趣味数学题目

1、游戏学数学：五个王后的游戏五个王后的游戏这是两人玩的游戏。在棋盘上随意摆几个王后，例如图中有5个王后。两人轮流移动王后。移动的方式如下：(1)取走王后。(2)以下列方式移动王后，步数不限。向下移动；向左移动；沿对角线向左下方移动。如果移动后，两个王后位于同一方格，则两者都会被取走。取走最后一个王后的人赢。解答与分析这个游戏在有限的移动步数之后一定会结束，因为王后不能倒退，而且每次移动之后活动的空间就更小。这不是个容易分析的游戏。这个游戏也可以改成最后取走王后的人输。一位农夫和他的朋友合买了一桶8加仑装的苹果酒(1加仑=4.5461升)。他们想平分这些苹果酒，但却只有一个5加仑和一个3加仑的容器

2、。他们该如何平分？解答与分析将3个容器依其容量简记为8、5、3。由8倒满5。由5倒满3，5中还留有2加仑酒。将3倒入8。由5倒2加仑酒入3。由8倒满5。由5倒入3，直到3满，此时5中还留有4加仑酒。将3倒入8，这样8中也有4加仑酒。一座现代化的大都市建有环形的道路网和连接道路的系统，如图所示。在每一条道路的交叉口，汽油公司都设有一个加油站。运送汽油的证明请证明油罐车的司机在离开贮油库之后，可以沿路到每一个加油站运送汽油，而不重复经过任何一个加油站再回到贮油库。一只青蛙在找水喝时不慎落入30尺深的井里。它为了爬出水井，每天白天奋力往上爬3尺，但是到了晚上却会向下滑落2尺。几天之后这只青蛙才能爬出

3、这口井？解答青蛙需要28天才能爬出井口。将8枚硬币排成如图所示的正方形，每边3枚硬币。试移动4枚硬币，使它变成一个每边有4枚硬币的正方形。关于硬币的魔术解答与分析把每一边中间的硬币依序放在位于角落的硬币上，这样就可以得到一个正方形，在它的4个顶点上各有两枚叠在一起的硬币，因此每边有4枚硬币。知道答案就觉得很简单！我们通常都可以从二维的图画中看出所要表现的三维物体，识图与绘图的训练，可以培养我们的空间观念。然而，就像这里所示的一些图画，二维的图画也可以在视觉上创造出不可能的事物。在第一张图中，到底是2根还是3根木栓？阶梯是否可以自己相连？你是否能用3根木条做出图上的三角形？关于视觉的认知，可能心

4、理学家要比数学家研究得更多一些，但数学家也经常使用二维图形作为思考空间问题的参考，因此必须对二维图形的缺点有所了解。荷兰艺术家埃舍尔(M.C.Escher)在绘画上运用视错觉的原理，创造出许多不可能的世界。你可以参阅埃舍尔绘画作品(The Graphic Work of M.C.Escher)一书中的一些图画。注意并收集那些会欺骗你眼睛的图画。三维立体问题这组简单的吊饰，从某个角度来看，像是平行四边形，能在微风吹拂时轻轻摇晃(图1)。它是由4根吸管(越长越好)组合而成，只要吸管经过仔细的“配重”，当吊饰以各种不同构形摆动时，吸管仍能保持水平，看起来就像是能抗拒地心引力一般。用细针在吸管两端1/

5、5处穿孔，再用细的棉线或钓鱼线把这些吸管依次串起，吸管的排列方式如图2所示。在w和X位置的棉线越短越好，只要吸管不互相接触就可以。再调整Y和Z位置的棉线，使各吸管放在平面上时彼此保持平行。由最上方的一根吸管的中心点吊起整组吊饰。如果没有经过配重，吊饰看起来会死气沉沉地垂挂着。然而，只要经过几次细心的试验，我们就可以在中间两根吸管最接近上面吸管的一端(如图中的黑色部分)，塞入适当的重物以平衡整组吊饰，使得每一根吸管在空中都保持水平。可以使用钉子来配重，将钉子塞入吸管内并用大头针将它们固定。当快要达到平衡时，用增加或减少大头针数目的方法完成平衡。为了唬住你的朋友，在每一根吸管的末端都插上一些大头针

6、，如此一来，别人就看不出你是如何抗拒地心引力的了！解答与分析制作这种吊饰是很有价值的活动，它可以使我们了解平行四边形与交叉四边形的关联，同时也能通过“配重”的过程了解力矩的概念。此外，当完成吊饰后，将它吊起来欣赏也是一件愉快的事。这是一个两人玩的游戏，目的是练习估算答案的能力。由一人(击球手)出计算题，另一人(投手)估算答案，然后再计算出正确答案与估计值的差。这个差就是击球手的得分。在游戏进行之前应该视两人的能力规定适当的出题方式，使正确答案与估计值的差不会太离谱。例如，可以限制题目为两位数的相乘。在一局游戏中击球手出11道计算题，投手则尽可能估计出正确答案以减少击球手的分数。一局结束后，两人

7、互换角色，累积得分最高者获胜。可以将题目和估计值整理如下，以便计算分数。题目 估计值 正确答案 得分23×47 1000 10818138×57 2200 21663471×29 2100 20594186×94 8100 808416刚开始得分可能会是天文数字！但是随着估算技巧的进步，得分会逐渐降低，这也就是这个游戏所要引导产生的结果。这个游戏很有趣，现在就开始玩吧！算术板球游戏解答与分析经验证明，这个游戏能得到不同程度参与者的喜爱。在英国和澳大利亚，这种测验比赛正逐渐流行。这个游戏不但能提高投手的估算能力，对培养击球手的估算能力也有帮助，因为他必须设

8、计出他认为难以估算的算式，而且在游戏过程中他也会自行估算。这个游戏还可以有另一种玩法。将所有算式写在一叠卡片上，击球手轮流从其中抽出11张卡片。可以依照参赛者的不同程度做出难易不同的卡片，这样程度较低的人也可以和程度较高的人比赛，而且还有机会获胜呢！此外，也可以让两人或更多的人同时对某一个算式进行估算，累积误差最小的人获胜。坐困愁城    在市中心一个小型地下停车场里，车子像沙丁鱼一样挤在一起。由于车子停得太靠近了，所以只能向前或向后移动。图中1号车的车主急着要开出停车场，请你协助停车场的管理员，以车辆移动次数最少的方式，使1号车离开它所陷入的车阵。解题时可以利用

9、骨牌作为视觉上的辅助工具。解答与分析把车宽定为1，车长定为2，英文字母L、R、U、D分别代表往左、右、上、下移动。那么经下列移动后，1号车就可以脱离车阵了：3(L1)、4(U1)、5(R2)、11(U2)、6(U1)、7(U2)、12(L4)、8(L1)、13(U1)、10(R1)、1(D6)。解题关键是要看出10号车必须往右移动，这只有在13号车往上移动后才能做到，而这又必须先将12号车往左移动，以此类推。尝试设计类似的题目。图11982年，有一种称为“辛赛的奥妙”(Shinsei Mystery)的数学玩具上市，它是由两个相同的部分组成的，每一部分又是由8个互相连接的多面体构成。它可以组合

10、成许多奇妙的形状，其中包括立方体和12个顶点的星状体。这个模型的基础是半个立方体(如图1)，可以把它看成是3个角锥体(6个这样的角锥体构成立方体)，向内折使其顶点会合于立方体的中心。这个半立方体的展开图见图2。展开图中有一个三角形的面出现两次，可以粘合在一起，以增加强度。“辛赛的奥妙”每一半都有8个这样的半立方体，彼此以巧妙的方式连接在一起。它可以叠成如图3所示有12个顶点的星状体。为了说明连接的方法，我们可以把星状体水平分成两半，再把相同的两半并排在一起，用比较平面的方式表现。图4图4是由上方俯视的示意图，A、B、C对应于立方体展开图(图2)的标示。将8个半立方体的底面DEF按图所示置于平面

11、上，并用胶带纸粘贴。现在你也拥有一个奇妙的模型了，任何把玩它的人都会觉得趣味盎然。用不同颜色的纸板再做一个相同的模型，你会发现它们可以组合在一起，而且可以使其中一个消失在另一个之中。这是由西蒙斯(Gustavus Simmons)所设计的两个人玩的简单游戏(因此而命名)。游戏首先由圆内六边形的顶点A，B，C，D，E，F开始，玩的人轮流使用不同颜色的笔以直线连接任意两个顶点。总共只有15条可能的直线，所以这个游戏必定可在有限的时间内结束。游戏的规则是要避免所连的直线(相同颜色者)形成三角形，否则就输了。在两种不同颜色的笔把15条线都画完之前，必定会形成一个同颜色的三角形，所以一定能分出胜负。图1

12、图示为一场比赛的结果，图中的数字表示画线的顺序，实线为某甲所画的直线，虚线则为某乙画的直线。如图，现在轮到乙画线，而且只剩下两条直线可画，若连接DF会形成三角形DAF，而连接FE则形成另一三角形EAF，所以这一局乙是输定了。 图2 将一枚10元硬币及一枚20元硬币投入邮票销售机，它就会吐出一联面值共30元的邮票。为了更加便民，邮局决定举办一项竞赛，参赛者必须设计出一联不同面值的邮票，使之能组合出1到30元内任意数额的邮资。一年后比赛截止，有两位参赛者获奖：一位是艾娜小姐，另一位是梅尔先生。艾娜小姐所设计的一联邮票只需5张，就可达到上述要求，她的设计已为邮局所采用。这5张邮票

13、的面值各为多少？然而梅尔先生的方法只需用单一面值的一张邮票或面值连续的几张邮票，就可以组合出1到30元的各种邮资。当然其中一种方法就是用30张一元邮票，但是还有更好的方法。欲达到此项目所需要的邮票数目最少为几张？面值各为多少？给定5、8及12这3个数字，每一行、列或对角线的总和等于中间数字的3倍。由图中看出此魔方阵只有唯一的解。现在请你找出包含数字5、8及12的所有3×3的魔方阵。图1解答与分析共有57个不同的解，其中不包括对称或旋转的解。要将这些解找出来必须作有系统的搜寻。例如，考虑5在中间时各行、列、对角线的总和，也就是“魔术数字”等于15的所有解。图2共有6组解符合此条件，该类

14、解很容易求得，只需应用各行、各列及对角线的总和等于15的事实，将各个空格填起来即可。将8或12放在中央可得到其他类似解。有趣的是，当5、8及12这3个数字在同一对角线上时竟然无解。因为5+8+12=25，不等于5、8或12任一数的3倍。兹将所有可能的解简述如下表：图1一名纸盒制造商要求设计师设计一种适当的纸板，使得该纸板折叠以后可隔成两个立方体，且这两个正方体上方各有一个盖子。有很多种设计可符合此要求，但是最后制造商决定采用如上图所示的“十”字形纸板。根据设计师的说法，只要将纸板裁两刀，就可折叠出所需要的盒子，到底该从何着手？解答与分析顺着图中的粗线将纸盒剪开，再沿着虚线处将A与B两块粘合，形

15、成盒子的中央分隔部位，并使两片盖子可以以此为底轴任意开关。接下来便可很轻易地折出题目所要求的盒子。解题的关键在于两片盖子的底轴位于同一处。当这个关键问题解决之后，要找出符合要求的设计并不难。在大部分的设计中，此答案是最理想的。图2有一名学生在研究三角形的时候，发现一件令她非常惊讶的事情。她找到了3个面积及边长数为整数的三角形，而且这3个三角形的面积都是84平方单位。你有办法找出这3个三角形吗？解答与分析三角形的特殊属性第1个三角形为直角三角形，其他的三角形可由两个边长为整数的直角三角形接合而得到。事实上，任何三边为下列形式：      

16、;                m2- n2，2mn和 m2 n2其中m，n为整数，且mn的三角形皆为一直角三角形。为3个面积均为84平方单位的三角形。在一次分数化简的课堂上，珍妮发现分数26/65的分子和分母的6正好可以用一斜线消去，如：你还知道有哪些形式为ab/bc的数字可以直接消掉b而化简为a/c吗？此题不考虑abc的情况。解答一般我们所看到的月历的设计是按一周有7天而分成7列来排列日期。依据月历的格式我们可以发展出多种非常有趣的游戏。请

17、你的朋友将某一列中任意3个相连的数字相加，你只要知道总数就能得知该3个数目所指示的日期。例如相加后的总数为45，则位于这3数中间的数字必为45的1/3(也就是15)，且其余的两个日期为该数各加减7，也就是8及22。请问当总和为57时，该3个数所指示的日期分别为几号？如果给你一列中5个日期的总和，那么你该如何找出是哪5个日期呢？在月历中的某一列，其5个日期的总和为85，是哪一列呢？你并不需要将每列的总和都算出来。当你仔细观察月历时，将会发现不论是哪一年的哪一个月份，会出现在同一列中的日期总是固定的那几个。比如说18位于11的下面，而25总是在18之下。为什么以6为开头的那一列不可能拥有5个数字呢

18、？如果已知一列中相连的4个数字的总和，你可以设计出一种方法将该4个日期找出来吗？在月历中框出一个2×2或者是3×3的方阵，各个数字及其总和之间的关系很容易就可以建立起来。例如对于一个2×2的方阵，其总和总是等于4×(最小的日期+4)此现象可用在下列两种情况：(1)别人告诉你总和，请你将该4个日期都说出来。(2)别人告诉你最小的日期，然后问你总和是多少。其实道理非常简单，只要假设最小的日期为D，则4个日期分别为所以总和TD(D1)(D7)(D8)4D164(D4)如果总和T已知，只要将T除以4，便得到D4，然后再将(D4)减去4即得到D。 将4枚

19、硬币放在一块5×5的方格纸上，使得这4枚硬币正好形成一个正方形的4个顶点，这并不困难。下图是众多方法中的两种方法，你知道一共有几种方法吗？现在将硬币放入方格内，其中任意4枚硬币不得同时落在一个正方形的四个顶点上，在此条件下最多可放入几枚硬币？本题可以当做一种适合2个人或3个人玩的游戏。参赛者轮流将硬币放到方格内，如果放入的硬币与方格上的其他3枚硬币形成一个正方形时，这人即被淘汰出局。放进最后一枚硬币而没有形成正方形的人便是赢家。图1解答与分析共有50种方法(见下图)，你漏掉了几种？最多可同时放入15枚硬币，其中没有任何4枚硬币落在同一正方形的4个顶点。上图右下角这幅图为符合此一条件的

20、一组解，但这不是唯一的解。图2图3图4 图中所看到图形是将1、25、37及28放在正方形的4个顶点上，将正方形每一边的中点连接起来可得到一个较小的正方形，这个新的正方形的顶点又被赋予另一个数，该数为两侧数字的差(比如说372512，37289)。然后依此模式，重复上述步骤画出新的正方形，直到出现4个顶点的数字都相同为止，在本例中为6。试问在此限制之下最多能画出的正方形？解答与分析当第一个正方形中的最小数与最大数位于对角时，只要重复5次以内就可以达到目的，但只要能避免这种情况就可画出更多的正方形。下面的解是一个中学女生所发现的答案。开始 0 2 6 13第一次差值 2 4 7 13第二

21、次差值 2 3 6 11第三次差值 1 3 5 9第四次差值 2 2 4 8第五次差值 0 2 4 6第六次差值 2 2 2 6第七次差值 0 0 4 4第八次差值 0 4 0 4第九次差值 4 4 4 4这就是能画出最多正方形的情况。汤姆、狄克及亨利一起参加田径比赛，在每一项比赛中只有前3名才获得点数。所有比赛结束时汤姆共得到22点，狄克及亨利皆得到9点，其他的参赛者没有得到任何点数。已知狄克在标枪项目中得到第1名。请问谁在百米竞赛中得到第2名？解答与分析起初你会以为题目中所给的资料不够，但是因为总点数为40点，我们可做出下列合理的假设：(1)每一项比赛所分配的点数皆相同。(2)第1、第2、

22、第3名所得的点数皆不同。然后考虑下列情形：若共有5项比赛，则前3名得分为(4，3，1)或(5，2，1)；若共有4项比赛，则前3名得分为(5，3，2)或(6，3，1)或(7，2，1)。如此，方可使得总点数为40点。只有下列一种情形符合题目的要求：所以亨利除了标枪得了第3名之外，在其他各项比赛中皆得到第2。图为著名的金奖杯赛车路径。每当车子绕过弯道时，外侧的轮子比内侧的轮子多走了一段路。如果车子内外轮之间的距离为2m，请问当车子绕过整个回路之后外侧轮子比内侧轮子多走了几米？解答与分析两轮所走的距离差等于半径为R及r的两圆圆周长之差：2R-2r2(R r)所以当车子绕过整个回路一圈后，外侧轮子比内侧

23、轮子多走4米。实际上不需要考虑每个转弯处半径的大小(因为轮距固定)，且大部分的左转弯与右转弯多将抵销，最后的结果与行经一简单封闭曲线的情形相同。有多种方法可将数字 1、2、3、9填进图中的圆圈中，使得三边的和皆相等。若要求不仅三边的和必须相等，且每边数字的平方和也要相等，该如何安排这些数字呢？解答与分析51+ 68273+ 82+ 94520521262822272328222924252126有些游戏表面上看似乎不一样，但实际的结构却相同。下面这两种两人玩的游戏即为一例。(1)从纸牌中抽出方块A及从2至9这9张牌。将这9张牌正面朝上放在桌上。A当作1，玩的人轮流取一张牌。手上3张牌的点数之和

24、最先达到15的人赢。(2)将下列9个英文单词写在不同的卡片上，再把它们正面朝上放在桌上。两人轮流各抽1张卡片，最先使手上的3张卡片具有一个共同的字母的人赢。解答与分析这两种游戏的结构相同。1到9这9张卡片中的3张之和为15的情形和魔方阵中的任一行、列或对角线的数字总和为15的情况一样。第2个游戏中所选择的9个单词可排成如上所示的3×3阵列。同一列、行或对角线的3个单词均出现一个共同的字母。右图是由12根火柴排列成的六边形轮子，形成6个等边三角形。现在请你试着移动其中的4根火柴，将原来的图形变为3个等边三角形。解答与分析解答如图所示。此题须注意的是题目中并没有要求移动后必须形成相同大小

25、的等边三角形。凤凰城由于常常发生火灾而声名狼藉。为了洗刷恶名，市议会通过一项提案，决定在下图中的9个地点设置消防栓。为了确保能提供充分的水压，决定加设一套管路连接这9个消防栓。由于埋设管路所需经费庞大，因此市议会决定向外界公开征求管路总长度最短的设计。受到建筑物的影响，管路必须沿着上图中所示的街道铺设。图中每一条线的长度的单位是m。你会如何设计？解答与分析管路的最短长度是 520 m。将ABHGIEF连接起来，再接上CI及DI两管路。在大使馆的晚宴中，共有80名各国大使出席。在宴会结束之前，每一名出席的大使均已相互介绍、问候，并和其他在场的所有大使握过手。你能算出在这次盛会中一共握了几次手吗？

26、解答与分析每一名大使必须和其余79名大使握手。一共有80名大使，但是每一次握手包含两个人，所以全部握手的总数为(80 × 79)÷ 2 3 160次握手将一个圆分割成四等分的方法有很多种，下面显示出其中两种方法。你能想到其他的方法吗？现在试着在A、B两点之间画出3条等长的曲线，这3条线将圆四等分而且各线之间互不相交。解答与分析图1为将圆分割成四等分的另外两种方法。按原来圆直径的3/4、1/2及1/4所画出的半圆弧加以接合成3条等长度的曲线，如图2所示。这3条曲线可将圆四等分，且各线之间互不相交。为迎接圣诞节的到来，伦敦一家商店决定将各类礼品装入不同的盒子里，盒子的平面图如图

27、1所示(大小皆等5个单位正方形)。要将任意5个盒子装入一个底面积为5×5的大篮子内，右图的大正方形即为篮子的平面图。下一页图示了12种盒子的形状以及盒内的礼品。露西及菲利浦的父母为他们各买了一篮礼物。已知在露西的篮子内有一个时钟，露西和菲利浦的礼物中没有任何一样重复，每个大篮子中的5个盒子皆不相同。试问两人各得到了什么礼物？ 解答与分析两个大篮子内的礼品如下：菲利浦：外套、照相机、小火车、书及钓鱼竿。露西：凳子、时钟、曲棍球棒、鞋子及脚踏车。变形虫的移动方式是利用本身外形的改变来行动。上面每一个图形阴影部分的面积都相同，图1到图4间的变化遵循着一个简单的规则，请你试着把该项

28、规则找出来，并推测出下两个图样。依照这样的变化下去有可能恢复到原图的图样吗？试着根据第2组变形虫图形的变化，找出其中变化的规则，并依此规律演化出其他的图形。试着自己设计出规则，以变化出不同的图样解答与分析在第1组中每一图形(阴影部分)均由5个方块组成，在每一次的变动中会有两个方块固定不动，另外3个方块A、B及C则以固定的两个方块为中心依逆时针方向移动一格。接下去的两个图形(图5及图6)如下图所示。仔细观察各图中A、B及C的变动情形，可以推测出在第10次变动之后可恢复到原来的图样。也就是说第11图会与第1图相同。在第2组变形虫图样中，每次变动时，一方块固定不动，正方形A和B、矩形C沿着固定方块依

29、逆针方向转动。其中正方形A及B绕固定方块经过8次移动正好环绕一周。如果没有受到任何阻碍的话，该矩形需要经过10次移动才能绕固定方块一周。可是实际的情况并非如此。有时C移动时A和B并没有移动，例如当C从图3变到图4的位置时，A和B固定不动。试着想想看，需要经过几个步骤之后才能回到原来的图形？这是两个人玩的数字游戏，只需要具备简单的加法能力就可以开始了。第一个人首先喊出一个介于1到10之间的数字，接着第2个人再将这个数字加上一个介于1到10之间的数字。依照这种方法，双方轮流将原数累加上一个1到10之间的数字，最先喊到100的人获胜。你有办法设计出一种必胜的策略吗？解答与分析要设计一种先喊到100的

30、必胜策略，你必须先喊出89，使你的对手无法喊到100。接下来则要考虑如何避免让你的对手先喊到89。假设你由89再往前推11，则可得到数字78，和前面相同，先喊到78的人就可确定能喊到89。你又该如何确定能喊到78呢？用同样的方法，再往前推11得67再往前推11得56等。因此可以得到一序列1，12，23，34，45，56，67，78，89只要你的对手所喊出的数字不在这组序列内，你必定可以加上一个110的数使之成为这组序列中的某一数字，接着依照这一序列添加数字直到100为止。如果你的对手也不知道这一方法，则你应该会有很大的把握取胜。试找出图A、B、C、D、E及F可代表的数字，使得各个部分或相连的数

31、个部分的数字相加可组成1到25以内所有的数字。是否可以用这种方法组合出更大范围以内的数字？解答与分析图1所示为组成1到25内所有数字的一种方法，但这并非所有可能组合出的最大数字范围。当分别为2、3、4及5 个部分时解答如图2。 上列解会令我们想用外延法得到最大范围的解，也就是我们会认为当部分的总数大于或等于4时，各部分中的数字分别为可组合出的最大数字范围的解。但实际上并非如此，比如说在6个部分的情况下，当各个部分的数字分别为1、2、5、9、6、4时，则可组成1到27内的所有数字。在一个地区性的越野赛马中，只有4匹马参赛。由庄家定出的赌马规则如下：赚赔率5对2表示每2块赌金中，如果这匹

32、马赢的话，下注者赢5块且能取回2块赌金。你该如何下注，使得不管比赛结果如何都可赢10块钱。解答与分析需赌金95元，抽法如下：35元押1号马，因为赚赔率2对1，所以如果它赢的话，你将可以拿到105元。30元押2号马，因为赚赔率5对2，所以如果它赢的话，你也可以拿到105元。3号马及4号马各押15元，因为赚赔率6对1，所以如果任何一匹马赢的话你都可以拿到105元。所以在上述下注方法中，无论那一匹马赢都可以确定能赚到10块钱。在现实生活中，赚与赔的机会很少平衡，所以可以先求出所有赚赔率加1的倒数的和(此时赚赔率若为m对n则先化简为m/n对1的形式)，如果总数小于1，那你才真有可能会赢。现在讨论本题中的情况：赚赔率2对1等于1/(21)1/3；赚赔率5对2等于2.5对1，就等于1/3.52/7；赚赔率6对1就等于1/7所以赚赔率的倒数和等于从上式可看出每下注19元可以净赚2元，即7元押1号马，6元押2号马，3号马及4号马各押3元。入夜，一个突如其来的电话使得商人必须立刻出城办事。为了不影响太太睡觉，商人只好在黑暗中摸索着收拾行李。由于商人一向是个有条不紊的人，所以他很清楚地记得抽屉里面有10只黑色袜子及14只棕色袜子。请问该名商人必须从抽屉中拿出几只袜子，才可