猜测、推理与交流等数学活动,使学生经历探索的过程,提倡思维多样化,因此，我们引用几何画板及MATLAB软件等工具辅助数学教学，让数学证明的教育价值在中学数学课堂上得到很好的实现。4.1 几何画板在课堂数学教学中的应用

21、4.1.1 绘制精确的几何图形几何画板是目前中学数学教学中应用最广泛的计算机工具，变换美妙给人以享受的同时引起人们对奇幻世界的惊叹，作为一名中学数学老师，要善于运用几何画板的直观性来辅助教学，几何画板不仅可以快捷、准确地绘制出任意的几何、函数图形，而且还可以动态演示图形的变化过程，便于学生理解命题的实质，为教学提供很大帮助。例如图1、图2、所示，一般方法很难画出曲线与直线的完美衔接，但利用几何画板中“构造轨迹”功能就可轻松实现。图2图 14.1.2 动态展示教学内容与数学问题,把枯燥无味的数学教学变得形象、直观图形的直观性有利于数学的教学，在数学课堂上会有正方体、圆锥、圆柱等实物作为教学工具，

22、利于学生形象直观理解几何图形的形状，解决数学问题，而几何画板存在，为“数形结合”创造了一条便捷的通道，它不仅可以根据已知条件绘制准确的图形，还可以解决学生难以绘制的图形，而且还提供了图形“变换”的动感过程，丰富多彩的“动画”模型，给学生一种视觉享受的同时，引发学生的学习兴趣，使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质，帮助学生更好地理解数学证明的结论。如图3所示，用几何画板画一个二次函数图像y=ax2bxc。各参数的变化所引起图形位置的变化情况都一一显示在图像上，直观简洁，学生自然就会理解“b24ac”的值的正负性及抛物线与x轴的交点个数的变化规律，以及a、b、c的

23、变化对二次函数的图象形状及位置的影响。这种做法非常形象直观，易于接受，比过去直接教师讲授理论知识或简单地在黑板上画几个草图来讲解的效果会好得多。图4图3如图4所示：（1）拖动点A（或点B）改变ABC的形状，观察“面积CFGA+面积BIHC”的值与面积AEDB的关系.（2）同样拖动点C也可改变ABC的形状，观察“面积CFGA+面积BIHC”的值与面积AEDB的关系.如该问题解决关键在于得出“面积CFGA+面积BIHC”的值与面积AEDB的值相等，引导学生注意改变ABC的形状的运动特征，让学生应用几何画板的动画特征，观察“面积CFGA+面积BIHC”的值，从而探究出的结论,也就是,只就是勾股定理的

24、证明。4.1.3 几何画板灵活多变，根据不同题设条件，进行变式教学方法用几何画板辅助课堂教学，要设立变量参数，遇到不同的题设条件，可以灵活多变进行课件修改，从而不耽误教学进度，继续进行课堂教学，而用PPT、制作的课件就很难实现这样的效果。如图所示，这是一个典型的一题多解题目，可根据学生的提出思路即时添加辅助线，另外拖动A点可以改变ABC的形状和高线的位置，如图12、图13所示。图12图13总之，几何画板是中学数学教学中提高数学证明的教育价值有效的手段，随着几何画板与教学的有效结合，在应用几何画板的时候，要充分地利用它来引导学生的学习。同时我们用几何画板绘制优美的图表、图像、图形、动画等来创设直

25、观情境辅助学生思考，但是不能代替学生思考，作为数学教师应引导学生通过计算机演示实验帮助学生完成思考过程，形成自己的知识体系，而不是利用计算机直接地给出结论，忽视证明的形成过程，否则会让学生只注重结果，养成过分依赖几何画板的习惯，阻碍学生的创造意识和实践能力的培养。4.2 MatLab在课堂数学教学中的应用随着计算机时代的飞速发展，多媒体教学受到人们的日益重视，制作多媒体课件的能力日趋成为衡量一个教师教学能力的标准之一。在中学数学教学中利用MabLab软件绘制了数学教学过程中常见的二维和三维函数及几何图像，有利于学生对数学知识的更清晰的理解，激发学生的求知欲及创新意识，更好实现数学证明的教育价值

26、。4.2.1 MatLab在教学中的应用MatLab语言功能强大，函数指令上千，要熟练掌握这门软件并不是那么容易，但对于中学数学教学而言，并不需要对其全部精通，只要掌握其中常用的十几个函数即可。下面我们将对中学数学教学中几个典型案例教学进行演示，从中可以看到MatLab的强大功能。案例一 制作空间动点轨迹的动画一个点绕着一个轴做等角速度的圆周运动，同时又做平行于轴线的直线运动，其速度与角速度成正比，它的轨迹方程为 用MAT LAB编程来绘制动点轨迹的动画。x=5*cos (t); y=5*sin (t); z=4*t;for k=0:0.3:8*pigrid onezplot3(x，y，z，0

27、，k+0.3)pause (0.05)end输入程序后绘制的动点轨迹动画就完成了。案例二 绘制三维曲面 一般地，MAT LAB绘制曲面可以用meshgrid、surf、ezmesh、ezsurf等函数来完成绘制。给出曲面方程如下假设，我们取则利用MAT LAB的编程语句可绘制曲面。a=5;b=4;x, y=meshgrid (-10:1:10);Z=1/2(x2/a2-y2/b2);Surf(x, y, z);Shading flat以上程序运行后就生成双曲抛物面，其立体感较其它数学软件要更强一些。 案例三 已知椭圆抛物面的方程是双曲线抛物面方程是下面我们用meshgrid来完成椭圆抛物面和双

28、曲线抛物面的绘图。x,y=meshgrid(- 10:0.2:10);z=(x.2+y.2);mesh(x,y,z);x,y=meshgrid(- 10:0.2:10);z=(x.2/9- y.2/16)/2;mesh(x,y,z);这样两条简短的语句输入后就会自动生成图形。案例四 向量的计算问题已知空间中两个向量，求两个向量的夹角。解：>> a=-1 -1 0;>> b=-1 0 -1;>> c=sum(a.*b)/(sqrt(sum(a.2)*sqrt(sum(b.2)>> acos（c）ans =0.5我们看到：有很多数学问题，只需要相应的题设条件输入到Matlab程序中即可，确实很方便。以上四个例子只是Matlab软件强大功能在数学教学中的很小的一部分运用，它还有许多功能，许多不同的编程语句，要将Matlab软件更好运用到中学数学教学中还需要大家的努力。5结语数学证明是中学数学教学的重要内容，通过数学证明的教学，可以训练学生的演绎思维能力