2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题及详细答案

1、2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题及详细答案一、平行四边形1.在四边形 ABCD中， B D 180 ,对角线 AC平分 BAD.（1）如图1,若 DAB 120 ,且 B 90 ,试探究边 AD、AB与对角线AC的数量 关系并说明理由.（2）如图2,若将（1）中的条件“ B 90 ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理 由.（3）如图3,若 DAB 90 ,探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.1图2【答案】（1） AC AD AB.证明见解析；（2）成立；（3） ad AB V2AC .理由 见解析.【解析】试题分析:1）结论:AC=AD+AB,只要证明AD=

2、- AC2AB=1AC即可解决问题;2（2） （1）中的结论成立.以 C为顶点，AC为一边作/ ACE=60 , / ACE的另一边交 AB延 长线于点E,只要证明DA8 4BEC即可解决问题；（3）结论：AD+AB= J2AC.过点C作CE，AC交AB的延长线于点E,只要证明4ACE是等腰直角三角形， DA8 BEC即可解决问题；试题解析：解：（1） AC=AD+AB在四边形 ABCD中，/ D+/ B=180° ,/ D=90 ； / DAB=120 , ° AC 平分 / DAB,Z DAC=Z BAC=60 ,° / B=90 ；1 1.AB= AC,同理

3、 AD=AC.22 .AC=AD+AB.(2) (1)中的结论成立，理由如下：以 C为顶点，AC为一边作/ACE=60, / ACE的另 一边交AB延长线于点E, / BAC=60 ,° .AEC为等边三角形，.AC=AE=CE / D+Z ABC=180DAB=120 ,°/ DCB=60 ；/ DCA=Z BCE, / D+Z ABC=180 , ° Z ABC+Z EBC=180, °，/D=/CBE .CA=CE .DACABEC.AD=BE,.AC=AD+AB.(3)结论：AD+AB= J，AC.理由如下：过点 C作 CE! AC交 AB 的延

4、长线于点 E,ZD+Z B=180° , / DAB=90 ,邺飞DCB=90 ；/ ACE=90,°/ DCA=Z BCE,又 AC平分/ DAB,/ CAB=45 ,°/ E=45 .°.AC=CE又/ D+/ABC=180 , /D=/CBE.CDAACBE.AD=BE, .AD+AB=AE在 RtMCE 中，/CAB=45 ,AC .AE= V2ACcos45AD AB= 2AC .2.已知，在矩形 ABCD中，AB=a, BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.图1匿12圉3(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时，请证明 /

5、BMC=90 ；(2)如图2,当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在 / BMC=90 ,若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由；(3)如图3,当b< 2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析；(3)不成立.理由如下见解析 .【解析】试题分析：(1)由b=2a,点M是AD的中点，可得 AB=AM=MD=DC=a,又由四边形 ABCD 是矩形，即可求得 ZAMB=Z DMC=45 ,则可求得/ BMC=90 ;(2)由Z BMC=90 ,易证得ABMsDMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2- bx

6、+a2=0,由b>2a, a> 0, b>0,即可判定4。，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；(3)由(2),当b<2a, a>0, b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答 案.试题解析：(1) .b=2a,点M是AD的中点，.AB=AM=MD=DC=a,又在矩形 ABCD 中，/ A=Z D=90 ,/ AMB=Z DMC=45 ；/ BMC=90 :(2)存在，理由：若Z BMC=90 ,则 / AMB+/ DMC=90 ,又 Z AMB+Z ABM=90 ,/ ABM=Z DMC,又 Z A=Z D=90

7、,.ABMsDMC,AM AB-CD DM，设 AM=x，则二,a b x整理得：x2-bx+a2=0,. b>2a, a>0, b>0, =b2 - 4a2 > 0,，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，.当 b>2a 时，存在 /BMC=90；（3）不成立.理由：若/BMC=90 ,由（2）可知 x2 - bx+a2=0,. b<2a, a>0, b>0, =b2 - 4a2 v 0,，方程没有实数根，当bv 2a时，不存在Z BMC=90 ；即（2）中的结论不成立.考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的

8、性质3.如图，矩形 ABCD中，AB=6, BC=4,过对角线 BD中点O的直线分别交 AB, CD边于点E, F.（1）求证：四边形 BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）M3.3【解析】分析：（1）根据平行四边形 ABCD的性质，判定 BOEDOF （ASA）,得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出 BD,得出OB,再由勾股定理求出 E0,即可得出EF的长.详解：（1）证明：二四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，/ A=90 ； AD=BC=4,

9、 AB/ DC, OB=OD,/ OBE=Z ODF,在 BOE和 DOF中,OBE ODFOB ODBOE DOF.,.BOEADOF (ASA), EO=FO,四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，BD± EF,设 BE=x,则 DE=x, AE=6-x, 在 RtADE 中，DE2=AD2+AE2,1 .x2=42+ (6-x) 2,解得：x= 13, 32 BD=Jad2 ab2 =2713 ,3 .OB=1bD=/i3 ,4 .BDXEF,22 _ 2-J13.EO=qBEOB =，EF=2EO=4 13 .3点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质

10、、勾股定理、全等三角形的判定与性质, 熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键4 .如图，四边形 ABCD中，对角线AC BD相交于点O, AO=CO, BO=DO,且 ZABC+Z ADC=180 :(1)求证：四边形 ABCD是矩形.(2)若/ADF: /FDC=3: 2, DF±AC,求 / BDF的度数.5 p C【答案】(1)见解析；(2) 180.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出 /ABC=90,根据矩形的判定得出即可；(2)求出/FDC的度数，根据三角形内角和定理求出/DCO,根据矩形的性质得出OD=OC,

11、求出ZCDO,即可求出答案.【详解】(1)证明： AO=CO, BO=DO四边形ABCD是平行四边形，Z ABC=/ ADC, / ABC+-Z ADC=180 ,°/ ABC=Z ADC=90 ,°四边形ABCD是矩形；(2)解：./ADC=90, /ADF: / FDC=3: 2,/ FDC=36 ,°.DFXAC,/ DCO=90 - 36 =54 ；四边形ABCD是矩形，.OC=OD,/ ODC=54 °/ BDF=Z ODC- / FDC=18 :【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的

12、关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.5.已知：如图，在平行四边形 ABCD中，O为对角线BD的中点，过点 O的直线EF分别交 AD, BC于E, F两点，连结 BE, DF.(1)求证：ADO三BOF.(2)当/ DOE等于多少度时，四边形 BFDE为菱形？请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)当/DOE=90。时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：(1)利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOHBOF(ASA)；(2)首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=

13、ED即可得出答案.试题解析：(1)，.在？ABCD中，。为对角线BD的中点，BO=DO, / EDB=Z FBO,在 EOD和AFOB中“DO =£DBF DO = BO / EOD 之上FDB.,.DOEABOF (ASA)；(2)当/DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：.DO三 BOF,OE=OF,又.OB=OD,，四边形EBFD是平行四边形,/EOD=90； .,.EF± BD,四边形 BFDE为菱形.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.6.如图，4ABC中，AD是边BC上的中线，过点 A作AE/ BC,过点 D作DE/ AB, DE与

14、AG AE分别交于点。、点E,连接EC.(1)求证：AD=EQ(2)当/BAC=RtZ时，求证：四边形【答案】(1)见解析；(2)见解析.(1)先证四边形 ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可;(2)由/BAC=90°, AD是边BC上的中线，得 AD=BD=CD,即可证明.【详解】(1)证明： AE/ BC, DE/ AB , 四边形ABDE是平行四边形，.AE=BD,.AD是边BC上的中线，BD=DC,.AE=DC,又 AE/ BC, 四边形ADCE是平行四边形.(2)证明：/BAC=90°, AD是边BC上的中线. .AD=CD 四边形ADCE是平

15、行四边形， 四边形ADCE是菱形.根据图形与已知条【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键7.已知正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF，BD交BC于F,连接DF, G为DF中点，连接 EG, CG.(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)将图中4BEF绕B点逆时针旋转45°,如图所示，取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)将图中4BEF绕B点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问(1)中 的结论是

16、否仍然成立？(请直接写出结果，不必写出理由)E F C BC B图图后圄【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)结论仍然成立【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG.(2)结论仍然成立，连接 AG,过G点作MN，AD于M,与EF的延长线交于 N点；再证明DAGWDCG,得出AG=CG；再证出DMGFNG,得到MG=NG；再证明 AMGAENG,得出 AG=E« 最后证出 CG=EG.(3)结论依然成立.【详解】(1) CG=EG.理由如下：.CG=- FD,2.四边形 ABCD是正方形，Z DCF=90 :在RFCD中，;G为DF的中点,

17、同理.在 RDEF中，EG=- FD, . . CG=EG.2(2) (1)中结论仍然成立，即 EG=CG.证法一：连接 AG,过G点作MNLAD于M,与EF的延长线交于 N点.在 4DAG 与 4DCG 中，AD=CD, Z ADG=Z CDG, DG=DG, .1. ADAGADCG (SAS), .AG=CG；在4DMG 与 4FNG 中，/ Z DGM=Z FGN, FG=DG, Z MDG=Z NFG, .1.DMGAFNG (ASA) ,MG=NG. / EAM=/AEN=/AMN=90 ；，四边形 AENM 是矩形，在矩形 AENM 中，AM=EN.在 AMG 与 4ENG 中，

18、/ AM=EN, ZAMG=Z ENG, MG=NG, .1. AAMGAENG (SAS , .AG=EG,EG=CG.证法二：延长 CG至M,使MG=CG,连接MF, ME, EC.在ADCG与AFIMG中，-. FG=DG, /MGF=/CGD MG=CG, .DC®"MG, . MF=CD, Z FMG=Z DCG, .MF/CD/ AB,EF± MF.在 RtMFE与 RtCBE中，/ MF=CB, Z MFE=Z EBC=90°, EF=BE, .1.AMFEACBEZ MEF=Z CEB,Z MEC=Z MEF+Z FEC=Z CE3/CE

19、F=90；.MEC为直角三角形. MG=CG,EG=-MC, . EG=CG.2(3) (1)中的结论仍然成立.理由如下：过F作CD的平行线并延长 CG交于M点，连接EM、EG过F作FN垂直于AB于N. 由于G为FD中点，易证 CD84MFG,得到CD=FM,又因为BE=EF,易证 /EFM=/EBC,贝必£5“0飞3弓 Z FEM=Z BEC EM=EC / FEG/ BEC=90 ；ZFEC+Z FEM=90 ;即 / MEC=90 ;， MEC 是等腰直角三角形. G 为 CM 中点，EG=CG, EG± CG图(一)图(二图电【点睛】本题是四边形的综合题.(1)关键

20、是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；(2)关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和 性质解答.8.如图，在正方形 ABCD中，E是边AB上的一动点，点 F在边BC的延长线上，且CF AE ,连接 DE, DF, EE FH 平分 EFB 交 BD于点 H.(1)求证：DE DF ;(2)求证：DH DF :(3)过点H作HM ± EF于点M,用等式表示线段 AB, HM与EF之间的数量关系，并 证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） EF 2AB 2HM ,证明详见解析【解析】【分析】(1)根据正方形性质，CF AE得到DE

21、 DF .(2)由 AAED 04CFD ,得 DE DF .由 ABC 90, BD 平分 ABC, 得 DBF45 .因为FH平分EFB,所以EFHBFH.由于DHFDBF BFH 45 BFH ,DFHDFE EFH45 EFH ,所以DH DF .(3)过点H作HN BC于点N ,由正方形ABCD性质，得BD Jab2 ad2 72AB.由 FH 平分 EFB, hm EF, HN BC ,得HM HN .因为 HBN 45 , HNB 90 ,所以 BH HNV2HN 72HM .sin 45由EFDFcos45V2DF V2DH ,得 EF 2AB 2HM（1）证明：.四边形ABC

22、D是正方形,AD CD , EAD BCD ADC 90 .EAD FCD 90 . CF AE。AAEDACFD .ADE CDF .EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90 DE DF .(2)证明：AAEDACFD ,DE DF . EDF 90 , DEF DFE 45 . ABC 90 , BD 平分 ABC, DBF 45 .FH 平分 EFB , EFH BFH .DHF DBF BFH 45 BFH ,DFH DFE EFH 45 EFH , DHF DFH .DH DF .(3) EF 2AB 2HM .证明：过点H作HN BC于点N ,如图，.正方形 ABCD

23、中，AB AD, BAD 90 , BD AB2 AD2、2AB. FH 平分 EFB, HM EF, HNBC, HM HN .HBN 45 , HNB 90 ,BHDHHNsin 452HN2HMBD BH .2aB 2HM. EFDFcos45V2df T2dh , EF 2AB 2HM【点睛】 本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数9.如图，在矩形ABCD中，点P从AB边的中点E出发，沿着E B C速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点 C后停止运动，点 Q是AD上的点，AQ 10,设

24、 paq的面积为y,点p运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图 所示.(1)图中AB=, BC=，图中m=.(2)当t=1秒时，试判断以PQ为直径的圆是否与 BC边相切？请说明理由：(3)点P在运动过程中，将矩形沿 PQ所在直线折叠，则t为何值时，折叠后顶点 A的对应 点A落在矩形的一边上.,.Qn如1B 图OI 2图 11柝【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；(3) t=1、5、23【解析】【分析】(1)由题意得出 AB=2BE t=2 时，BE=2X 2=4 求出 AB=2BE=8, AE=BE=4, t=11 时,12t=22,得出BC=18,当t=0时，点P在E处，

25、m=4AEQ的面积=一 AQX AE=2脚可；2(2)当t=1时，PE=2,得出AP=AE+PE=6由勾股定理求出 PQ=2疝，设以PQ为直径的 圆的圆心为 O',作 O'NXBC于N,延长 NO'交AD于M,则 MN=AB=8, O'M / AB, MN=AB=8,由三角形中位线定理得出O'M=AP=3,求出O'N=MN-O'M=5圆。'的半径，2即可得出结论；(3)分三种情况： 当点P在AB边上，A落在BC边上时，作 QF±BC于F,则 QF=AB=8, BF=AQ=10,由折叠的性质得：PA'=PA A&#

26、39;Q=AQ=10, Z PA'Q=Z A=90 °,由勾股定理求出 A'F=JaQ2_QF2 =6,得出 A'B=BF-A'F=4,在 RtA'BP 中，BP=4-2t, PA'=AP=8-(4-2t) =4+2t,由勾股定理得出方程，解方程即可； 当点P在BC边上，A'落在BC边上时，由折叠的性质得： A'P=AP,证出ZAPQ=Z AQP, 得出AP=AQ=A'P=10,在RtA ABP中，由勾股定理求出 BP=6,由BP=2t-4,得出2t-4=6 ,解 方程即可； 当点P在BC边上，A落在CD边上时，

27、由折叠的性质得：A'P=AP, A'Q=AQ=10,在RtA DQA'中，DQ=AD-AQ=8,由勾股定理求出 DA'=6,得出 A'C=CD-DA'=2,在 RtABP 和 RtA A'PC中，BP=2t-4, CP=BC-BP=22-2t由勾股定理得出方程，解方程即可.【详解】(1) .点P从AB边的中点E出发，速度为每秒 2个单位长度，.AB=2BE,由图象得：t=2时，BE=2X 2=4,，AB=2BE=8, AE=BE=4t=11 时，2t=22 ,.BC=22-4=18,当 t=0 时，点 P 在 E处，m=4AEQ 的面积=

28、1AQX AE=1 X 10X4=20 22故答案为8, 18, 20;(2)当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与 BC边相切，理由如下：当 t=1 时，PE=2,.AP=AE+PE=4+2=6四边形ABCD是矩形，/ A=90 ； PQ= 7AQ2AP J102 62 2后，设以PQ为直径的圆的圆心为 O',作O'NBC于N,延长NO'交AD于M,如图1所示:贝U MN=AB=8, O'M / AB, MN=AB=8,.O'为PQ的中点， O”M是4APQ的中位线， .O'M= 1AP=3, 2 .O'N=MN-O'M=5 v 7

29、37,，以PQ为直径的圆不与BC边相切；(3)分三种情况： 当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作 QF±BC于F,如图2所 示：贝U QF=AB=8, BF=AQ=10,四边形ABCD是矩形，/ A=Z B=Z BCD=Z D=90 ; CD=AB=8 AD=BC=18, 由折叠的性质得：PA'=PA A'Q=AQ=10, Z PA'Q=Z A=90° ,.A'F=,AQ2 QF2=6,，A'B=BF-A'F=4,在 RtA A'BP 中,BP=4-2t, PA'=AP=8- (4-2t) =4+2

30、t,由勾股定理得：42+ (4-2t) 2= (4+2t) 2,由折叠的性质得：A'P=AP,连接AA',如图3所示: / APQ'=/ A'PQ,1. AD/ BC,/ AQP=Z A'PQ,/ APQ=Z AQP, .AP=AQ=A'P=10,在RtABP中，由勾股定理得：BP=J102 82 =6,又BP=2t-4,-2t-4=6,解得：t=5; 当点P在BC边上，A'落在CD边上时，连接 AP、A'P,如图4所示:由折叠的性质得：A'P=AP, A'Q=AQ=10,在 RtA DQA'中,DQ=AD

31、-AQ=8,由勾股定理得：DA'=由02 82 =6,.A'C=CD-DA'=2,在 RtABP 和 RtA A'PC 中，BP=2t-4, CP=BC-BP=18-( 2t-4) =22-2t, 由勾股定理得：AP2=82+(2t-4) 2, A'P2=22+ (22-2t) 2,.-82+ (2t-4) 2=22+ (22-2t) 2,解得：t=17； 3综上所述，t为1或5或17时，折叠后顶点 A的对应点A'落在矩形的一边上.23【点睛】四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定

32、理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识10.在平面直角坐标系中， O为原点，点A ( - 6, 0)、点C (0, 6),若正方形 OABC绕 点O顺时针旋转，得正方形 OA B',C记旋转角为 a:(1)如图，当“=45°时，求BC与A' B勺交点D的坐标；(2)如图，当“=60°时，求点B'的坐标；(3)若P为线段BC的中点，求AP长的取值范围(直接写出结果即可).图 图【答案】(1) (66用6);(2)(3733,336)；(3)3723轰叭P3723.【解析】【分析】(1)当 a= 45°时，延长 OA经过点 B,在 RBA&#

33、39; D中，/ OBC= 45°, A 打 6J2 6,可 求得BD的长，进而求得 CD的长，即可得出点 D的坐标；(2)过点C作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B彳乍MN的垂线，垂足为 N,证明 OMCC' NB'可彳导C'库OM=3，3, B'生C'旧3,即可得出点 B'的坐标；(3)连接OB, AC相交于点K,则K是OB的中点，因为P为线段BC的中点，所以PK=1一一OC=3,即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围.2【详解】解：(1) ： A ( 6, 0)、 C (0, 6) , O (0, 0),

34、四边形OABC是边长为6的正方形，当a= 45°时，如图，延长OA经过点B,.OB=6/2, OA=OA= 6, ZOBC= 45。， A葬6底6，BD= ( 6五 6)%五 12 6五,-CD=6- (12 6v2)=6衣 6，BC与A的交点D的坐标为(6 672，6)；Va图(2)如图，过点C作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B彳乍MN的垂线，垂足为 N, / OC'390 °,/ OC' g90 - Z B' C= B C' B N,. OC'= B' ,C'/OMC'=/C' NB90 ；.OM

35、C/AC， NBAAS),当a= 60°时，. /A' OC90 °, OC'= 6,/ C' OM30 °, .C'* OM=3 百，B'处 C' g 3,点B的坐标为3m 3,3 3石；(3)如图，连接OB, AC相交于点K, 则K是OB的中点， P为线段BC的中点，1 .PK= - OC = 3,2 .P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，- AK=3 V2， AP最大值为3底 3，AP的最小值为3历 3AP长的取值范围为3& 3轰叭P 3衣 3.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中

36、位线定理.（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点 P的轨迹.11.猜想与证明：如图1,摆放矩形纸片 ABCD与矩形纸片ECGF使B、G G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF,若M为AF的中点，连接 DM、ME,试猜想DM与ME的关系，并证明你 的结论.拓展与延伸：（1）若将"猜想与证明 中的纸片换成正方形纸片 ABCD与正方形纸片ECGF其他条件不 变，则DM和ME的关系为 .（2）如图2摆放正方形纸片 ABCD与正方形纸片ECGF使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立.【答案】猜想：DM=ME,证明见解析；（2）成立，证明见解析【解析】试题分

37、析：延长 EM交AD于点H,根据ABCD和CEFG为矩形得到 AD/ EF,得到 FME和 AMH全等，得到 HM=EM,根据RtHDE得到HM=DE,则可以得到答案；(1)、延长 EM交AD于点H,根据ABCD和CEFG为矩形得到 AD/ EF,得到4FME和4AMH全等，得 到HM=EM,根据RtHDE得到HM=DE,则可以得到答案；(2)、连接AE,根据正方形 的性质得出 /FCE=45, /FCA=45,根据 RTA ADF中AM=MF得出DM=AM=MF,根据 RTA AEF 中 AM=MF 得出 AM=MF=ME ,从而说明 DM=ME.试题解析：如图1,延长EM交AD于点H,二四

38、边形ABCD和CEF比矩形，.AD/ EF,/ EFM=Z HAM ,又 / FME=Z AMH, FM=AM ,在 FME 和 AMH 中，4FM 二 AH I /FME=/aH.FMEAAMH (ASA) .HM=EM , 在 R3HDE 中，HM=DE, .DM=HM=ME ,.DM=ME .(1)、如图1,延长EM交AD于点H,四边形ABCD和CEF%矩形， .AD/ EF,/ EFM=Z HAM ,又 / FME=Z AMH, FM=AM ,在 FME 和 AMH 中，二 AJA|z?me=zmh.FMEAAMH (ASA) .HM=EM ,在 RTA HDE 中，HM=EM .DM

39、=HM=ME ,.DM=ME,(2)、如图2,连接AE,四边形ABCD和ECGF正方形，/ FCE=45, ° / FCA=45 ,°.AE和EC在同一条直线上, 在 RTA ADF 中，AM=MF, . DM=AM=MF ,在 RTA AEF中，AM=MF,，AM=MF=ME,.DM=ME .考点：(1)、三角形全等的性质；(2)、矩形的性质12.如图1,矩形ABCD中，AB=8, AD=6;点E是对角线BD上一动点，连接 CE,作EF! CE交AB边于点F,以CE和EF为邻边作矩形 CEFG,作其对角线相交于点 H.(1)如图2,当点F与点B重合时，CE= , CG=

40、; 如图3,当点E是BD中点时，CE=, CG=；(2)在图1,连接BG,当上I形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想 4EBG的形状？并 加以证明；(3)在图1, CG的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；CE(4)在图1,设DE的长为x,矩形CEFG的面积为S,试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围.、241)一51815(2) 4EBG是直角三角形，理由详见解析;3)一;(4) S=-x2 x+48 (0Wxw)4455(1)利用面积法求出 CE,再利用勾股定理求出EF即可；利用直角三角形斜边中线定理求出CE,再利用相似三角形的性质求出EF即可;(2)根据直

41、角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这 个三角形是直角三角形即可判断；(3)只要证明DCa4BCG,即可解决问题；(4)利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；【详解】(1)如图2中，在 RtA BAD 中,BD= 'AD2 AB2 =10, SBCD= - ?CD?BC=- ?BD?CE“E竺 CG=BE=；62（24）2 = 18 5:55 如图3中，过点 E作MNLAM交AB于N,交CD于M .DE=BE1 .CE=-BD=5, 2.CMEAENF,CM EN CE EF '.CG=EF=15， 4(2)结论：AEBG是直角三角形.理由：如图

42、1中，连接BH.在 RtBCF中，. FH=CHI, .BH=FH=CH 四边形EFGC是矩形， .EH=HG=HF=HC.BH=EH=HG, .EBG是直角三角形.(3) F如图 1 中，. HE=HC=HG=HB=HFC、E、F、B、G 五点共圆，EF=CG/ CBG=Z EBF,1. CD/ AB,/ EBF=Z CDE,/ CBG=Z CDE / DCB=Z ECG=90,°/ DCE=Z BCG.-.DCEABCG,CG BC 6 3一 .CE DC 8 4(4)由(3)可知：CG CD 3CE CB 4'矩形CEF6 矩形ABCD,S巨形CEFGS巨形ABCD骨2

43、CE264 ，- CE2= ( 32-x)2+24)5S 矩形 abcd=48 ,S矩形CEF百一432(g-x)2+学2.，矩形 CEFG的面积 S=- x2-x+48 (0Wx颦).455【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三 角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴 题.13.如图，点E是正方形 ABCD的边AB上一点，连结 CE过顶点C作CF，CE,交AD延 长线于F.求证：BE=DF.Dp二【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出BC=CQ ZB=Z CDF, / BCD=90 ,再由垂直的性质得到/ BCE=Z DCF,然后根据 “ ASA明 BC珞 BCE即可得到BE=DF详解：证明：CFCE,/ ECF=90, °又 / BCG=90, / BCE-+Z ECD =Z DCF-+Z ECD/ BCE=Z DCF,在 BCE与 DCF中， / BCE=Z DCF, BC=CD / CDF=Z EBG.,.BCEABC