勾股定理竞赛试题(一)

1、勾股定理培优训练B1如图，ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BDAC于点D则BD的长为（）ABCD2如图，四边形ABCD中，AB=AD，ADBC，ABC=60°，BCD=30°，BC=6，那么ACD的面积是（）ABC2D3ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：AE=CF EPF是等腰直角三角形 EF=AP S四边形AEPF=SABC当EPF在ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），则上述结论始终正确的有（）A1个B2个C3个D4个4如图，已知圆柱底面的周

2、长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A4dmB2dmC2dmD4dm5如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要（）cmA10nBCD6在ABC中，ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A2B2.6C3D47如图，在ABC中，BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，ACE=BAC，CE交AB于点E，交AD于点F若BC=2，则EF的长为（）ABC1D8已知ABC是腰长为1的等腰直角三角形

3、，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A2n2B2n1C2nD2n+19已知直角三角形的斜边为2，周长为则其面积是（）AB1CD210下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；（2）如果a0，那么=a（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（a，b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等其中不正确命题的个数是（）A2个B3个C4个D5个11如图，有一块直角三角形纸片，两直角边

4、AC=6cm，BC=8cm现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A2cmB3cmC4cmD5cm122002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A13B19C25D16913如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=8，将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）A7.5B6C10D5二填空题14如图，ABD和CED均为等边

5、三角形，AC=BC，ACBC若BE=，则CD= 15在RtABC中，C=90°，D为BC上一点，DAC=30°，BD=2，AB=2，则BC的长是16已知a，b，c是直角三角形的三条边，且abc，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是（只填序号）a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；b4+c2h2=b2c2；由可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是17如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60°，B=D=90°，则四边形ABCD的面积是18如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，AED=2CED，点G是D

6、F的中点若BE=2，AG=8，则AB的长为三解答题19如图，已知AD是ABC的高，BAC=60°，BC=3,AC=2，试求AB的长20操作发现：将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合问题解决：将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图（1）求证：CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的长21已知a，b，c为ABC的三边长，且（+）2=3（+），试说明这个三角形是什么三角形22某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边

7、长为6m、8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长23已知，如图，在RtABC中，ACB=90°，A=30°，CDAB交AB于点E，且CD=AC，DFBC，分别与AB、AC交于点G、F（1）求证：GE=GF； （2）若BD=1，求DF的长24.已知：如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的高求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)25.已知：ABC是钝角三角形，CD垂直BA延长线于D，求证：26如图，在RtABC中，C90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD5，BE求AB的长27如图，ABC中，A90&

8、#176;，AC20，AB10，延长AB到D，使CDDBACAB，求BD的长28如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB3，AD9，求BE的长29如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB8cm，BC10cm，求EC的长30已知：如图，ABC中，C90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DEDF求证：AE2BF2EF21，在四边形ABCD中,已知AB=30,AD=48,BC=14,CD=40, ABD+BDC=90。,四边形ABCD的面积为 .2如图，在RtABC中，ACB=900，CAB=300，ACB的平分线与ABC的外角平分线交于

9、E点，则AEB=( )(A)500 (B)450 (C)400 (D)3503如图，RtABC，C90°,B30°,BC6，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则APDP的最小值是 （第3题）4、如图，方格图中小正方形的边长为，将方格中阴影部分第5题5、如图，一只蚂蚁沿边长为的正方体表面从顶点爬到顶点，则它走过的最短路程为（ ）（A） （B） （C） （D）6、某数学课外实验小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一名身高为1.5米的同学落在地面上的影子长为1.35米，因大树靠近一幢大楼，影子不会落在地面上（如图），他们测得地面部分的影子BC=3.6米，墙上影

10、长CD=1.8米，则树高AB= 米 7、一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为A、4 B、 C、4或 D、28、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如右图）拉到岸边，花柄正好与水面成600夹角，测得AB长60cm，则荷花处水深OA为A、120cm B、cm C、60cm D、cm9、等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为_10、已知，如图（1）在ABC中，ACB=90°，AC=8，BC=6，CD、CE分别是斜边AB上的中线和高。则下列结论错误的是（ ）A AB=10 B CD=5 C CE= D DE=BE=11、如图（3），在等

11、腰直角三角形ABC中，C=90°，D为BC的中点，将ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则AF:CF= （ ）A2:1 B 3:2 C5:3 D7:512、如图（10）是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A.46 B. 47 C. 48 D.4913、如图，已知ABC中，ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1 , l2，l3之间的距离为3 ,则点B到AC的距离是 14已知一个梯形的四条边

12、长分别为2、3、4、5，则此梯形的面积为（）A5B8CD15如图，四边形ABCD中，AC90°，ABC60°，AD4，CD10，则BD的长等于（ ）A. B. C. 12 D.16如图，ABC中，ABAC2，BC边上有10个不同的点，, 记（i 1，2，10），那么的值为（ ）A. 4 B.14 C. 40 D.不能确定 （第14题图） (第15题图)17.如图将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若FG的长为13cm，则CE的长= （ ）cm（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 818.如图，P为正方形ABCD内一点，P

13、APBPC123，则APB 19如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离等于 A0.5cmB1cmC1.5cmD2cm20如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为 ABCD621直角三角形三边长都是正整数，其中有一条直角边长是21，则此直角三角形的周长最小值是_22正方形ABCD，正方形BEFG和正方形PKRF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为2，则DEK的面积为（）ABEFDCABEKDCGFRPA4B2C3D23如图，

14、在正方形ABCD中，BDBE，CEBD，BE交CD于F点，则DFE的度数为（）A45°B60°C75°D90°24、如图所示，AEAB，BCCD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是_ 25根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300 km的点O处（如图4），正以20 km/h的速度向北偏西60°方向移动，距离台风中心250 km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是 OA北60°东图4MA10 h B20 h C30

15、 h D40 hABC26如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为_CNABDEFM27如图，将长为4 cm宽为2 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为_28正方形ABCD的边长为4，E、F、P分别为AB、BC、DA上的点，且AEBE，DP3AP（F为动点），则EFFP的最小值为（ ）A B C D以上都不对 DBACPAD ECFB29如图，梯形ABCD的上、下底分别为1和4，对角线AC=4 BD=3 ，则梯形ABCD的面积为_. 30、（本题满分7分）一次“探究性”学习课中，老师设计了如下数表：(

16、1)请你分别观察a、b、c与n的关系，并用含自然数n(n1)的代数式表示：a= b= c= （2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1 31、（本题满分8分）如图，某城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响

17、要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？32、（本题满分9分）如图，梯形ABCD中,ADBC且ABBC,已知AD=1,AB=BC=4. (1)求DC的长。（2）若E为AB中点，连结DE,CE, 求证：DE平分ADC, CE平分DCB33（本小题满分9分）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交

18、直线于点），到、的距离之和 （1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值BAPX图（1）YXBAQPO图（3）BAPX图（2）34、如图（7）ABD的CED均为等边三角形，AC=BC,ACBC。若BE=,则CD=_35如图，在直角梯形ABCD中，AB=BC=12，E为AB中点，DCE=45°，求DE的长（10分）22、（本题8分）如图，四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，AB=CD，对角线AC、BD交于

19、点O，且ACBD，DHBC。 求证：DH=（AD+BC） 若AC=6，求梯形ABCD的面积。36、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（ABBC）的对角线的交点O旋转（），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。该学习小组成员意外的发现图（三角板一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在图中（三角板一边与OC重合），CN2=BN2+CD2，请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由。图 图 图试探究图中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。将矩形ABCD改为边长为1的

20、正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系（不需要证明） 图37、（本题12分）如图，四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在x轴上，A点函数上，且ABCDy轴，ADx轴，B（1，0）、C（3，0）。 试判断四边形ABCD的形状。 若点P是线段BD上一点PEBC于E，M是PD的中点，连EM、AM。 求证：AM=EM 在图中，连结AE交BD于N，则下列两个结论：值不变；的值不变。其中有且仅有一个是正确的，请选择正确的结论证明并求其值。DGFBCEMHA（第18题图）38（8分）如

21、图，ABC的边AB3，AC2，、 分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值是多少？39已知、b、c为的三边，(1)若判断的形状；（2）若 计算的值。40 如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E，某人在河岸PQ的A处测得 CAQ，然后沿河岸走了110米到达B处，测得DBQ，求河流的宽度。41如图，矩形纸片ABCD中，AB8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG10当折痕的另一端F在AB边上时，如图，求EFG的面积；ABFE(B)DCG图（1）图（2）GCDFABE(B)H(A)当折痕

22、的另一端F在AD边上时，如图，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长一、填空1、若三角形的三边之比是7：24：25，则这个三角形是 三角形。2、ABC中，A是B的2倍，C比A+B还大12°，则这个三角形是 三角形。3、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，则斜边上的高是 。4、在RtABC中，C=900，（1）若a=6，b=8，则c= ；（2）若c=13，b=12，则a= ；（3）若a=21，c=28，则b= ；5、小华和小红都从同一点出发，小华向北走了米到点，小红向东走了米到了点，则AB= 米。6、若一块直角三角板，两直角边分别为12cm和5cm，不移动三角板，能画

23、出的线段最长是。7、在RtABC中，ACB=900，CDAB于D，AC=6，AB=10，则BD= 。8、在等腰直角三角形中，斜边长为50cm，则它的面积为 。9、在直角三角形中，三边长分别为5、12，则第三边长为 。10、等腰三角形腰和底边的比是3：2，若底边长为6，则底边上的高为 。11、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，那么鱼池的周长为 米。12、现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成一个直角三角形木架，则所需最短的木棒的长度为 。二、选择题1、下列三角形中，一定是直角三角形的有（ ） A、1个

24、B、2个 C、3个 D、4个有两个内角互余的三角形； 三边长为m2n2、m2+n2（m>n>0）的三角形；三边的比为3：4：5的三角形； 三个内角的比是1：2：3的三角形；2、有长度为9cm，12cm，15cm，36cm，39cm的五根木棒，能搭成（首尾顺次相连）直角三角形的个数为（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个3、若线段a，b，c组成Rt，则它们的比可以为（）A、234 B、346C、51213D、4674、三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.5、一直角三角形的斜边比

25、一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为（ ） A、6 B、8 C、10 D、126、直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积为（ ）A、12cm2 B、10cm2 C、8cm2 D、6cm2 7、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是 （ ）A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上答案都不对三、解答题1、有一边长为4米的水池的池中央，竖着一根竹竿，竹竿高出水面1m，一阵风吹来，竹竿倒向一边，竹竿的顶端恰好靠在池边，顶端与水面相平。求这里的水深是多少米？2、小明要外出旅游，他带的行李箱长，宽，高，一把长的雨伞能否装进这个行李箱？3、如图：有一圆柱

26、，它的高等于，底面直径等于（）在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，求蚂蚁需要爬行的最短路程。4、如图，是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的，若图中大小正方形的面积分别为62.5和4，求直角三角形两直角边的长。CABD5、如图，ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。6、厂门的上方是一个半圆，一辆装满货物的卡车，宽为1.6m，高为2.6m，这辆卡车能否通过厂门（要求卡车的上端与门的距离不小于0.2m）？（图中单位：m）2.327、如图，ABC中，C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若

27、AC=8，MB=2MC，求AC。ACMNBCABD8、如图，在ABC中，CDAB于D，若AB=4，AC=3，BC=2，求BD的长。AB提高训练1、若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高长是_。2、如图是一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为3dm、2dm、2dm，A和B是这个盒子两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着盒子表面面爬到B点最短路程是_dm.3、有一直角三角形，其两边分别为12和16，则该三角形的三条角平分线的交点到斜边的距离是 。ABCD4、已知在ABC中，AD=8，AB=17，AC=10，ADBC，求BC的长。5、如图，在AB

28、C中，CE是AB边上的中线，CDAB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,求DE的长。12、ABC中，AB=15，AC=13，ADBC，且AD=12，求ABC的面积。例2.四边形ABCD中DAB60，BDRt，BC1，CD2求对角线AC的长解：延长BC和AD相交于E，则E30CE2CD4，在RtABE中设AB为x,则AE2x根据勾股定理x2+52=(2x)2, x2=在RtABC中，AC例3.已知ABC中，ABAC，B2A求证：AB2BC2AB×BC证明：作B的平分线交AC于D，则AABD，BDC2ACADBDBC作BMAC于M，则CMDMAB2BC2（BM2AM2）（BM2CM2）

29、AM2CM2（AMCM）（AMCM）AC×ADAB×BC例4.如图已知ABC中，ADBC，ABCDACBD求证：ABAC证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n则c+n=b+m, c-b=m-nADBC，根据勾股定理，得AD2c2-m2=b2-n2c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b)(c+b)(c-b) (m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0c+b>m+n, c-b=0 即c=bABAC例5.已知梯形ABCD中，ABCD，ADBC求证：ACBD证明：作DEAC，DFBC，交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形DEAC，DFBC，AECDBF作DHAB于H，根据勾股定理 AH，FHADBC，ADDFAHFH，EHBHDE，BDDEBD即ACBD例6