数学的故事研究性报告

1、：沈晨宇数学的故事前序事先声明：本研究性学习报告作于3.4.2016，部分资料引自世界数学史及数学的故事及网络。本次研究性活动，我选择的主题是数学史的探究，意在重拾那些艰辛的数学发展道路上的人和事，提高我们的数学素养以及培养我们对数学的兴趣，也在警醒我们在平时的学校学习中能够去对数学有着更深刻的认识，而不要被课本上那些干巴巴的数学公式所迷惑了，也就产生了讨厌数学的情绪。我只是一名普通的学生，但我对于数学的热爱却超过其他人。在我眼中，那些数学公式都显得很迷人，很美丽。德国著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯曾说过：数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来,

2、但证明却隐藏的极深数学是科学之王。德国数学家，集合论的创始人格奥尔格·康托尔也曾说：数学的本质在于它的自由。数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。（摘自百度文库）想想，人类自诞生之日起开始产生了数学，发展至今，这可是人类智慧的最高体现，这在后面会提到。（为了表示创新，本报告以成书的形式展现）所以，请让我带领你们一起走进数学的世界，共感数学的魅力。 编者 序 3月4日2016年3月4日星期五目录前序1第一章：四大文明古国的数学史（

3、一）古埃及5一、埃及数学产生的社会背景5二、古埃及的数学成就61、算术62、代数83、几何9第二章：四大文明古国的数学史（二）古希腊和古巴比伦12古巴比伦人对数学发展的贡献12古希腊人对数学发展的贡献121、阿基米德对数学发展的贡献122、欧几里得对数学发展的贡献133、后期的希腊数学15第三章：四大文明古国的数学史（三）古中国及古印度16中国数学16高次方程16内插法16勾股解法17弧矢割圆术17纵横图18九章算术18印度数学伟大的“0”19第四章: 黑暗中世纪的数学成就20第五章：曙光在现初等数学的发展23初等代数23偷来的卡丹公式与复数23韦达（代数学之父）23代数几何学与初等几何学24

4、帕斯卡天才少年（射影几何）24解析几何24数论和概率25第六章：伟大的时代：变量的发展（分析数学）26牛顿和莱布尼茨的微积分26欧拉和柯西的微积分数学分析27欧拉近代数学先驱之一28线性代数、矩阵论与向量场28高等数学29第七章：希望之光愈发完整的数学体系30群论组合数学30数论30集合论数理逻辑31抽象代数学32拓扑学33拓扑的由来33莫比乌斯带与克莱因瓶34泛函分析36未来数学的发展36特别章一：数学三大危机37第一次数学危机37第二次数学危机37第三次数学危机37特别章二：数学九大问题38NP完全问题38霍奇猜想39庞加莱猜想39黎曼假设39杨米尔斯存在性和质量缺口40纳卫尔-斯托可方程

5、的存在性与光滑性40BSD猜想40费马大定理40希尔伯特23问40特别章三：最美丽的十大数学公式42特别章四：三大数学软件的开发与应用45Mathematica45MATLAB47Maple50后序53推荐书目：54推荐视频：54第一章：四大文明古国的数学史（一）古埃及 一、埃及数学产生的社会背景埃及位于尼罗河岸，在古代分为两个王国，夹在两个高原中间的狭长谷地，叫做上埃及处于尼罗河三角洲的地带叫做下埃及这两个王国经过长时期的斗争，在公元前3200年实现了统一，并建都于下游的孟斐斯(Memphis)尼罗河经常泛滥，淹没良田在地界被冲刷的情况下，统治者要按不同数量征粮征税，这样，必须重新丈量土地实

6、际上，埃及的几何学就起源于此希腊的历史学家希罗多德(Herodo- tus，约公元前484-前424)在历史(Herodoti Historiae)一书中，明确指出：“塞索特拉斯(Sesostris)在全体埃及居民中间把埃及的土地作了一次划分他把同样大小的正方形土地分给所有的人，并要求土地持有者每年向他缴纳租金，作为他的主要税收如果河水泛滥，国王便派人调查并测量损失地段的面积这样，他的租金就要按照减少后的土地的面积来征收了我想，正是由于有了这样的做法，埃及才第一次有了几何学，而希腊人又从那里学到了它”希腊数学家德谟克利特(Democritus，约公元前460-前357)也曾指出：“我

7、不得不深信，几乎埃及人都会画证明各种直线的图形，每个人都是拉绳定界的先师”所谓拉绳定界的先师(harpedonaptai)大概是指以拉绳为主要工具的测量师埃及人为了发展农业生产，必须注意尼罗河的泛滥周期，在实践中，积累了许多天文知识和数学知识譬如，他们注意到当天狼星和太阳同时出没之时，就是尼罗河洪水将至之兆并把天狼星的两个清晨上升的间隔当作一年，它包含365天把一年分成12个月，每个月是30个昼夜并逐步摸索出用日晷来测量时间大约在公元前1500年，埃及人就已经使用了水钟-漏壶，它是底部有洞的容器把这个容器灌满水，水从下面的孔里流完的这段时间作为计算时间的单位所有这些都蕴含了计算建造著名的金字塔

8、，可推知是公元前四、五千年前的事根据对其结构、形状的研究，可推测古代埃及人掌握了一定的几何知识，致使底两个边与正北的偏差，一个仅仅是2'30''，一个是5'30''这类的实际建筑，推动了埃及数学计算的发展综上，社会的生产、生活的实际需要，促使埃及数学的产生与发展。二、古埃及的数学成就1、算术古埃及人所创建的数系与罗马数系有很多相似之处，具有简单而又纯朴的风格，并且使用了十进位制，但是不知道位值制古埃及人是用象形文字来表示数的，例如根据史料记载，上述象形文字似乎只限于表示107以前数由于是用象形文字表示数，进行相加运算是很麻烦的，必须要数“个位数”

9、、“十位数”、“百位数”的个数但在计算乘法时，埃及人采取了逐次扩大2倍(duplication)的方法，运算过程比较简便乘法：古埃及人采用反复扩大倍数的方法，然后将对应结果相加例如兰德纸草书(希特版)第32页，记载着12×12的计算方法，是从右往左读的右边用现代数字表示，这就是倍增法(duplatio)由下表可知，计算的方法是把12依次扩大2倍，那么12×12为12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的数在右侧(现代阿拉伯数字在左侧)标记斜线，算得结果144在更早的时期，埃及人也曾采用“减半法”来计算乘法首先是将一乘数扩大10倍，然后再计算10倍的一半例如纸草书

10、(卡芬版)第6页，计算16×16，是按如下方法计算的，即减半法(mediatio)/1 16/10160/5 80合计 256这种乘法的计算方法是古代人计算技能的基础，是非常古老的方法希腊时期的学校曾讲授过埃及人的计算方法，到了中世纪，还讲授“倍增法”和“减半法”除法：埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算，并蕴含在实际计算之中例如，计算1120÷80(见兰德纸草书第69页) 180/10 8002 160/4320合计1120以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14个80分数：古埃及人对分数的记法和计算都比现在复

11、杂得多例如，他们把2/3理解为两个部分，并且把能使“两个部分”变为一个部分叫做“第三部分”例如，这样，通过二个部分与第三部分；三个部分与第四部分的结合来表示出一个整体现在的西欧，有时也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等语言来表达三分之一、四分之一这类分数的含义按此规律理解，五分之一可认为与四个部分结合成一个整体的第五部分从语言的角度，五分之二(twofifths)就无法表达了随着分数范围的不断扩大，计算方法的不断改进，埃及人用“单位分数”(分子是1的分数)来表示分数：对一般分数则拆成“单位分数”表示例如，(用现代符号表示)2、代数在兰德纸草书中，因为求含一个未知量

12、的方程解法在埃及语中发“哈喔”(hau)音，故称其为“阿哈算法”“阿哈算法”实际上是求解一元一次方程式的方法兰德纸草书第26题则是简单一例用现代语言表达为：古埃及人是按照如下方法计算的：把4加上它的1/4得5，然后，将15除以5得3，最后将4乘以3得12，则12即是所求的量这种求解方法也称“暂定前提”(false assumption)法，即：首先，根据所求的量而选择一个数在兰德纸草书第26题中，选择了4因为实际上，这个问题用列方程的方法很容易计算设所求量为x，则：解之得：x12在用“阿哈算法”求解的问题中，也含有求平方根的问题，柏林纸草书中有如下的问题：方形，两个正方形面积的和为100，试计

13、算两个正方形的边长”不妨从“暂定的前提”出发，首先取边长为1的正方形，那么另一方形的边长分别为8和6如果列成现代的方程式求解，是很简单的所以，两个正方形的边长分别为8和6埃及人对“级数”也有了简单的认识，在纸草书中，用象形文字写出一列数7，49，343，2401，16807，并与之对应一列词：“图画”，“猫”，“老鼠”，“大麦”，“容器”，最后，给出和数为19607实际上，这是公比为7的等比数列对此，有的数学史家解释为：“有7个人，每人有7只猫，每只猫能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麦，每穗大麦种植后可以长出7容器大麦”从这个题目中，可以写出怎样的一列数，它们的和是多少？这种题目就涉及到求数列

14、和的问题3、几何埃及人创建的几何以适用工具为特征，以求面积和体积为具体内容他们曾提出计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、建筑中所用石料和其它材料多寡等法则埃及人能应用正确的公式来计算三角形、长方形、梯形的面积把三角形底边二等分，乘以高；同样，把梯形两平行边之和二等分，乘以高分别作为三角形和梯形的面积另外，埃及人还能对不同的面积单位进行互相换算在埃及埃特夫街的赫尔斯神殿的文书中，记载着很多关于三角形和四边形面积计算问题，如图11但是，他们把四边形二对边之和的一半与另二对边和的一半之积作为其面积，这显然是不对的，只是长方形时，这才是正确的计算公式埃及人曾采用s(8d/9)2(其中s是圆的面积、d

15、是圆的直径)来计算圆的面积由此得到：能把值精确到小数点后一位，在那个时代，应该说是一件了不起的事，巴比伦人在数学高度发展时期，还常常取3在计算体积方面，经考察兰德等纸草书发现，埃及人已经知道立方体、柱体等一些简单图形体积的计算方法，并指出立方体、直棱柱、圆柱的体积公式为“底面积乘以高”有材料证实，在埃及几何中，最突出的一项工作是发现截棱锥体的体积公式，(锥体的底是正方形)，此公式若用现代数学符号表示为：其中h是高，a和b是下、上底的边长像这样的公式，若认为是靠经验得到的，理由则是不够充分的按当时埃及人已掌握的数学知识，我们可做如下理论推导：把正棱台分成4个部分，即1个长方体、2个棱柱、1个棱锥

16、如图12，假如棱锥的体积是已知的，可得公式：可推测，(1)式是由(2)式的代数变形得到的，但是，当时的埃及人比较擅长于具体数值的计算，还没掌握对一般量的推导这里似乎埃及受巴比伦代数的影响，掌握了一定的数学推理方法从公式(2)推出公式(1)，可考虑采用了如下方法：假定一个棱垂直于底面，把图12中的两个棱柱分别变为高是原是，最下层为a2，中间层为ab，最上层为b2由此可得到其总体体积为：与(1)式相符第二章：四大文明古国的数学史（二）古希腊和古巴比伦（鉴于古巴比伦文明的数学史没有古希腊及古埃及及古中国的数学史辉煌，将相应减少篇幅）古巴比伦人对数学发展的贡献巴比伦人从远古时代开始，已经积累了一定的数

17、学知识，并能应用于解决实际问题从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但是，也要充分认识他们对数学所做出的贡献1在算术方面，他们对整数和分数有了较系统的写法，在记数中，已经有了位值制的观念，从而把算术推进到一定的高度，并用之于解决许多实际问题，特别是天文方面的问题2在代数方面，巴比伦人用特殊的名称和记号来表示未知量，采用了少数几个运算记号，解出了含有一个或较多个未知量的几种形式的方程，特别是解出了二次方程，这些都是代数的开端巴比伦人能够求解的方程类型可简略归纳如下：axb，x2a，x2+axb，x2-axb，x3=a，x2(x+1)a在解决实际问题中，他们能够通过

18、算术运算方法解二元一次方程组，例如以下几种类型：3在几何方面，巴比伦人认识到了关于平行线间的比例关系和初步的毕达哥拉斯定理，会求出简单几何图形的面积和体积，并建立了在特定情况下的底面是正方形的棱台体积公式4在天文学方面，他们已有一系列长期观察记录，并且已经发现了许多准确性很高的天文学周期他们计算月球和行星的运动，给出天体在不同时期所处位置的数表，并计算天文历书等古希腊人对数学发展的贡献1、阿基米德对数学发展的贡献阿基米德(Archimedes，公元前287-前212)是数学历史上最伟大的数学家之一，近代数学史家贝尔(ETBell，1883-1960)说：“任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家

19、的名单中，必定包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来比，拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德”阿基米德的名字在他同时代的人们中成为贤明的象征，他会用简单的方法解最难的问题古希腊著名的作家和历史学家普鲁塔克(Plutarch，公元前1世纪)说：把这样困难的题目解决得如此简单和明白，在数学里没有听到过，假如有谁尝试一下自己解这些题目，他会什么也得不到但是，如果他熟悉了阿基米德的解法，那么他就会立刻得出这样的印象，这个解法他自己也会找到阿基米德用如此容易和简明的方法把我们引向目的阿基米德的数学思想中蕴涵微积分，阿基米德的方法论中已经“十分接近现

20、代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用。他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到17世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。阿基米德将欧几里德提出的趋近观念作了有效的运用。他利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家依据这样的“逼近法”加以发展成近代的“微积分”。阿基米德还利用割圆法求得的值介于3.14163和3.14286之间。另外他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍，又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，这个定理就刻在他的墓碑上。7 阿基米德研究出螺旋形曲线的性质，现今的“阿基米德螺线”

21、曲线，就是因为纪念他而命名。另外他在数沙者一书中，他创造了一套记大数的方法，简化了记数的方式。阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰。他把欧几里得严格的推理方法与柏拉图鲜艳的丰富想象和谐地结合在一起，达到了至善至美的境界，从而“使得往后由开普勒、卡瓦列利、费马、牛顿、莱布尼茨等人继续培育起来的微积分日趋完美”。2、欧几里得对数学发展的贡献欧几里得（Euclid）是古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者。欧几里得出生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入柏拉图学园学习。一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的柏拉图学园。只

22、见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂几何者，不得入内! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么?正在人们面面相觑，不知是进是退的时候，欧几里得从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作。它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。欧几里得使

23、用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。这本著作是欧几里得几何的基础，在西方是仅次于圣经而流传最广的书籍。几何原本是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。并把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪欧几里得生活时期前后总共400多年的数学发展历史。它不仅保存了

24、许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学思想发扬光大。它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。欧几里得所著的原本大约成书于公元前300年，原书早已失传。全书共分13卷。书中包含了5个“假设(Postulates)”、5条“公设(Common Notions)”、23个定义(Definitions)和48个命题(Propositions)。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得

25、全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。在这种演绎推理中，对定理的每个证明必须或者以公理为前提，或者以先前就已被证明了的定理为前提，最后做出结论。对后世产生了深远的影响。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。两千多年来，几何原本一直是学习数学几何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多

26、伟大的学者都曾学习过几何原本，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。1582年，意大利人利玛窦到中国传教，带来了15卷本的原本。1600年，明代数学家徐光启（1562-1633）与利玛窦相识后，便经常来往。1607年，他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为几何原本。后9卷是1857年由中国清代数学家李善兰（1811-1882）和英国人伟烈亚力译完的。3、后期的希腊数学在希腊后期，虽然对欧几里得几何原本没有做出根本性改革，但也作了很多添补工作对此，首先做出贡献的是海伦海伦(Heron，约公元60年) 著关于测量仪(Dioptra)一书，其中提出了确定罗马和亚历山大

27、之间的时差问题的一个较复杂的方法，并用这种仪器观测两地的月食海伦的著作主要是由几何学、应用几何学、应用机械学合编成的一部百科全书性质的书籍-几何在这部著作中，阐述了象测量仪一类器具的使用方法他还注释了欧几里得的著作以及撰写有关面积和体积的书籍，但其名著是测量术这部著作分三篇，第一篇是面积的计算；第二篇是体积的计算；第三篇是解决面积和体积的有关比例问题可是希腊数学在罗马崛起后逐渐走向衰落。希腊数学衰退在公元最初几个世纪里一直持续着当丢番图去世后，到了公元5世纪时，希腊数学到达了衰落的顶点当时罗马已经成为世界之王，她的领土从印度河一直伸展到直布罗陀海峡，从尼罗河直到不列颠海岸由于罗马人不关心智慧的

28、追求，只需要食物和娱乐(Panem et circenses)，大部分人除此之外皆漠不关心，因此，罗马人在头几个世纪里，他们对数学或科学的发展贡献很小西撒罗在他的塔斯克来尼恩讲话(Tusculanian Oratio ns)中曾为这个事实而痛惜他感叹道：“希腊人给予几何学家以最高的荣誉；因此他们中间没有什么东西比数学发展得更光辉灿烂了但是我们却把这门艺术局限于测量和计算的应用方面”第三章：四大文明古国的数学史（三）古中国及古印度中国的贡献主要是中国剩余定理和秦九韶用类似牛顿的方法求高次方程的近似解。印度的一个重要成就是发明了数学0，这让数的表示简单多了，另外就是印度人发明的数字被阿拉伯人传到了

29、欧洲（就是阿拉伯数字），之后欧洲的代数开始发展，塔塔利亚掌握了解一元三次方程的方法。 中国数学高次方程把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形）解法的是刘益（12世纪中期）。杨辉算法中田亩比类乘除捷法卷下介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在数书九章中收集了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负数。他把高次方程解法分成各种类型，如：n次项系数不等于1的方程，奇次幂系数均为零的方程，进行x=y+代换后常数项变号的方程与常数项符号不

30、变而绝对值增大的方程等。方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根的非整数部分，这是九章算术和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第 2位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第 2位数的试除法。秦九韶的方法比霍纳方法早500多年。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。祖颐在四元玉鉴后序中提到，平阳李德载两仪群英集臻有天、地二元，霍山刘大鉴乾坤括囊有天、地、人三元。燕山朱汉卿“按天、地、人、物立成四元”。前二书已失传，留传至今并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的四元玉鉴。朱世杰的四

31、元高次联立方程组表示法无疑是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央。四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法。其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，得到一个一元高次方程。最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展。朱世杰的方法比西方同类方法早400多年。内插法元代天文学家王恂、郭守敬等在授时历（1280）中解决了三次函数的内插值问题。一次同余式组解法 孙子算经“物不知数”题已提到一次同余式组解法的例子，

32、秦九韶把它一般化。在这个方法中有一个必须解决的关键问题是求同余式kiGi呏1(modi）中的ki，式中公式秦九韶在数书九章大衍类里，用更相减损的方法给出ki一个计算程序，完满地解决了这个问题，此外，秦九韶还讨论了模数i是收数（小数）、通数（分数）、元数（一般正整数）、复数（10n的倍数）非两两互素的情形，并分别给出变上述4种数为两两互素的模数的方法。高次方程立法用天元（相当于 x）作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术。这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的测圆海镜。李冶在一次项系数右旁记一“元”字（或在常数项右旁记一“太”字）。

33、元以上的系数分别表示各正次幂，元以下的系数表示常数和各负次幂（在益古演段中又把这个次序倒转过来）。建立方程的具体方法是，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式p1(x）和p2(x），令二者相减，即得一个数字高次方程。若其中一个多项式是分式多项式，如公式公式，李冶则变另一多项式p2(x）为使二者相减时消去分式多项式的分母，得公式这是刘徽关于率的概念在多项式运算中的应用与发展。1 勾股解法勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在算学启蒙卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了九章算术的不足。李冶在测圆海镜对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到一系列的结果。他把容圆勾股形分成14

34、个相似的勾股形，除按传统的方法给出这些勾股形的名称外，还用文字作符号来表示，与现今用字母A，B，C，表示几何图形相似。从14个勾股形中，李冶得到692条“识别杂记”，阐明各勾股形的线段之间与线段的和、差、积之间的关系。除原有的勾股容圆外，李冶得到勾上容圆、股上容圆、弦上容圆、勾股上容圆、勾外容圆、股外容圆、弦外容圆、勾外容圆半、股外容圆半等9个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。弧矢割圆术已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题。传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括的会圆术（已知弦、

35、矢、半径求弧长的近似公式）和天元术解决了这个问题。由于王恂、郭守敬求直径时用圆周率3以及沈括的公式是一个近似公式，因此结果不够精确。除此以外，整个推算步骤是正确无误的。从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。纵横图纵横图又称幻方，根据乾凿度和东汉郑玄注，至迟在汉代已有一个三行纵横图。宋元时期，纵横图研究有了很大发展，杨辉在续古摘奇算法中记录了这方面的成就。杨辉指出，九宫图是一个从132的9个自然数排成三行三列，其行、列或对角线之和均为15的三行纵横图。这种图可以推广到从 1到n2的情形，它的行、列或对角线之和为n（1+n2）/2。他还列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8个

36、纵横图,并指出三行和四行纵横图的构造方法。杨辉的这一工作为这个领域的研究开辟了道路。小数 现传本夏侯阳算经已有化名数为十进小数的例子。宋元时代，这种十进小数有了广泛应用和发展，秦九韶用名数作为小数的符号，例如18.56寸表示如图1；李冶则依靠算式的位置表示，例如8.25x2+2.673=0表示如图2。杨辉和朱世杰的化斤价为两价的歌诀，是小数的具体应用。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有墨经中关于某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同长也”、“平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。庄子记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙

37、等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的易经已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。 九章算术它是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，九章算术在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，方程章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运

38、算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。九章算术的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰(音cui)分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。共九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;"方程"章还在世界数学史上首次阐述了

39、负数及其加减运算法则。在代数方面，九章算术在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则;中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。注重实际应用是九章算术的一个显着特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。九章算术是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家，大都是从九章算术开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。可以说，九章算术是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。在九章算术中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，

40、它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法，13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。印度数学伟大的“0”印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其他古老的民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。在印度，整数的十进制计数法产生于6世纪以前，用9个数字和表示0的小圆圈，再借助位值便可写出任何数字。由此建立了算术运算。对于0，他们并不陌生。后来演变成了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9等阿拉伯数字。印度对数学做出了大贡献。他们计算过算术级数的和，解决过折扣等商业问题。第四章: 黑暗

41、中世纪的数学成就算数原理（算数入门波爱修）算术入门(Introduction to Arithmetic) 古希腊数学著作.希腊数学家、哲学家尼科马霍斯(Nico-machus, (G)著.这是古希腊数学中第一本完全脱离几何讲法的算术(即数论)书，对算术成为一个独立学科起了重要作用.它对于算术的重要性可以与欧几里得(Euclid )的几何原本对于几何的重要性相比，它成为此后一千年间的标准算术课本.尼科马霍斯属于毕达哥拉斯学派，他在哲学思想和数的理论方面都继承了毕氏学派的衣钵，使已趋衰亡的毕氏学派的传统重新活跃起来.他强调算术是各科之母，认为这“不仅是因为我们说它在造物主的心中先于其他一切而存在

42、··而且也因为它本来就是存在较早的”毕氏学派关于数的神秘现象在他的著作中得到全面反映。斐波那契欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契(约11751240)，其拉丁文代表著作算经、几何实践等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多(Leonardo of Pisa)，早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成算经(Liber Abac·1202，亦译作算盘书)。算经最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。现传算经是1228年的修订版，其中还引进了著名的"斐波那契数列&quo

43、t;。几何实践(Practica Geometriae， 1220)则着重叙述希腊几何与三角术。斐波那契其他数学著作还有平方数书VLiberQuadratorum， 1225)、花朵(Flos， 1225)等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克(Frederick)二世宫廷数学竞赛问题。斐波那契数列与黄金分割律（毕达哥拉斯发现）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、3

44、4、递推公式斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . 如果设F(n）为该数列的第n项（nN*），那么这句话可以写成如下形式：显然这是一个线性递推数列。2 通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时  有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。1÷1=1，1÷2=0.5，2

45、47;3=0.666.，3÷5=0.6，5÷8=0.625，55÷89=0.617977144÷233=0.61802546368÷75025=0.6180339886.越到后面，这些比值越接近黄金比.将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、秦九韶秦九韶，字道古。普州安岳(今四川安岳)人。南宋嘉定元年(1208年)生；约景定二年(1261年)卒于梅州。中国秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学名著数书九章，癸辛杂识续集称作数学大略，永乐大典称作数书九章。全书九章十八卷，九章九类

46、：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案；“术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表

47、着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的成绩之一。我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的数书九章（1247年）是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术（不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。古代数学家。李治与方程理论新进展李冶由于摆脱了几何思维束缚，在方程理论上取得了四项进展：第一，他改变了传统的把常数项看作正数的观念，常数项可正可负，而不再拘泥于它的几何意义。第二，李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。在这里，未知数已具有纯代数意义，二次方并非代表面积，三

48、次方程也并非代表体积。第三，李冶完整解决了分式方程问题，他已懂得用方程两边同乘一个整式的方法化分式方程为整式方程。第四，李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子xn（n为正整数）时，李冶便令次数最低的项为实，其他各项均降低这一次数。此外，他还发明了负号。第五章：曙光在现初等数学的发展 初等代数偷来的卡丹公式与复数卡丹说服塔尔塔利亚将他的解答告诉他，再三保证不会将他的方式写在他即将出版的书内，塔尔塔利亚答应了并要cardan保证用密码写下以免其它人得知，而cardan那年后来出版的两本书也的确没有将解答公布，塔尔塔利亚也就放心了。后来卡丹cardan和费拉里ferrari得知塔尔

49、塔利亚并非第一个解出三次方的人，斐洛ferro才是，于是卡丹cardan认为虽然他已经发誓不说塔尔塔利亚的方式，但却没说出版斐洛ferro的公式，于是1545年卡丹Hieronimo Cardan背信出版了技术大ArsMagna，内容包括介绍了三次方程式的解答并将三次方程求根公式称之为卡丹公式。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成 ，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（15961650），他在几何学（

50、1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。韦达（代数学之父）韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有分析方法入门、论方程的识别与订正等多部著作。韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的应用于三角形的数学定律(1579年)是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统

51、著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n11等于任意正整数的倍角表达式。他的解析方法入门一书(1591年)，集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在论方程的整理和修正一书中提出了二次、三次和四次方程的解法。代数几何学与初等几何学帕斯卡天才少年（射影几何）帕斯卡(BPascal，16231662) 是德扎格的学生，仅仅活了39岁他是一位了不起的

52、天才，在微积分、概率、代数、射影几何等方面都作出了引人注目的贡献，他是手摇计算机的发明者，还是法国著名的文学家，物理方面的成就也不少这里着重谈他的射影几何方面的工作帕斯卡的略论圆锥曲线中最著名的结果是下述定理：若一个六边形内接于一圆锥曲线，则每两条对边相交而得的三点在同一直线上如图105，P，Q及R在同一直线上若六边形的对边两两平行，则P，Q，R在无穷远线上该定理被后人称为帕斯卡定理，在射影几何里是十分重要的解析几何笛卡尔和他的坐标：笛卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究

53、，并成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础，而微积分又是现代数学的重要基石。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。笛卡儿所著的几何分三卷第一卷的前半部分是解析几何的预备知识，通过典型例题说明如何把代数用于几何，解决尺、规作图问题；后半部分则包含笛卡儿解析几何的基本理论第二卷讨论曲线方程的推导及曲线性质，提出按方程次数对曲线进行分类的方法第三卷讨论如何用圆锥曲线解高次方程，以及高次方程的性质这位数学巨匠也有浪漫的一面，就比如说克里斯汀心形线。费马的平面与立体轨迹引论是他在解析几何方面的代表作这

54、本书是1630年写成的，但一直到1679年才出版，那时费马已经死了14年费马的著作表明，他的研究工作是以古希腊阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论为出发点的他在书的开头写道：“毫无疑问，古人对于轨迹写得非常多可是，如果我没有想错的话，他们对于轨迹的研究并非是那么容易的原因只有一个：他们对轨迹没有给予充分而又一般的表示”费马认为给轨迹一般表示只能靠代数他很熟悉韦达的代数工作，又受到前人用代数解决几何问题的启发，所以他着手解决轨迹的一般表示的问题时，就毫不犹豫地求助于代数他不仅使代数与几何结为伴侣，更重要的是他把变量思想用于数学研究，这正是他比哈里奥特等人高明的地方，也是他创立解析几何的主要思想基础费马的主要

55、贡献在于他对曲线的证明以及对坐标的发展。解析几何通过形和数的结合，使数学成为一个双面的工具一方面，几何概念可用代数表示，几何目标可通过代数方法达到；另一方面，又可给代数语言以几何的解释使代数语言更直观、更形象地表达出来，这对于人们发现新结论具有重要的意义正如拉格朗日(JLLagrange)所说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄但是当这两门学科结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”近代数学的巨大发展，在很大程度上应该归功于解析几何由于在解析几何中代数起主导作用，这就大大提高了代数的地位，对于促进代数的进步具有十分重要的意义从数学思想上来说，解析几何的最大突破是引入了变量思想，它成为发明微积分的思想基础正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数有了变数，运动进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”解