八年级同步第8讲：一元二次方程求根公式及综合

1、一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用同时， 结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础1、公式引入一元二次方程（），可用配方法进行求解：得： 对上面这个方程进行讨论：因为，所以当时，利用开平方法，得：， 即：当时，这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根2、

2、求根公式一元二次方程（），当时，有两个实数根：，这就是一元二次方程（）的求根公式3、用公式法解一元二次方程一般步骤把一元二次方程化成一般形式（）；确定a、b、c的值；求出的值（或代数式）；若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解.1】 求下列方程中的值：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） ；（ 4） 【难度】1 ） 4；（2） 17；（3） 236；（4） 38（ 1） ，则；（ 2），则；（ 3）方程可化为一般形式为：， ，则；（ 4），则【总结】本题主要考查根的判别式的概念及其计算.2】 用公式法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1 ） ； （ 2） 【解析】（1

3、）,则，则，.；（2）,则，则，【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用.3】 用公式法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1 ） ； （ 2） （ 2） ，则，则，；，则，则，【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用.4】 用公式法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1 ）方程无实数解；（ 2）方程无实数解（ 1） ，则，方程无实数解；2） ，则，方程无实数解【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用.5】 用公式法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1 ） ； （ 2） （ 1）方程可化为：， ，则，则，；（ 2）方程可化为：，则2）也可以用直接开平方法求

4、解6】 用公式法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1 ） ； （ 2） 【解析】（1）方程可化为，则，则（2）两边同时乘以10,方程可化为，则， 则，2）也可以用因式分解法求解7】 当 x 为何值时，多项式与的值相等？【难度】8 或 -5，整理得：，因式分解可得：，则当x为8或-5时，多项式与的值相等.【总结】本题主要考查一元二次方程在多项式的值相等时求所含字母的取值中的运用.8】 用公式法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1 ） ； （ 2） （ 1） ，则，则，原方程的解为：；2），则，则，.原方程的解为：.【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用.9】 用公式法解方

5、程：【难度】，则，所以，.原方程的解为：.【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用.1、一元二次方程解法总结开平方法：形如及的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程.因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式,从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若，则或配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解即： ，再用开平方法求解公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程，当时，有两个实数根：10】口答下列方程的根：1 ）；2）；3）；4）【难度】1 ）；（2）；（3）；（4）【解析

6、】形如的方程的两个解分别为.【总结】本题主要考查两个因式的乘积为零时，则每一个因式都为零的应用.11】 用开平方法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1 ） ； （ 2） （ 1）则，开平方得：，原方程的解为：；（ 2） ，开平方得：或，.原方程的解为：.【总结】本题主要考查利用直接开平方法解一元二次方程.12】用因式分解法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1 ）；（2）（ 1） ，提取公因式可得：，原方程的解为：；（ 2） ，提取公因式可得：，.原方程的解为：.【总结】本题主要考查利用提取公因式法求一元二次方程的解.13】用因式分解法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1

7、 ）；（2）（ 1） ，用完全平方公式可得：，原方程的解为：；（ 2）原方程用平方差公式可得：，整理可得：，原方程的解为：.【总结】本题主要考查利用公式法求一元二次方程的解.【例14】用因式分解法解下列方程：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） ；（ 4） 【难度】【答案】（1 ）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）对原方程十字相乘分解可得：，原方程的解为：；（ 2）对原方程整理得：，十字相乘分解可得：，.原方程的解为：；（ 3） ，整理得：，十字相乘分解可得：，.原方程的解为：；（ 4） ，提取公因式可得：，整理得：，原方程的解为：.【总结】本题主要考查利用因式分解法求一元二次方程的解，注意（

8、3）和（4）化成一般形式再分解15】用配方法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1 ）方程无解；（2）方程无解（ 1） ，则，配方可得：，则，所以原方程无解；2） ， ，所以原方程无解【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解.【例16】用配方法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】【答案】（1 ）；（2），【解析】 （ 1） ，整理得：，配方得：，原方程的解为：；（ 2） ，配方得：，原方程的解为：，.【总结】 本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方17】用配方法解下列关于x 的方程：（ 1） ；（ 2） （）【难度】【答案】见解

9、析.（ 1） ，则，配方得：当时， ，；当时，方程无实数根；（ 2） （） ，则，整理得：，配方可得：，当时， ， ，当时，方程无实数根【总结】 本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论18】用公式法解下列方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】1 ）方程无解；（2）方程无解（ 1）因为，则，所以原方程无解；（ 2）整理可得：，则，所以原方程无解【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用.19】用公式法解下列方程：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 【难度】1 ） ， ；（ 2） ， ；（ 3） ， 【解析】（1） ,

10、，原方程的解为：，；2）整理可得：， ，则，原方程的解为：，；3）整理可得：， ，则，原方程的解为：,.【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根.20】用公式法解下列关于x 的方程：（ 1） ；（ 2） 【难度】【答案】见解析.【解析】（1） ,当时，；当时，原方程无实数根；（2）原方程可化为：，;，原方程的解为：，.【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论.21】 用适当方法解下列方程：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） ；（ 4） ；（ 5） ；（ 6） 【难度】1 ） ， ；（2）， ；（3）， ；（ 4） ， ；（5）， ；（6）， 【解析】（1）直接开

11、平方可得：，原方程的解为：，；（ 2）化简得：，十字相乘分解可得：，原方程的解为：，；（ 3） ，平方差因式分解得：，整理得：，原方程的解为：，；（ 4） ，提取公因式可得：，整理得：，原方程的解为：，；（5）二方程，原方程的解为：，；（ 6） ，整理可得，十字相乘分解得：，原方程的解为：，.【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择.22】用因式分解法和公式法2 种方法解方程：【难度】，【解析】方程可整理成:十字相乘分解可得：，原方程的解为：，；公式法：，原方程的解为：,.【总结】本题主要考查利用因式分解和公式法求解一元二次法的解.23】如果对于任意两个实

12、数，定义：试解方程：【难度】，利用完全平方公式可得：【总结】本题主要考查对新定义的理解和运用.24】已知，求代数式的值【难度】1【解析】，原式.【总结】本题主要考查代数式的化简求值，不要去解方程，而是用整体代入思想求值.25】已知，求的值【难度】-4 或 2【解析】，十字相乘分解得：，或.【总结】本题主要考查利用整体思想求代数式的值，也可进行换元.【习题1】已知m是方程的一个根，则代数式的值是 【难度】【答案】2.【解析】m是方程的一个根，则，=2.【总结】本题主要考查方程的解的定义以及整体代入思想的运用.【习题2】已知是关于x的方程的一个根，则 【难度】【答案】.【解析】是关于x的方程的一个

13、根，.，解得：.【总结】本题主要考查方程的解的定义.【习题3】用配方法解关于x的方程时，方程可变形为().A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】注意二次项系数化为1之后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方.【总结】本题主要考查对配方法的理解及运用.【习题4】用适当方法解下列方程：(1)；(2);(3);(4);(5)；(6).【难度】【答案】见解析.【解析】(1),开平方法可得：，；(2),整理得：，求根公式可得：，；(3),提取公因式可得：，一(4),整理得：，方程无解；(5),平方差因式分解可得：，整理得：，解得：；(6),整理得：，【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程

14、，解题时注意对方法的合理选择.【习题5】当x为何值时，的值与的值相等？【难度】【答案】4或.【解析】由题意，可得：，整理得：，十字相乘法分解可得：，【总结】本题主要考查解一元二次方程在求多项式的值相等时的运用.【习题6】二次方程有根0与1,求的值.【难度】【答案】.【解析】二次方程有根 。与1,【总结】本题主要考查对一元二次方程的根的理解及运用.【作业1】 关于x的方程的一个根是 2,那么另一个根是 【难度】【答案】.【解析】.方程的一个根是2,则原方程为，十字相乘因式分解可得：，也可以用韦达定理来解决：两根之乘积为，所以另一个根是.【总结】本题主要考查对方程的根的概念的理解及运用.【作业2】

15、使分式的值等于零的 x的值是.【难度】【答案】4.【解析】分式的值等于零，且，【总结】本题主要考查解一元二次方程在分式值为零的计算中的运用.【作业3】关于x的一元二次方程有两个根和，则这个方程可以是（）.A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】可求得D的两解符合题意.【作业4】按照要求解下列关于 x的一元二次方程:（1）（用配方法）；（2）（用配方法）；（3）（用公式法）；（4）（用公式法）【难度】【答案】见解析.【解析】（1）,，；（2）,配方得：，.，；（3）,，；（4）.【总结】本题主要考查利用指定方法求一元二次方程的根.5】已知，求的值【难度】15，又，【总结】本题主要考查代数式化简求值以及整体代入思想的运用.6】用适当方法解下列关于x 的方程：1） ；（ 2） ；3） ；（ 4） ；5） ；（6）；7） ；（8）【难度】【答案】见解析（ 1） ，开平方得：，原方程的解为：，；（ 2） ，十字相乘因式分解可得：，原方程的解为：，；（ 3） ，整理得：，十字相乘因式分解可得：原方程的解为：， ；（ 4） ，提取公因式可得：，原方程的解为：，；（ 5） ，平方差公式因式分解