数学分支巡礼之四：数论

1、.数学分支巡礼之四：数论数学分支巡礼之四人类从学会计数开场就一直和自然数打交道了，后来由于理论的需要，数的概念进一步扩大，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四那么运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进展。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定可以无阻碍地进展。人们在对整数进展运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比方，整数可分为两大类奇数和偶数通常被称为单数、双

2、数等。利用整数的一些根本性质，可以进一步探究许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探究。数论这门学科最初是从研究整数开场的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步开展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。数论的开展简况自古以来，数学家对于整数性质的研究一直非常重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完好统一的学科。自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的阐述，比方求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最根本的问题整除

3、性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的奉献，使数论的根本理论逐步得到完善。在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的根本“材料，要深化研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经非常丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做?算术讨论?，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院回绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这

4、部著作。这部书开场了现代数论的新纪元。在?算术讨论?中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进展了推广，把要研究的问题和意志的方法进展了分类，还引进了新的方法。数论的根本内容数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的开展，研究数论的方法也在不断开展。假如按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比方中国古代有名的“中国剩余定理，就是初等数论中很重要的内容。解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念

5、的根底上建立起来的数学啤檬?治隼唇饩鍪?畚侍馐怯?SPAN lang=EN-US>欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的开展做出过奉献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比方，对于“质数有无限多个这个命题，欧拉给出理解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的假设干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜测问题中也使用的是解析数论的方法。代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。

6、几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人创始和奠基的。几何数论研究的根本对象是“空间格网。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学根底才能深化研究。数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的开展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的开展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。由于近代计算机科学和应用数学的开展，数论得到了广泛的应用。比方在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，

7、如今有些国家应用“孙子定理来进展测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深化的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是如今由于计算机的开展，用离散量的计算去逼近连续量而到达所要求的精度已成为可能。数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠，以鼓励人们去“摘取。下面简要列出几颗“明珠：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜测、圆内整点问题、完全数问题在我国近代，数论也是开展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开场，在解析数论、刁藩都方程、一致分布

8、等方面都有过重要的奉献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的开展。特别是在“筛法和“歌德巴赫猜测方面的研究，已获得世界领先的优秀成绩。“教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书，最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食，先生馔；?国策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生为父兄或有学问、有德

9、行的长辈。其实?国策?中本身就有“先生长者，有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“老师之意，倒是与当今“先生的称呼更接近。看来，“先生之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师为“先生的记载，首见于?礼记?曲礼?，有“从于先生，不越礼而与人言，其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者，与老师、老师之意根本一致。家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读才能进步很快。特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜测的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜测的最好结果。语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对进步学生的程度会大有裨益。如今,不少语文老师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果老师费力,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的为难场面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义