5-2力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理

1、力的空间累积力的空间累积效应：效应： 力的功、动能、动能定理力的功、动能、动能定理力矩的空间累积力矩的空间累积效应：效应： 力矩的功、转动动能、动能定理力矩的功、转动动能、动能定理5-3 刚体绕定轴转动的功和能刚体绕定轴转动的功和能ddddttrFsFrFWddMW 21dMW一力矩作功一力矩作功 orvFxtFrdd2 2. 总功：总功： 1 1. 元功元功 反映力矩的空间累积结果。反映力矩的空间累积结果。3. 3. 说明说明: : 恒力矩的功恒力矩的功 MA 合外力的功合外力的功 = 合外力矩的功。合外力矩的功。 合内力矩的功合内力矩的功 = 0 0。 4.力矩的功率力矩的功率MtMtWP

2、dddd比较比较v FP三三、刚体的转动动能、刚体的转动动能刚体分为质元刚体分为质元 ,21immm定轴转动时各质元动能：定轴转动时各质元动能： 222k2121 iiiiirmvmE 2122kk iiiiirmEE 刚体的转动动能刚体的转动动能 = 各质元动能的总和：各质元动能的总和： irim iv 212k JE 刚体的转动动能刚体的转动动能 1. 1. 是刚体上所有质元动能之和。是刚体上所有质元动能之和。 特点特点: : )(2122 iiirm 212 J 2. 因转动而存在，可使刚体反抗阻力矩做功。因转动而存在，可使刚体反抗阻力矩做功。 21222121d21JJMW四刚体绕定轴

3、转动的动能定理四刚体绕定轴转动的动能定理21dMW2111ddddJtJ刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理比较比较 21222121dvvmmrFW由转动定律由转动定律 JM 说明：说明： 1. 1. 定理描述了力矩作用的空间累积效果定理描述了力矩作用的空间累积效果, ,适用于定轴转动的刚体。适用于定轴转动的刚体。2. 2. 定轴转动刚体的机械能定轴转动刚体的机械能 = 势能势能 + + 转动动能。转动动能。221 JmghE （其中（其中 h 为刚体质心到势能零点的垂直高度）为刚体质心到势能零点的垂直高度） 3. 3. 系统系统 ( 刚体刚体+ +质点质点 ) 的动能定理为的动

4、能定理为 4. 4. 系统仅保守力做功系统仅保守力做功 , ,机械能守恒。机械能守恒。 )2121 ()2121 (202022 JmvJmvA 解：（解：（1）开始摆动时，重力矩为：）开始摆动时，重力矩为： ,2mglM 根据转动定律：根据转动定律：lgmlmglJM233122 lm,（2）解法一）解法一 取杆为研究对象，外力矩为重力矩，在任意位置取杆为研究对象，外力矩为重力矩，在任意位置 dcos2dd ,cos2 mglMAmglM 元功元功总功：总功：mglmglA2d cos220 根据动能定律：根据动能定律：2212 JmglA lg3 解法二解法二 取杆取杆+地球为系统，系统满

5、足机械能守恒的条件地球为系统，系统满足机械能守恒的条件 取竖直位置为势能零点，取竖直位置为势能零点，2212 Jmgl lg3 由上式得：由上式得：则有：则有： 0 pE 例题例题 2 : 2 : 在长为在长为l l，质量为，质量为mm的匀质细杆的一端，固定一质量为的匀质细杆的一端，固定一质量为mm的小球，的小球，可绕过杆的另一端的水平轴可绕过杆的另一端的水平轴O O在竖直面内转动，如图所示，若轴处无摩在竖直面内转动，如图所示，若轴处无摩擦，试求擦，试求（1 1）刚体绕轴转动的转动惯量；（）刚体绕轴转动的转动惯量；（2 2）若由水平位置释放，当杆）若由水平位置释放，当杆与竖直方向成与竖直方向成

6、 角时的角速度为多大？此时小球的法向加速度为多大？角时的角速度为多大？此时小球的法向加速度为多大？ Olm,mmgmg解：解： 3122mlmlJ 由转动动能定理由转动动能定理 021)d(sin) 2(22 JmgllmgA得得 , )34(21cos2322 mlmgl cos23 lg 2 lan d 342ml ) cos23 ( 2 lgl cos49 g 例例1 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率面的轴以角速率 作匀速转动放上唱片作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为动设唱片的半

7、径为R，质量为，质量为m，它与转，它与转盘间的摩擦系数为盘间的摩擦系数为 ，求：，求：( (1) )唱片与转盘唱片与转盘间的摩擦力矩；间的摩擦力矩； ( (2) )唱片达到角速度唱片达到角速度 时需时需要多长时间；要多长时间；( (3) )在这段时间内，转盘的驱在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？动力矩做了多少功？RrdrdllrRmgfddd2fdo 解解 ( (1) ) 如图取面如图取面积元积元ds = drdl，该面元，该面元所受的摩擦力为所受的摩擦力为此力对点此力对点o的力矩为的力矩为lrrRmgfrddd2 于是，在宽为于是，在宽为dr的的圆环上，唱片所受的摩圆环上，唱片所受的摩擦力矩为擦力矩为)2(dd2rrrRmgMRmgrrRmgM32d2R022rrRmgd222Rrdrdlfdo ( (3) ) 由由 可得在可得在 0 到到 t 的时间内，转过的角度为的时间内，转过的角度为 ( (2) ) 由转动定律求由转动定律求 ，( (唱片唱片J=mR2/2)RgJM34gRt43gR832（作匀加速转动）（作匀加速转动）2202驱动力矩做的功为驱动力矩做的功为2241mRMW由由 可求得可求得t0 刚体的平衡刚体的平衡在某一时刻，