在问题解决中学习数学

1、在问题解决中学习数学高二第一学期等比数列前n项和教学设计人物介绍 李英，上海市宜川中学副校长，上海市数学特级教师，先后荣获上海市园丁奖、普陀区师德标兵等荣誉称号。他在教学实践中形成了“整体把握，回归本原”的教学风格，倡导从整体上把握、理解所学知识，让学生“见了树木更要见森林”、“看到数学建造过程的脚手架，而不是简单的现成品”，在学习知识的同时，受到理性精神的熏陶，体验生命成长的快乐。【前端分析】课程标准对“等比数列前n项和”的学习要求是“探索并掌握”，属探究性理解水平，即在明了知识来龙去脉的基础上，能把握知识的本质及其内容。我所执教的班级是我校创新实验班，学生的数学基础与能力相对较好。“等比数

2、列的前n项和”处于整个数列单元的中观位置，学生已有数列的概念、等差数列的前n项和、等比数列的定义等知识与经验，基于学生已有的认知基础，通过创设问题情境，让学生在探究中经历知识的“再创造”过程，帮助学生实现思维的跨越，在问题解决过程中发展理性思维。【问题提出】 随着互联网的飞速发展，知识和技能变得易取易存，数学知识与技能本身已不是学习过程中最为重要的教育内容，在未来多变的环境中，获取新的知识以及应用它们解决问题的能力，已被认为是未来公民必备的重要能力。全国课标修订组组长首都师大王尚志教授在基于数学核心素养的教学要点一文中指出，“让学生在问题解决过程中学习数学。数学的概念、定理、应用等都是在发现、

3、提出、分析与解决问题的过程中产生的，让学生身临问题环境，尽量感悟提出、解决问题的真实过程是提升数学学科核心素养的有效路径。”核心素养统领下的数学教学必然是超越知识与技能的，如果局限在以错位相减法推导等比数列的前n项和，学习目标的指向较难超越知识与技能，学生可能失去了一次难得的在问题解决过程中学习数学的绝佳机会。基于单元设计，引导学生从已有的知识和经验出发，多视角探究问题解决的路径，自然、顺畅地生成“等比数列的前n项和公式”，进一步完善知识结构，体验高层次思维，学会数学地思考，从而实现数学育人的目标。【教学设计】（一）问题提出问题引入（课本）古印度国王奖赏国际象棋的发明者，发明者要的奖赏是，“请

4、在8行8列的国际象棋棋盘的第1个格子放1棵麦粒，在第2个格子放2棵麦粒，在第3个格子放4棵麦粒，依此类推，直到放完64个格子为止”问这位发明者要了多少棵麦粒问题归结为求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和：问题提出（问题一般化）已知等比数列，求其前n项和：形式特征（1）分析等差数列的前项和两个公式：的共性与差异；（2）猜测等比数列前n项和公式的形式特征设计意图：借助等差数列前n项和公式，探求“等比数列前n项和”的形式特征：（共性）前n项和与项数n有关；（差异）前n项和要么用基本量（首项、公比）表达，要么用首项和末项表达，实质是化n 项为几项（这里是两项），体现了简约思想对问题结果形式特征

5、的分析，可以为问题解决指明方向（二）问题解决【视角一】 作为求知量的思路一 解方程已有认知 一般数列的前n项和满足：路径分析 已知方程中，末项可以出现在结果，视为已知量，若能得到关于求知量的另一个等式，按方程思想，问题可解由形式特征知，结果中还应该有首项，于是寻找的等量关系成为解决问题的关键所在问题解决一 由时，且结合等比数列的定义，发现，即 由方程联立，解对也成立 即当时， 完善公式，当时，设计意图：从一般数列前n项和满足入手，将前n项和看作是未知量，通过寻找另一方程，利用解方程组成功解决了问题这里发现另一外等量关系有赖于直觉的引领，而直觉的源头在于类比等差数列前n项和公式的形式特征，猜想了

6、等比数列前n项和公式应具有的结构，由此探索公式最后的真面目，其核心策略是方程思想公式应用 解决引入问题，由公比，知，将代入，得（棵），思考：奖赏者所要的大约棵麦粒到底是多少据课本提供资料，1000棵麦粒约合50克，那么棵麦粒约合多少设，按估算，可知棵麦粒约合克，相当于5000亿吨麦粒据网上资料，2016年全世界所有谷物（含小麦）总产量约为24.67亿吨，即使按年产25亿吨计算，那么奖赏者要的所有麦粒数大约相当于全世界200年所有谷物的产量设计意图：利用推导的公式解决引入问题，即是对公式的直接应用，同时培养学生应用数列模型解决实际问题的能力，特别是估算后的结果对学生很震撼，为什么会这样，激起学生

7、探究公式的本质，事实上，数列是特殊的函数，从函数观点出发，当时，即本质上是指数型函数，在引入问题中，公比，知呈爆炸式增长，体现了奖赏者的智慧，发展了学生的建模素养【视角二】 作为通项的思路二 （线性）化归已有认知 一阶线性递推数列是公比为的等比数列路径分析 由问题解决一中得到的关系式：（生成资源），符合线性递推关系，可化归为等比数列，进而问题解决问题解决二 当时，由，得当时，由，于是数列组成公比为的等比数列，则设计意图：利用问题解决一的生成资源，作为数列通项的满足：。当公比时，数列是公差的等差数列，得通项；当时，由待定系数法，得，将一阶线性递推数列归结为等比数列问题，其核心策略是化归思想思路三

8、 归纳、猜想（证明）已有认知 观察法求数列的通项 路径分析 先用基本量首项和公比表达，由特殊到一般得出猜想 问题解决三 当时，由，猜想：证明（数归法）：当时，猜想成立；假设时猜想成立，即当时，猜想也成立故对任意，都有完善公式 当时，设计意图：将视为数列的通项，借助乘法公式，发现规律，得出猜想按照教材编排顺序，等比数列前n项和之后才学习数学归纳法，因此本节课只需得出猜想，至于一般性的证明可作为数学归纳法应用的一个例子完成（单元设计的又一体现）【视角三】 作为和式的思路四 恒等变形（从定义出发） 已有认知 等比数列的定义：（商的形式） 路径分析 由定义，利用比的性质，由项到和，再解关于的方程即可问

9、题解决三 当，且恒不为零时，由等比数列的定义，及比的性质，得，上式对也成立，则当时，总有完善公式 当时，设计意图：面对“等比数列前n项和”这一问题，从等比数列的定义出发属于本原路径，把定义中的比逐一列出时，可以发现作为和式中的项同时出现在分子和分母中，如何由项到和，联想到比的性质，可得只含有求知量的方程，使问题获解，核心策略是从定义出发，恒等变形思路五 错位相减（从定义出发）已有认知 等比数列的定义：（积的形式）路径分析 利用定义，和式两边同乘公比，消去相同的项，化n项为几项（两项）问题解决四 当时，将和式两边同乘以公比，结合等比数列的定义，可得两式相减，得，且，则完善公式 当时，设计意图：等

10、比数列定义的实质是相邻两项间的等比例关系，即每一项乘以公比后，都变为其后一项。若把整个和式都乘以公比，就会出现若干相同的项，若能够消去这些相同的项，或许就会达到化n项为两项的目标，从而想到利用错位相减法求等比数列前n项和，该策略的核心是消元思想，路径是错项相减，源于对等比数列定义本质的认识。思路六 裂项相消已有认知 等差数列的通项公式的推导过程：又解题过程获得的经验：路径分析 将等比数列的通项表示为相邻项的差，正负抵消后，化n项为几项（两项）问题解决五 当时，由则完善公式 当时，设计意图：借鉴等差数列通项公式推导的思路，从等比数列的定义出发，将其第n项裂成相邻两项的差，即，相互抵消后，可得结论

11、。该策略的核心是消元思想，路径是裂项相消。（三）问题反思方法评估 小组合作，对上述五种方法，从简捷性、完备性和本原性等维度进行评估，并尝试填写下表。通过互动交流，大家达成共识：思路简捷性完备性本原性解方程组中完备思路本原，直觉引领归纳猜想繁不（需证明）通性通法线性化归中完备生成资源恒等变形简不从定义出发错位相减简完备从定义出发裂项相消中完备生成资源、已有经验通过上述分析，发现错项相减策略思路源于定义，体现本原性；而且推导过程是严谨的，体现了完备性；更重要的是过程比较简单，体现了简捷性。因此课本选用此方法来推导该公式。 实质探究 上述五种思路有何关联?通过师生交流，达成共识：五种思路表面上思维的

12、视角不同，基于的已有认知不同，但其核心等量关系的实质却相同：思路一、二中核心数量关系，其背后是等式，即从第2项起每一项提出公比后，就变为其前一项；而错位相减法的背后，是每一项乘以公比后，相应地变为其后一项：，所谓万变不离其宗，这个宗就是等比数列的定义。设计意图：通过方法评估、实质探究两个环节，培养学生的批判性思维，学会透过现象抓好住本质，将思维引向深入，一题多法是一种境界，但多法归一才是更高的境界。【自我反思】本设计以单元为立意，理性思维为目标。在“学科核心素养课程标准单元教学设计课时计划课堂实施”整个链条中，单元教学设计处于从“学科核心素养”到“课时计划”环节的中观位置，是落实学科核心素养的

13、重要抓手。下图是以“等比数列前n项和”为核心的知识关联图，基于单元设计，引领学生从不同视角开展问题解决，将学科核心素养培育有机融入教学过程。本设计以知识为载体，以大问题为主线。人教社章建跃博士在发挥数学的内在力量，为学生谋取长期利益一文中指出，“以知识的发生发展过程为载体，使学生经历完整的数学思考过程，把树立从数学的角度看问题的观点，掌握数学思考的过程与方法，学会数学地认识问题和解决问题等作为数学教学的核心目标。”本课从问题解决的角度，将等比数列前n项和与等差数列前n项和类比，猜想了等比数列求和公式应具有的结构，由此探索公式最后的真面目。将“等比数列前n项和”八个字作为出发点，解决这个问题的路

14、径有两条：“等比数列”、“前n项和”。首先是“前n项和”路径，从一般数列求和公式入手，将前n项和看作是未知量，利用解方程组成功解决了问题；再回到最初的引入，建立相应的数学模型，不仅体现了等比数列指数爆炸的特征，也培养了学生数学建模的核心素养。第二个视角是将前n项和看作是数列的通项，利用课堂生成的一阶线性关系，将特殊数列化归为等比数列，成功解决了问题。其次是“等比数列”路径，从等比数列定义的商式出发，利用初中已有比的性质，由项到和；或是从等比数列定义的积式入手，抓住相邻项的关系，用错位相减、裂项相消的方式解决了问题。课堂进入尾声之时，引导学生从简捷性、完备性、本原性三个维度评估五种方法，同时探究

15、不同方法的共同本质，再次将“问题解决”的观点推到高潮。以“知识技能”为中心，核心素养难以融入（贴标签）；以“问题解决”为中心，素养培育水到渠成。同时课堂小问题，用于推进教学，学生的认知水平以识记、解释为主；课堂大问题，用于撬动思维，促进体验、探究等高层次思维发生，有利于学科核心素养的落实。【专家点评】华东师范大学副教授、硕士生导师陈月兰点评：所谓卓越教师应当能站在高观点，即研究的基础上去上课，她认为李英老师的课凸显了“立意高、入口浅”的单元教学设计的特征，单元设计的好处是明确了“我从哪里来，我来干什么，要去向何方？”。本节课是基于核心素养落实的一种探索，“数学抽象、数学推理、数学建模和数学运算

16、”等素养自然融入，都渗透在课堂教学过程中，总体表现为“载体简单、素养渗透、思想深刻、概念打通”。上海市宋庆龄学校常务副校长、特级教师陈双双点评：本节课的设计思想是基于单元设计的问题解决，李英老师把公式习得课设计成问题解决，围绕“问题”体现四个层次，即问题情境、问题解决、问题反思，最后达到问题升华。从问题情境角度看，本节课利用课本中“国际象棋”的情境，并结合现实粮食的产量，可以说既经典，又现代，培育了学生的建模素养；从问题解决角度来说，本节课突破了错位相减单一方法，从单元出发，视角更宏观，思维更深刻；从问题反思角度看，本节课抓住了数列离散、有序的个性特征，注重挖掘公式的本质；从问题升华角度看，本节课先从方程、基本量等角度入手，然后给出错位相减方法，这样的设计与后面的评价相辅相承，引领学生高层次思维的发展，突出理性思维和理性精神。总之李英老师使用传统的授课方式将深刻的现代思想渗透给学生，直指学科核心素养的培育，可谓是传统和现代的碰撞。华东师范大学教授、博士生导师鲍建生点评：首先关于这堂课，核心是引入和方法两个问题，在引入环节，建议利用情境问题结果的冲击力激发学生想知道如何算的欲望，为算法学习打下伏笔；在方法上强调通性通法，错位的方法是处理递推问题的通法，难点在于如何想到的，本节课通过如方程、化归、基本量等不同视角的一些奠基性活动，为学生自己想到错位相减提供可能