数学论文泰勒公式

1、本科生毕业论文 题 目: 泰勒公式及其应用研究 专业代码: 070101 作者姓名: 范文朝 学 号: 2008200665 单 位: 2008级1班 指导教师: 刘保政 2012年5 月 20 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明。 本人承担本声明的相应责任。 学位论文作者签名: 日期 指 导 教 师 签 名: 日期 目录摘要.Abst

2、ract.1. 引言.12. 泰勒公式的形式. .12.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式. . 1 2.2 具有拉格朗日余项的泰勒公式. 2 2.3 带有积分型余项的泰勒公式. 2 2.4带有柯西型余项的泰勒公式. . .23. 泰勒公式的应用. . . 23.1 利用泰勒公式求不定式的极限. 33.2 利用泰勒公式估算误差. 5 3.3 用泰勒公式判断级数的敛散性. .9数项级数的敛散性判断. . . .9 函数项级数的敛散性判断. . . .103.4 利用泰勒公式证明中值问题. . .123.5 利用泰勒公式证明不等式和等式. . .133.5.1利用泰勒公式证明积分不等式或积分等式. .

3、13利用泰勒公式证明导数不等式. . .15利用泰勒公式证明代数不等式. .16结束语. 19参考文献. 20致谢. 21摘要泰勒公式是数学分析中重要的公式，它的基本思想是用多项式来逼近已知函数,而这个多项式的系数由给定函数的各阶导数确定.阐述了泰勒公式的定义及其各种形式，着重对泰勒公式在极限计算、误差估计、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这五个方面中的应用进行了研究论述.泰勒公式在多方面的应用可以提高我们对泰勒公式的认识,有利于把泰勒公式的研究推向更深处.关键词：泰勒公式; 不定式的极限；误差估计; 级数的敛散性;不等式证明AbstractTaylor formula is a

4、important formula in the mathematical analysis. Its basic idea is that the known function with a polynomial approximation determines the coefficients of the polynomial by the first derivative of the given function. The definition and its various forms of the Taylor formula are elaborated. The applic

5、ations of Taylor formula in five aspects are studied and discussed, such as the limit calculation, error estimation, the judgment of convergence and divergence, median problems, as well as equality and inequality proof. Taylor formula in many applications can improve our understanding of the Taylor

6、formula , and it benefit to push the research of Taylor formula to deeper.Key words：Taylor formula; the infinitive limits; error estimates; convergence and divergence of the series; Proof of Inequality 泰勒公式及其应用研究1. 引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，几个微分中值定理中一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简

7、单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式, 来很好地解决某些问题, 如求某些极限, 确定无穷小的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等.本文共分两部分，第一部分介绍了各种形式的泰勒公式.第二部分研究泰勒公式在各种问题中的具体应用，在该部分着重论述泰勒公式在求极限，误差估计，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这五个方面的具体应用方法.2.泰勒公式的形式2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式若函数在点的某邻域内存在直至n阶导数,则对此邻域内的点x有: .当x=0时的特殊形式：称作带有佩亚诺余项的麦克劳林（Ma

8、claurin）公式.2.2具有拉格朗日余项的泰勒公式 若函数f在a,b上存在直至n阶的连续导函数，在（a,b）内存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x，在a,b中，至少在（a,b）中存在一点，使得当=0时，上式也称为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式.2.3带有积分型余项的泰勒公式若函数f在点的某邻域内存在直至n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x,在和x之间至少存在一个t使得:其中就是泰勒公式的积分型余项.2.4带有柯西型余项的泰勒公式若函数f在点的某邻域内存在直至n+1阶导数,令x,则对该邻域内异于的任意点x有：，. 当=0时，又有=.3.泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求不定式的

9、极限不定式是指呈等形式的极限，一般是用洛比达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单、明了.例1 求极限分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。若使用泰勒公式可以将问题大大简化.解：将、在x=0点的麦克劳林公式展开到项得：， .原式=.用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法。我们知道当 时，等.这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化.例2 求

10、极限（）解：（）=,又,将cos2x用泰勒公式展开：cos2x=.则=.假如细心思考，这一题目的结果可以引起我们的兴趣.当时，易知.两个互为等价无穷小的函数，它们倒数之差的极限为.为什么是？是什么因素造成这一结果？如果是()，情况会怎么样？定理1 当，时，有： (1) 当n=0时，=0； (2) 当n=1时，是关于x的一阶无穷小； (3) 当n=2时，； (4)当n3时，是关于x的（n-2）阶无穷大.证明：(1)是显然成立的，(3)在上题已经证明了，这里只证明(2)、(4).先证明(2)：当n=1时，()=.在这里，利用洛必达法则可以解出这个极限，但用泰勒公式则更方便.因为我们知道： ，即 (

11、)=.在证明(4)：当n3时，= = =(.命题得证.从以上定理可以看到，当时，互为等价无穷小的函数的倒数之差(或更一般的说法，这些函数的乘方之差 )的趋向情况，无穷大或无穷小的阶数以及相关的极限的特点，由函数本身在x=0处的泰勒展开式决定.同时容易推得，在以上结论中“”的条件还可以推广为 “”，这时相关特点将由函数本身在处的泰勒展开式决定. 综上所述，在求不定式极限时，要灵活运用等价无穷小与泰勒公式，并将函数展开至分子分母分别经过化简后系数不为零的阶即可.对于泰勒余项形式的选择，要根据具体题目而定，一般而言极限的计算题应该选择佩亚诺型余项.3.2利用泰勒公式估算误差在问题研究计算过程中，由于

12、物理问题的数学模型化或者可能是由于计算工作者的疏忽，绝大多数的数值计算结果都会有误差，通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差，同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在误差估计中的应用就显得十分突出.下面在具体例子中通过用泰勒公式和matlab方法进行比较，展示泰勒公式计算的方便与精确.例1 设有，将被积函数展开为泰勒级数，并取前六项得： 用代替被积函数时再积分所得的近似值： 0.544977678571且0.94256130<0.5，实际上近似真值时有4位有效数字.，曲线如图所示.在编辑窗口输入如下命令：x=0:0.01:1.5;y1=exp(x.2);y2=1+x.2+0.5*x.4+1/

13、6*x.6;Plot(x, y1, x, y2);Legend (exp (x. 2)','1+x.2+0.5*x.4+1/6*x.6');grid 图1 有限代替无限所产生的误差图由图可知，泰勒公式在误差估计中所产生截断误差非常小.下例通过用泰勒公式求得的数值与实际数值之间的误差界，可知泰勒公式在误差计算中的精确度较高.例2 估计近似公式 的绝对误差.解 设,则因为 所以带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为： 从而： . 泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶导数相联系起来.例3 设函数在(0,2)上存在二阶导数,并且当x0,2

14、时,有1 ,证明：, .证明 对,由泰勒公式, 将在展开为： 将在展开为： 两式相减得 从而有 所以 .有了函数的幂级数展开式，就可用它来进行近似计算，即在展开式有效的区间上，函数值可以近似地利用这个技术按精确度要求计算出来的.例4 求的近似值解 令 ,则 所以 从而由泰勒展开式1+ 故 从而 = 误差 3.3 用泰勒公式判断级数的敛散性数项级数的敛散性判断当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的复杂形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便利用敛判准则.例1 讨论级数的敛散性.解：，取有<，所以<，且->0,故该级数是正项级数。因为=>= 所以-<

15、-()=.因为收敛，由正项级数比较判别法知原级数收敛，该题利用泰勒公式后还结合运用了放缩等技巧，在进行放缩时，要注意度。一般根据题中要求证得结论而定，这是运用比较判别法常用的技巧. 例2 讨论级数的敛散性.解：由比较判别法可知：若，则正项级数和同时收敛和发散。为了选取中的P值，可以应用泰勒公式研究通项的阶. ，所以. 因为收敛，所以收敛. 函数项级数的敛散性判断例3 设在点的某一领域内具有二阶连续导数，且.证明级数绝对收敛.分析：由条件中“在点的某一领域内具有二阶连续导数”这一信息可提示使用泰勒公式，又由条件易推得：，这将使在点的泰勒展开式更加简单，便于利用比较判别法判敛.解：由及在点的某一领

16、域内具有二阶连续导数，可知,将在点的某领域内展开成一阶泰勒公式： .又由题设在属于某领域内含点的一个小闭区间连续，因此存在，使，于是，令，则.因为收敛，故绝对收敛. 注1 若无条件“在点的某一领域内具有二阶连续导数”，则结论不成立。反例：。所以在用泰勒公式展开时，必须先确定在点的某个领取内是否有连续导数，并且注意它的阶.注2 若条件“在点的某一领域内具有二阶连续导数”，改为“在点的某一领域内二阶导数有界”，结论照样成立.例4 设在上三阶连续可微，试证明以下级数收敛。.证明：由已知存在使，.将，在点泰勒展开，则：，；，；故有. 因为是收敛的，所以原级数也收敛，且是绝对收敛.3.4 利用泰勒公式证

17、明中值问题若欲证的结论是至少存在一点c,使得关于a ,b ,f(a)，f(b),c ,f(c), 代数式的证明.可以考虑使用辅助函数法，然后验证辅助函数满足罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明，下面通过例题来说明一下.例1 设在上三次可导，试证：，使得：（1）证明：设k为使下式成立的实数：（2） 此时，问题归为证明：，使得.（3） 则.根据罗尔定理，使得.由（3）式，即：（4）这是关于k的方程，注意到在点处的泰勒公式：,（5）由（4）、（5）两式可得：，则，命题得证.解这种题最重要的就是辅助函数的确定，例题9使用的就是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用

18、观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x即为所需的辅助函数.如果题中出现积分表达式，则可以直接将被积函数设为辅助函数.例如设f(x)在0,1连续，在（0,1）可导且满足，证明至少存在一点c,使得.证明：只要设辅助函数为，即可以解出此题.3.5 利用泰勒公式证明不等式和等式 利用泰勒公式证明积分不等式或积分等式泰勒公式在定积分不等式方面应用的关键在于确定在哪一点将函数展开，其次将函数展开到第几项为止.例1 设在上单调增加，且，证明.分析：（1）因为不等式右边出现了与，提示我们选择，分别展开.（2）已知，所以最多只能展开到含二阶导数为止.证明：

19、对，在点处的泰勒展开式为：，.因为，所以.令，则，.则.对上式两边同时在积分得：得 .故，命题得证.由上例可知，当已知被积函数二阶或二阶以上可导，而且已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式证明定积分不等式往往比较有效，一般先直接写出的泰勒展开式（有时根据题意对展开式进行放缩），然后两边积分证得结果.例2 设在上有连续的二阶导数，且，试证，.分析：由题中条件“在上有连续的二阶导数”，我们可以考虑用泰勒公式来解题，由于题中要证的等式右边具有。可以考虑将函数展开为二阶泰勒公式。题中已知，我们可在x点作泰勒展开，然后分别令，这样既可使展开式得以简化，又可引出，有利于问题的证明.证明：，设，则，把在处展开二

20、阶泰勒公式、,。 分别令，并将所得两式相减： 设，.则.因为在上连续，由介值定理可知存在，使得：.于是，因此，.由上可知，当已知被积函数具有二阶或二阶以上连续导数时，证明定积分等式，一般先作辅助函数，在将在所需点（一般是根据右边表达式确定站开点）进行泰勒展开，然后对泰勒余项作适当处理（一般用介值定理）.利用泰勒公式证明导数不等式例3 设函数在上二次可微，且，试证存在一点，使.分析：在上二次可微，且最小值，所以在内一定有极值点，该点的导数为0，题中可知二次可微，从这点我们可以想到使用泰勒公式，而要证明的结论中右边是一个常数，故选在最小值点处泰勒展开.解：不妨设为在上的最小值点，则，在处的泰勒公式

21、： ，是介于与之间的某个值.当时，即.当时，即.所以，当时，. 当时，.综上所述，存在一点，使.利用泰勒公式证明代数不等式要点一：若我们设在上有连续n阶导数，且，我们可以得=>0利用此要点，可以证明一些不等式.例4 求证，.证明：原不等式等价为.因为， . 而.原式获证.要点二：应用泰勒公式可得：可得如下一般性结果：(1) 时，对有.(2) 时， 对有. 例5 设，证明不等式.分析：这题我们可以使用要点二的结论来证，首先将不等式化简，方便我们得出解题思路。其次，我们要构造函数，利用泰勒公式展开式解题.证明：等价为： ， 令，.则只需证明而， ， .应用泰勒公式可知，存在使 ，进而当时，

22、=>. 即（1）得证.对于（2），因为，所以，即（2）得证.对于代数不等式的证明，可以将不等式转化成不等式组，再构造合适的函数，利用泰勒公式展开求解.这时要记住灵活运用要点(2)中的结论，将会使解题过程大大简化.结束语泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，它的学习对于培养学生的数学能力具有重要的作用，为许多后续课程打下了基础，也为各种问题提供了简便方法.它不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用.通过本文对极限计算、误差的估计、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这五个方面的论

23、述，我们可以了解到高阶（二阶及二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一.只要题中条件给出函数二阶及二阶以上可导，不妨先把函数在指定点展成泰勒公式再说，一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式，然后根据题设条件恰当选择展开点（展开点未必一定是具体数值点，有时以x为佳）.从上面可以看到泰勒公式为一些问题提供了更为简便有效的方法.系统研究泰勒公式的应用，对于培养学生学习兴趣.巩固基础知识，锻炼和提高能力无疑是非常有益的.参考文献1华东师范大学数学系编.数学分析M.第3版.北京：高等教育出版社，2001（2006重印）.2唐清干.泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用J.桂林电子工业学院学报, 2002, 22(3),44-46.3黄宗文,简灵锋.泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用J.玉林师范学院学报, 2001, 22(3),2123 4裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.第2版.北京：高等教育出版社，2006,4(2009重印)5李庆扬,王能超,易大义.数值分析M.武汉:华中科技大学出版社, 2006.6朱永生,刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题J.长春师范学院学报，2OO6,25(4),30-327刘云,王阳,崔春红.浅谈泰勒公式的