最新线性代数试题及答案

1、精品文档精品文档（试卷一）填空题（本题总计20分，每小题2分）1.排列7623451的逆序数是2.若aia12a21a221,则a11 3a12a213a22 00613 .已知n阶矩阵A、B和C满足ABC E,其中E为n 阶单位矩阵，则B1 CAo4 .若A为m n矩阵，则非齐次线性方程组AX b有唯一解的充分要条件是5 .设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4,则以A为 系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数 为_2 o10 06 .设A为三阶可逆阵，A1 2 1 0 ,则A* 3 2 17 .若A为m n矩阵，则齐次线性方程组Ax 0有 非零解的充分必要条件是12345已知五阶行列式30412

2、D 1111111023543219 .向量（2,1,0,2）T的模（范数）。10 .若 1 k 1T与 1 2 1T正交，则k 二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1 .向量组1，2，r线性相关且秩为S,则（D）A r sB . r sC . srD . s r2 .若 A 为二阶方阵)且 |A 2E 0,2A E 0,3A 4E 0)则 A (A)A 8B .8D. *33 .设向量组A能由向量组B线性表示，则(d )A . R(B) R(A)B , R(B) R(A)C . R(B) R(A)D . R(B) R(A)4 .设n阶矩阵A的行列式等于D,则kA等于(B) knA(C)

3、kn1A。c(A) kA(D) A5.设n阶矩阵A,B和C,则下列说法正确的(A) AB AC 贝f B CB 0(C) (AB)T ATBT(B) AB 0,贝1J|A 。或(D) (A B)(A B) A2 B2：、计算题（本题总计60分。1-3每小题分,4-7每小题9分）1 .计算n阶行列式D2222222322222222n 122n2. .设A为三阶矩阵，a*为A的伴随矩阵, 且 A 1）求（3A） 1 2A* .3. 求矩阵的逆精品文档4. 讨论 为何值时，非齐次线性方程组2 有唯一解；有无穷多解；无解。5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线 性方程组的基础解系和此方程组的通解。

4、x1x2x3x4 x1 2x3 2x4 52x13x2 x3 x46. 已 知 向 量 组 1 1 0 2 3T 、2 1 1 3 5T 、3 1 1 3 1T、4 1 2 4 9T、5 1 1 2 5T， 求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示1107. 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量102（本题总计10 分）设为AX bb 0的一个解，i, 2LL nr为对应 次 线 性 方 程 组 AX 0的 基 础 解 系 ， 证 明1, 2L L nr, 线性无关。（答案一）精品文档精品文档精品文档填空题（本题总计20分,115； 2、3； 3、CA； 4、RA

5、R(A,b)每小题2分）1 0n； 5、 2； 6、 2 13 27、 RAn； 8、0; 9、3;10、1.二、选择题（本题总计10分）每小题2分1、D；2、A; 3、D;4、C；5、B入计算题（本题总计1-3每小题分,4-7他每小题9分)1、ri2。 3,4, ,n)2211 ( 2) 1 2(n3) (n2)2(n 2)!（此题的方法不唯一，可以酌情给分。解:(1)AB2A23142211442611122211122211122252119101136178111207163.设A为三阶矩阵求(3A) 1*2A*2A(3A)1 *2A3A2A为A的伴随矩阵,An4、解:(A, E)32

6、1111004A 3011010001112431000113140100011627故A1公式求得结果也正确。）111(1)2(1)3(1)100100011010010011001001-3 分-6 分（利用A：5、解;(A,b)6、(D(2)(3)1(2)(1唯一解:131r2r103A022(1)2(1R(A) R(A,b)12112 r3 r211213,无穷多解：R(A) R(A,b) 3 无解： R(A) R(A,b)（利用其他方法求得结果也正确O解:X2X1X21 1(A,b)2 31 02x3X32x3X32X40x4 02x4 5x43基础解系为53-0211102-)-3

7、分7分-920 -61X3X40,得一特解:503 -7 分0故原方程组的通解为：522（此题结果k1 1 k2 203 k1 1 卜？ 1）其中 KN R-9 分001表示不唯一，只要正确可以给分。）1107、解：特征方程|A E|4 30（ 2）（ 1）2从而1021 2, 2 3 1（4 分）当1 2时,由（A 2E）X 0得基础解系1 （0,0,1）T ,即对应于1 2的全部特征向量为 八仕0） （7分）当2 3 1时，由（A E）X 0得基础解系2 （1, 2,1）T,即对应于2 3 1的全部特征向量为k2 2（k2 0）四、证明题（本题总计10分）证：由1,2LL nr为对应齐次线

8、性方程组AX 0的基础解系，则1，2LL nr线性无关。（3分）反证法：设1，2LL nr，线性相关，则可由1，2LL nr线性表示，即： 1 1 rr （6分）因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故 必是AX 0的解。这与已知条件为AX b b 0的一个解相矛盾。（9分）.有上可知，1，2LL nr，线性无关。（10 分）（试卷二）,、填空题（本题总计20分，每小题2分)1 .排列6573412的逆序数是. 2x 112 .函数f(x) X X X中x3的系数是 . 12 x3 .设三阶方阵A的行列式|A 3,则(A*)1 = A/3.4 . n元齐次线性方程组AX=0有非零解

9、的 充要条件是.25 .设向量(1, 2, 1)T)= 正交)则26 .三阶方阵A的特征值为1, % 2,则A =1 217.设 A 1 0 2 1 )贝1J A0 0 3设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4,则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维9 .设A为n阶方阵，且1a=2 则11*(3A) A10.已知A2 0 0,1.2 x 2相似于B 2)则3 1 1y二、选择题(本题总计10分，每小题2分)1. .设n阶矩阵A的行列式等于D,则-5A等 于.(A)(5)nD(B)-5 D (C) 5 D(D)(5)n1D2. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条 件是.(A)矩阵A有n个线性无

10、关的特征向量(B)矩阵A有n个特征值(C)矩阵A的行列式|A 0(D)矩阵a的特征方程没有重根3. A为m n矩阵，则非齐次线性方程组AX b有 唯一解的充要条件是.R(A,b) m(A)(B) R(A) m精品文档(C)(D) R(A) R(A,b) n4.设向量组A能由向量组R(A) R(A,b) nB线性表示，则分,每小题1022222222232222n1 2222n求矩阵X ,其中()(A) . R(B) R(A)(B) . R(B) R(A)(C) . R(B) R(A)(D) . R(B) R(A)5.向量组1, 2,l , s线性相关且秩为r , 则.(A) r s (B) r

11、 s (C) r(D) s r三、计算题(本题总计60分)121 .计算n阶行列式：d 2222 .已知矩阵方程 AX A X ,2 2 0A 2 1 3 .0 1 0精品文档精品文档3.设n阶方阵A满足A2 2A 4E 0,证明A 3E可逆, 并求 （A 3E） 1 .4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:x1x2 x3 2x4 3精品文档2x1 x2 3x3 8x4 83x1 2x2x39x4x2 2x3 3x445求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示214,221231,33,45.0126已知二次型f(x1,x2,x3)2x12

12、 5x225x324x1x24x1 x38x2x3用正交变换化f（Xl，X2,X3）为标准形，并求出 其正交变换矩阵Q（本题总计10 分，每小题10分）设b1 a1 ,b2a1a2bra1 a2 Lar且向量精品文档组”2,线性无关，证明向量组bib, ,br线性 无关.（答案二）,、填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 17 2. -2 3. "4. r(a)n5.26. -27. 1A1 或362 9、丁 10、x Qy 2:、选择题（本题总计10分，每小题2 分）1.A 2. A 3.C 4.D 5. B三、计算题（本题总计60分，每小题1、L2(i3,4,n)10220分

13、)220精品文档2 2r11 ( 2) 1 200(n003) (n2)n02(n2)!10分（此题精品文档的方法不唯一，可以酌情给分。2.求解AX A X,其中解：由AX A X 得1X AE A(3分）A E,A(6分）222021（10 分 ）3 解： 利用由 A分）X2(A 3E)(A E)1(A 3E) 1 (A E)4 求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐 次线性方程组的基础解系x1 x2 x3 2x4 32x1 x2 3x3 8x4 83x1 2x2 2x3 9x42A 4E 0可得：(A 3E)(AE)10分x1 2x2 3x34精品文档7 分 故 A 3E 可 逆 且精品

14、文档精品文档解：（Ab）i2301121100013120100289300103854211 0120 010001100121023103420（4（2分）分）则有X1X2X32x4 1x4 0x4 2（6分）取X4为自由未知量,x4 c,则通解为:XX2x3X421111020（8分）对应齐次线性方程组的基础解系为：（10 分），并将其余5.求下列向量组的秩和一个最大无关组向量用最大无关组线性表示.解:12342 12 34 13 52 0 122123011101112 12 30 1110 0 0 010-1 20 1110 0 0 0（2分）1,2为一个极大无关组.（4 分）设x1

15、 14y1 1 y2 21解得“ 2 , x2 1Vi1y2 1(8分)则有fM工）2x25x；5x234x1 x2 4x1x38x2x3222f的矩阵A 2 5 4245(2分）A的特征多项式（）（1）2（10）（4 分）041 2 1的两个正交的特征向量P11, P21111。的特征向量P3043213分）正正交矩阵Q1213223121.3223交变换x Qy：标准形f y2 y； 10y；四、证明题（本题总计 10 分）若设b1 a1，b2a a2， ,bra1 a2ar,且向量组3，ar线性无关，证明向量组b1,b2,br线性无关.证明：设存在%,%,L ,% R)使得M+ 2b2+

16、L + rbr=0也即化 简 得1a2(a1 a2) L r (a1 a2 L a) 0r)a1( 2 L r)a2L rar 0又因为"小©线性无关）则（8 分）解得所以，bL b2,L , 线性无关.（试卷三）、填空题（本题总计20分，每小题2分）1、按自然数从小到大为标准次序，则排列（2n）（2n 2）L 2 的逆序数为a b c d2、设 4 阶行列式 D4 d a c d 则 Ai A21 A31 A41 b d c a 7 ,7a d c b1 10 33、已知 A 0 2 7 ,贝U A* 1 00 24、已知n阶矩阵A、B满足a B BA,则E B 15、若

17、A为n m矩阵，则齐次线性方程组Ax 0只 有零解的充分必要条件是6、若 A 为 n m矩阵,且 R（A） 3 min n,m,则齐 线性方程组Ax。的基础解系中包含解向 量的个数为7、若向量 1 2 3T与向量 11T正交，则&若三阶方阵A的特征多项式为A E （1）（ 1）2 ,贝（J A 9、设三阶方阵A 2i、B i ,已知|A 6, |B| 1, 3 22贝U |A B IO、设向量组1,2, 3线性无关，则当常数l满足 时，向量组 2 1, 3 2,13线性无关.:、选择题（本题总计10分，每小题2分）1、以下等式正确的是A.ka ba bkkc dc da c b d a

18、 bc d c dka kbkc kdD.2、4阶行列式det（aj）中的项 ana33a44a22 和 a24 a31313 a42 的 符号分别为（）A .正、正B .正、负C .负、负D .负、正3、设A是mn矩阵，C是n阶可逆阵，满 足B = AC.若A和B的秩分别为a和Q , 则有（）B .A rbA .rarbD.以上都不正确4、设A是m n矩阵，且R(A) m n ,则非齐次 线性方程组Ax b ()A .有无穷多解B .有唯一解C .无解D.无法判断解的情况5、已知向量组1,2,3, 4线性无关，则以下线 性无关的向量组是（）A .XX 12 ,23 ,34,41B 12,23

19、 ,34, 41c12,23 ,34, 41D 12 ,23 ,34, 41入计算题(本题总计60分，每小题10 分)1 .求矩阵A 2；的特征值和特征向量.2 .计算n1阶行列式11L1a000La11Dn 1MM MM0 an 1L 01an 00013 .已知矩阵A且满足AXB C ,求矩阵X.4 .求下列非齐次线性方程组所对应的齐 次线性方程组的基础解系及此方程组的 通解X X2 X3 X4 X513x 2x2 x3 x4 3x5 3 x2 2x3 2x4 6x5 0 5x1 4x2 3x3 3x4 % 524,求矩阵A的4 /912115 .已知矩阵a 1121 6 4 226 39

20、7列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示.6.已知A为三阶矩阵，且1A 2,求11*A 3A12四、证明题(本题总计10分)设向量组1，2，L，n中前n 1个向量线性相 关，后n 1个向量线性无关，试证：(1) 1可由向量组2, 3,L,n1线性表示；(2) n不能由向量组1, 2,L,n1线性表示.(试卷四)、填空题(本题总计16分，每小题2分)1、按自然数从小到大为标准次序，则排列13L(2n1)242 4阶行列式D411103、已知A029002L(2n)的逆序数为1 24811111 4 16 641 5 25 125,A*为A的伴随矩阵，则A* 1 4、已知n阶

21、方阵A和B满足BA A B,则E B 15、已知A为m n矩阵，且R(A) r min m, n,则以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax 0的基础解系中包含解向量的个数为6、已知四维列向量12 5 1 3T、2 10 1 5 10 T、34 111T,且 31X 2 2 X 5 3 x ,贝Jx 7、把向量1 0 2 2 T单位化得&若三阶方阵A的特征多项式为f( )( 1)(1)2 ,贝|A 2E :、选择题(本题总计14分，每小题2分)1、已知a,b,c,d,k R,则以下等式正确的是A.ka b a bk kc d cdka kba bkc kdc dC acbdab口 abdc, c d cd, cd ba2、设A和B为n阶方阵，下列说法正确 的是()A .若 AB AC ,则 B CB .若 AB 0 ,则A 0或B 0C .若 AB| 0 ,则 |A 0 或 |B 0 D .若 A E 0 , 则A E3、设A是m n矩阵，且R(A) m n,则非齐次线性方程组Ax b()B.有无穷多A.有唯一解解C .无解D.无法判断解的情况4、向量组的秩就是向量组的