2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章2.1函数及其表示(含解析)

1、爻.1函数及其表示函数两个集合A, B设A, B是两个非空数集对应法则f: A-B如果按某种对应法则f,使对于集合A中的每一个兀素x,在集合B中都有唯一的元素 y和它对应名称称y=f (x), xCA为从集合A到集合B的一个函数函数记法函数 y= f (x), xC A2 .函数的三要素(1)定义域在函数y=f (x), xC A中，x叫做自变量，所有的输入值 x组成的集合 A叫做函数y=f(x)的疸 义域.(2)值域对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应.我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.对应法则f: A-B.3 .函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4

2、.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.概 念 方 法 微1 .分段函数f （x）的对应法则用两个式子表示，那么f （x）是两个函数吗?提示分段函数是一个函数.2 .请你概括一下求函数定义域的类型.提示 （1）分式型；（2）根式型；（3）指数式型、对数式型；（4）三角函数型.3 .请思考以下常见函数的值域：(1)y=kx+b(kw 0)的值域是 R.(2)y= ax2+bx+c(aw 0)的值域：当a>

3、;0时，值域为4ac b2, +°° ;当 a<04a，值域为4ac b24ak(3)y=(kw 0)的值域是y*0. x、(4)y= ax(a>0 且 aw 1)的值域是(0, 4 8 ).(5)y= logax(a>0 且 a w 1)的值域是 R.题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)若A=R, B=x|x>0, f: x-y=|x|,其对应是从 A 至 ijB 的函数.(X )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等. (X )(3)已知 f (x)=5(xC R),则 f (x2)=25.( X

4、)(4)函数f (x)的图象与直线x=1最多有一个交点.(,)题组二教材改编2 .以下属于函数的有 .(填序号)y= ±jx；y2=x 1;丫=”2 + 5x; y= x22(x C N).答案3 .函数y=f (x)的图象如图所示，那么，f (x)的定义域是 ;值域是 ;其中只 有唯一的x值与之又应的y值的范围是 .答案3,0 U 2,3 1,5 1,2) U (4,5题组三 易错自纠4 .下列图形中可以表示以M=x|0w xw 1为定义域，N=y|0WyWl为值域的函数的图象是()答案 C解析 A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选

5、项C正确.5 .(多选)(2019山东省济南市历城第二中学月考)下列各组函数是同一函数的是()A . f (x) = x22x1 与 g(s) = s22s1B . f (x) = >/-x3与 g(x)= xXC. f (x)=1g(x) = -10 xxD . f (x) = x 与 g(x) = Vx2答案 AC6 .函数y=>/x 2 Qx+ 2的定义域是 .答案 2, +8 )7 .已知 f(Jx)=x 1,则 f (x) =.答案x2-1(x>0)解析 令 t=>/x,则 t>0, x=t2,所以 f (t)= t2 1(t>0),即 f (x)

6、 = x2 1(x> 0).x+ 1 , x< 0,8 . (2019湖北黄石一中模拟)已知函数f(x)= 2x_ 1 x>0 则f(f (0)的值为；方程f (-x)=1的解是.答案 1 0或1解析 -.-f (0)=1, .""0)=1)=1.当一*忘 0 时，f( x) = x+1=1,解得 x= 0;当一x>0 时，f (-x)=2 x-1 = 1,解得 x= 1.题型突破菜鹿深度削折重点褰维探究第1课时函数的概念及表示法函数的概念1 .下列各曲线表示的 y与x之间的关系中，y不是x的函数的是（）答案 C2 . (2019武汉*II拟)下列五

7、组函数中，表示同一函数的是 .(填序号)x+ 1f (x) = x- 1 与 g(x) = x-1;f (x)=lg x2 与 g(x)=2lg x;f (x) = x+ 2, xCR 与 g(x)=x+ 2, xC Z；N= f (x)与 y= f (x+ 1).答案3 .已知A=x|x=n2, nCN,给出下列关系式：f (x) = x; f(x) = x2; f (x)=x3; f(x)=x4; f(x) = x2 + 1,其中能够表示函数f: A-A的是.答案解析 对于，当x=1时，x2+1?A,故错误，由函数定义可知 均正确.思维升华 (1)函数的定义要求第一个数集 A中的任何一个元

8、素在第二个数集 B中有且只有一 个元素与之对应，即可以 “多对一 ”，不能“一对多”，而B中有可能存在与 A中元素不对 应的元素.(2)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同.求函数的解析式例1求下列函数的解析式:(1)已知 f (1 sin x)=cos2x,求 f (x)的解析式;(2)已知 f x2 + x12 =x4+/，求f(x)的解析式;(3)已知f (x)是一次函数且3f (x+1)-2f (x-1) = 2x+ 17,求f (x)的解析式；定义在(一1,1)内的函数f (x)满足2f (x)-f (-x)=lg(x+1),求f(x)的解析式.解 (1)(换元法

9、)设 1 - sin x= t, t C 0,2,则 sin x= 1 -1, , f(1 sin x) = cos2x= 1 -sin2x, .f (t)=1-(1-t)2 = 2t-t2, tC0,2.即 f(x)=2x x2, xC 0,2.(2)(配凑法)£ x2+x12 = x2+x12 2-2,1. f (x) = x22, xC 2, +8).(3)(待定系数法)因为f (x)是一次函数,可设 f (x) = ax+b(aw 0),3a(x+ 1)+ b -2a(x- 1)+ b = 2x+17.即 ax+(5a+b)=2x+ 17,a = 2,5a+b=17,解得a=

10、2, b=7.f (x)的解析式是 f (x) = 2x+7.(4)(消去法)当 xC (1,1)时，有 2f (x)-f (-x)=lg(x+ 1).以一x 代替 x 得，2f ( x)f (x)=lg(x+1).21由消去 f(x)得，f (x)=-lg(x+ 1) + -lg(1 x), 33xC (-1,1).思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数 f (g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法：由已知条件f (g(x)= F (x),可将F (x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替彳tg(

11、x),便得f(x)的解析式.(4)消去法：已知f (x)与f 1或f ( x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式 x组成方程组，通过解方程组求出f (x).1 x跟踪训练1 (1)(2020济南月考)若£ -=不二工，则当xW0,且xw1时，f (x)等于()1 A. x1B- x- 1C.六1 -x1D.-x答案 B1x 1 一斛析 f (x)="=7(xw 0 且 xw 1).1 x- 1、/1 _x(2)已知 f (x)是二次函数且 f (0) = 2, f(x+ 1)-f (x)=x1 ,则 f (x)=.答案2x2-3x+ 2解析 设 f (x)=

12、ax2 + bx+ c(a 半 0),由 f(0) = 2,得 c=2,f(x+ 1) f(x)=a(x+1)2+b(x+1) + 2 ax2bx 2= x- 1,即 2ax+a+b= x 1,2a= 1,a+ b= 1,a=1, a 23b= 一 2-f (x) = 1x22x+2.,1(3)已知 f (x)满足 2f (x) + f ； =3x1,求 f (x). x一，1解已知 2f (x)+f - =3x-1,x1 , ,一 ，I以1代替中的X(XW0),得X2f 1 +f (x)=3-1, xX3X 2，得 3f (x)=6x 31, x故 f (x)=2x 1；(xw0). x 3

13、分段函数命题点1求分段函数的函数值3x+1, x<2,2例2 (1)已知函数f (x)= 2+ax x>2 若f f 3 =6,则实数a的值为, f (2) .答案 5 -6解析由题意得，f 2 =32+1 = 3, 33所以 f f 2 =f (3)=9 + 3a= 6, 3所以 a=- 5, f (2) = 45X2 = 6.(2)已知 f (x)=2 '' 则 f (2) =.f x- 1 + 1, x>0,答案 3A兀解析 f (2) = f (1) + 1 = f (0) + 2= cos 2*0 +2= 1 + 2=3.命题点2分段函数与方程、不等

14、式问题2x, xW0,1例3 设函数f(x)=1J 0 则使f(x)=2的x的集合为 答案 1, 孝1 . 一 解析由题意知，若xW0,则2x=2,解得x=1;11若 x>0,则 110g凶=1,解得 x= 22 或 x= 2 2.故所求x的集合为1, 中,孝.1 .本例中，则使f (x)>2的x的集合为 答案 x 1<x<g或x>或1 1解析当xw 0时，由2x>2得一1<xw 0；当 x>0 时，由 110g2x|>1 得 0<x<g或 x>也.综上，所求x的集合是x 1<x<2或x>42 .思维升华

15、(1)分段函数的求值问题的解题思路 求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值.求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值, 切记要代入检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.x+1, x>0, 跟踪训练2 (1)设函数f(x)= 1则f(f( 1) =乎 x<0, 答案 31 解析.f(-1)=214 =2, f (f (-1)=f(2)=3.2 x, x< 0, (2)(2018全国I改编)设函数f(x)=则满足f (x+1)<f(2x)的x的取值范围是

16、1, x>0,答案 ( 8, 0)x+1 w 0_ ,_解析 方法一 当即 xw1 时，f (x+1)<f (2x)即为 2(x+1)<2 2x,即(x+ 1)<2x<0,-2x,解得x<1.因此不等式的解集为(一8, - 1.x+1<0,当时，不等式组无解.2x>0x+1>0,当即1<xW0时，f(x+ 1)<f(2x)即1<2 2x,解得x<0.因此不等式的解集为( 1,0).2x<0,x+ 1>0,当即x>0时，f(x+1)=1, f (2x)=1,不合题意.2x>0, 综上，不等式f

17、(x+ 1)<f (2x)的解集为(一8, 0).2 x, x< 0,方法二.f(x) =1, x>0,函数f (x)的图象如图所示.由图可知，当x+1W0且2xW0时，函数f(x)为减函数，故f(x+1)<f (2x)转化为x+1>2x.此时x< - 1.当 2x<0 且 x+1>0 时，f(2x)>1, f (x+1)=1,满足 f (x+1)<f (2x).此时1<x<0.综上，不等式 f(x+ 1)<f (2x)的解集为(一8, -1U(-1,0) = (-oo? 0).求下列函数的定义域:第2课时 函数的定

18、义域与值域函数的定义域y=#+.1(3)y=1 一 一(4)y= ,=+ (2x 5)0.y iogo.5 x 2由2一|x|"x2 1 > 0,x< 1或 x> 1.所以函数的定义域为xxw 1或x>1且xwi2.25-x2>0,由 cosx>0,5< x< 5,得 兀 兀2k%-2<x<2kTt+ 2 kC Z .所以函数的定义域为一5, 2兀u 2t，2 U 至 5 .x 12x>0,(3)要使函数有意义，必须xw 0,4 x2>0,解得2vx<0 或 1W x<2,，函数的定义域为（一2,0）

19、U 1,2）.由logo.5 x 2 >0,2x5W02vx<3,得 5 xw2， 55.函数的定义域为2, 2 U 5, 3 .思维升华（1）给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数哥的底数不为零，对数的真数大于零且底数 为不等于1的正数以及三角函数的定义域等.（2）求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题.在解不等式组时要细心，取交集时可借助 数轴，并且要注意端点值或边界值.函数的值域例1 （2019长沙月考）求下列函数的值域:(1)y = x2-2x+3, xC 0,3);(2)y=2x+ 1x 3(3)

20、y=2x4x 1;(4) y = x+ 1 + 也1.解 (1)(配方法)y=x2-2x+ 3=(x- 1)2+2, 由 xC 0,3), 再结合函数的图象（如图所示），可得函数的值域为2,6）.(2)(分离常数法)y=等，=2xx 33+ 7 = 2十六， X3 X3X3显然 0,，yw2. x 3故函数的值域为(00, 2) U (2, + 8).(3)(换元法)设 i=!X1,则 x=t2+1,且 t>0,c1 15.y=2(t2+1)-t=2 t4 2+学由t>0,再结合函数的图象(如图所示)，可得函数的值域为185, +8函数的定义域为1, +8),= y=由+ 1与v=

21、x 1在1, + 8)上均为增函数，y=1 +1x 1在1 , + °°)上为单调递增函数，当X=1时，ymin= -72,即函数的值域为寸2, + 8).结合本例（4）求函数y = yjx+ 1 yjx 1的值域.解函数的定义域为1, 十°°）, 片g-g R "1由本例(4)知函数y =1 + 小1的值域为取,+ 00),1 -1x+ 1 +，x- 122.0<g+G M ，函数的值域为（0,取.思维升华求函数值域的一般方法 分离常数法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）单调性法；（6）换元法；（7）数形结合 法；（8

22、）导数法.跟踪训练1求下列函数的值域:(1)y=1 x21 + x2'(2)y = x+ 441 x;2x2-x+11(3)y='丁 x>2.一 、一1 x22斛(1)方法一y= 1 + x2= - 1 +1 + 产2因为 x2>0,所以 x2+1>1,所以 0<：2W2.所以一1< 1 +，W1.1 + x2即函数的值域为（-1,1.1 x2c万法二由丫=市2,得* =i-y1 + y.因为x2>0,所以3>0.1 + y所以一1<yW1,即函数的值域为（一1,1.(2)设1=/?, t>0,则 x= 1-t2,所以原函数

23、可化为y=1-t2+4t=- (t-2)2+5(t>0), 所以y<5, 所以原函数的值域为（一8, 5,2x2-x+ 1 x 2x- 1 + 12x 11= x-2+7+? i因为x>；1,即1所以x-2+x= 上乎时取等=2X 2，12当且仅当x-1= 21所以y>V2+2,即原函数的值域为啦+1, +8 .定义域与值域的应用 例2 (1)(2020广州模拟)若函数f (x)=qax2 + abx+b的定义域为x|1WxW 2,则a+b的值为,9答案2解析 函数f(x)的定义域是不等式 ax2+abx+bn0的解集.不等式 ax2+abx+b>0的解集为x|1

24、<x< 2,a<0,_3所以a+ab+b=0, 解得a 2'4a+2ab+b= 0,b=3，所以 a+b=-2-3=9.(2)已知函数y= Rx2+ ax1+2a的值域为0,十),求a的取值范围.解 令 t= g(x)=x2+ax- 1+2a,要使函数 y=#的值域为0, +°°),则说明0, + oo)? y|y = g(x),即二次函数的判别式 A>0,即 a2-4(2a-1)>0,即 a2-8a+4>0,解得 a>4+2/3 或 aw 4 2y3,，a 的取值范围是a|a>4+2艰或 aw 4 2/3.思维升华

25、已知函数的定义域、值域求参数问题.可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解.跟踪训练2 若函数f (x) = /ax 2 021在2 021,)上有意义，则实数 a的取值范围为答案1 , +00 )解析 由于函数f (x)=1ax2 021在2 021 , + 00)上有意义，即ax2 021 >0在2 021 ,十)上恒成立 即a2021在2 021 , 十 )上恒成立 而 0<2四 xx< 1,故 a>1.1(2)已知函数f (x) = 2(x1)2+1的定义域与值域都是1, b(b>1),则实数b=.答案 31解析 f (x)= 2(x- 1)2+ 1, xC1, b且 b>1,一1c则 f (1)=1, f (b)=11(b1)2+1,. f (x)在1, b上为增函数,函数值域为1, 2 b 1 2 + 11由已知得