浙江2014复习数学（理）试题选编-30：椭圆（学生版）

1、浙江省2014届理科数学复习试题选编30：椭圆一、选择题 （浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）已知椭圆:和圆:,过椭圆上一点引圆的两条切线,切点分别为. 若椭圆上存在点,使得,则椭圆离心率的取值范围是（）ABCD （浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）在直角坐标平面中,的两个顶点（）AB的坐标分别为A(-1,0),B(1,0),平面内两点G.M同时满足下列条件:(1) (2)(3)则的顶点C的轨迹方程为（）A B C D （浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面

2、积的取值范围是,则这一椭圆离心率 的取值范围是（）ABCD （温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）椭圆M:长轴上的两个顶点为、,点P为椭圆M上除、外的一个动点,若且,则动点Q在下列哪种曲线上运动（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线 （浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）如图,等腰梯形中,且,设,以、为焦点,且过点的双曲线的离心率为;以、为焦点,且过点的椭圆的离心率为,则 （）A当增大时,增大,为定值B当增大时,减小,为定值 C当增大时,增大,增大D当增大时,减小,减小 （浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）设是椭圆的左.右焦点,为直

3、线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为（）A BCD （浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）是椭圆(的两个顶点,是它的左焦点,线段被椭圆截得的弦长等于线段的中点到的距离,则椭圆离心率为（）ABCD （浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则（）ABCD （浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知椭圆,则当在此椭圆上存在不同两点关于直线对称时的取值范围为（）AB CD （浙江省宁波市2013届高

4、三第二次模拟考试数学（理）试题）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点A是椭圆的一个短轴端点,如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知椭圆,过右焦点F 做不垂直于x轴的弦交椭圆于（）AB两点,AB的垂直平分线交x轴于N,则（）ABCD（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）设点是椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点, 为的内心,若,则该椭圆的离心率是（）ABCD 二、填空题（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）椭圆的左焦

5、点为,直线与椭圆相交于点、,则的周长的最大值是_. （浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）已知,是椭圆的两个焦点,满足的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是_.（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点.,当的周长最大时,的面积是_.（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）过椭圆左焦点且不垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,AB的垂直平分线交x轴于点,则_;（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知椭圆C:的右焦点为F(3,0),且点在椭圆C上,则椭圆C的标准

6、方程为_.（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为_.（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）椭圆的内接平行四边形ABCD的各边所在直线的斜率都存在,则直线AB与直线BC斜率乘积为_. 三、解答题（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word版） ）已知离心率为的椭圆上有一点,直线与此椭圆交于两点(如图), 若(I)证明:四边形的对角线不可能垂直; (II)若直线与的倾斜角互补,记短轴端点到的距离

7、为,求的值.（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,且经过点.()求椭圆的方程;()如果过点的直线与椭圆交于两点(点与点不重合),求的值;当为等腰直角三角形时,求直线的方程.（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(本小题满分15分)如图,已知椭圆,P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点(P2位于P1右侧),点F是椭圆E的右焦点,点Q是x轴上位不动声色P2右侧的一点且满足.(1)求椭圆E的方程以及点Q的坐标;(2)过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点,连接AF并延长交椭圆于点C,连结AF并延长交椭圆于点D.求证:B、C关于x轴对称;当四边

8、形ABCD的面积取得最大值时,求直线l的方程;（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知圆O:,直线l:与椭圆C:相交于P、Q两点,O为原点.()若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A、B两点,且,求直线l的方程;()如图,若重心恰好在圆上,求m的取值范围.（第21题）（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word版） ）已知椭圆的离心率,是椭圆的右焦点,若不经过原点的直线与椭圆相交于不同的两点、,记直线的斜率分别为,且.()求椭圆的方程;()求证:直线的斜率为定值,并求面积的最大值.（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）如图

9、,椭圆上的点到左焦点为的最大距离是,已知点在椭圆上,其中为椭圆的离心率.()求椭圆的方程;()过原点且斜率为的直线交椭圆于、两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交椭圆于另一点.证明:对任意的,点恒在以线段为直径的圆内.（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点(2,3),且它的离心率.()求椭圆的标准方程;()与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）椭圆:的右焦点与抛物线的焦点重合,过作与轴垂直的直线与椭圆交于两点,与抛物线交于两点,且.(1)求

10、椭圆的方程;(2)若过点的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足为坐标原点),当时,求实数的取值范围.（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图.直线l:y=kx+1与椭圆C1: 交于A,C两点,A. C在x轴两侧,B,D是圆C2:x2+y2=16上的两点.且A与B. C与D的横坐标相同.纵坐标同号.(I)求证:点B纵坐标是点A纵坐标的2倍,并计算|AB|-|CD|的取值范围;(II)试问直线BD是否经过一个定点?若是,求出定点的坐标:若不是,说明理由.（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）已知椭圆的右焦点在圆上,直线交椭圆于两

11、点.()求椭圆的方程;()设点关于轴的对称点为,且直线与轴交于点,试问的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）如图,椭圆的左、右焦点分别为,已知点和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点,(I)若,求直线的斜率;(II)求证:是定值.ABPyxF1F2O（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.()求椭圆的方程;()若过点(2,0)的

12、直线与椭圆相交于两点,为椭圆上一点, 且满足(为坐标原点).当 时,求实数的值.（浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷）给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为.()求椭圆及其“伴随圆”的方程;()若过点的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为,求的值;()过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,当直线都有斜率时,试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知椭圆C：(.（1）若椭圆

13、的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标 原点），求直线的斜率k的取值范围；（3）如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点，设原点到四 边形一边的距离为，试求时，满足的条件.（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）（本小题满分15分）已知点，过点作抛物线的切线，切点 在第二象限，如图（1）求切点的纵坐标；(2)若离心率为的椭圆恰好经过切点，设切线交椭圆的另一点为，记切线的斜率分别为，若，求椭圆方程（第21题图）（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）如图

14、,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的短轴长.与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点,直线分别与相交于点.(1)求.的方程; (2)求证:.(3)记的面积分别为,若,求的取值范围.MxyABODE（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知椭圆的离心率为;直线过点,且与椭圆相切于点.()求椭圆的方程;()是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、,使得 ? 若存在,试求出直线的方程;若不存在,请说明理由.（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,直线:x=-将线段F1F2

15、分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.() 求椭圆C的方程;() 求的取值范围.(第21题图)OBAxyx21MF1F2PQ（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）如图,已知椭圆,直线的方程为,过右焦点的直线与椭圆交于异于左顶点的两点,直线、交直线分别于点、.()当时,求此时直线的方程; ()试问、两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word版） ）已知是圆上的一个动点,过点作两条直线,它们与椭

16、圆都只有一个公共点,且分别交圆于点.()若,求直线的方程;()(i)求证:对于圆上的任一点,都有成立;(ii)求面积的取值范围.（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1,F2, O为原点.(I)如图,点M为椭圆C上的一点,N是MF1的中点,且NF2丄MF1,求点M 到y轴的距离;(II)如图,直线l: :y=k + m与椭圆C上相交于P,G两点,若在椭圆C上存 在点R,使OPRQ为平行四边形,求m的取值范围.（2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）已知椭圆C:的离心率为,右焦点到直线 的距离为.()求椭圆C的方程;()若直线

17、 与椭圆C交于A、B两点,且线段AB中点恰好在直线上,求OAB的面积S的最大值.(其中O为坐标原点).（浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知椭圆C:()的右焦点为F(1,0),短轴的端点分别为B1,B2,且.()求椭圆C的方程;()过点F且斜率为()的直线交椭圆于M,N两点,弦MN的垂直平分线与轴相交于点D.设弦MN的中点为P,试求的取值范围.（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）若是椭圆上一点,分别是椭圆的左、右顶点,直线的斜率的乘积等于.()求椭圆的离心率的值;()过椭圆的右焦点F且斜率为1的直线交椭圆于两点,为坐标原点,若AOB的

18、面积为,求此椭圆E的方程;若为椭圆上一点,满足,求实数的值.（第21题）（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点(1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程.xOyBl1l2PDA（第21题图）（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）已知椭圆:,直线过点.()若直线交轴于点,当时,中点恰在椭圆上,求直线的方程;()如图,若直线交椭圆于两点,当时,在轴上是否存在点,使得为等边三角形?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.（浙江省名校新高

19、考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆,它的离心率为,一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线,切点分别是A,B.()求椭圆的方程;()若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点;并出求定点的坐标.()是否存在实数,使得恒成立?(点为直线恒过的定点)若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）已知点是椭圆上一点F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1x轴.()求椭圆E的方程:()设A、B是椭圆E上两个动点,.求证:直线AB的斜率为定值;()在()的条件

20、下,当PAB面积取得最大值时,求的值.（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题 ）已知点是椭圆E:()上一点,F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1x轴.()求椭圆E的方程;()设A、B是椭圆E上两个动点,().求证:直线AB的斜率为定值;()在()的条件下,当PAB面积取得最大值时,求的值.（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）已知斜率为的直线交椭圆于两点.(1)记直线的斜率分别为,当时,证明:直线过定点;(2)若直线过点,设与的面积比为,当时,求的取值范围.浙江省2014届理科数学复习试题选编30：椭圆参考答案一、选

21、择题 D解析: ·=0PAPB.又PA,PB为圆O切线, OAPA,OBPB. 四边形OAPB为正方形. OP=ba,即a22b2=2(a2-c2)a22c2, e<1. C A B B C D A B D B A 二、填空题 16 3 解:特值法:当AB为长轴时,AB=6, NF=2 +=1 【解析】 设椭圆方程为+=1(a>b>0), 因为离心率为,所以=,解得=,即a2=2b2. 又ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a,所以4a

22、=16,a=4,所以b=2,所以椭圆方程为+=1. 三、解答题 (I)解:设, 当时,所以椭圆方程为,联立直线 可得 由韦达定理可得,所以 , ,故 所以四边形OABP的对角线不可能垂直 (II)与直线OP的倾斜角互补,则有,即,故 因为在椭圆上,代入有:,故 短轴端点到的距离 即, 解:() 设椭圆的标准方程为 由已知得: 解得 所以椭圆的标准方程为: () 因为直线:与圆相切 所以, 把代入并整理得: 设,则有 因为, 所以, 又因为点在椭圆上, 所以, 因为 所以 所以 所以 的取值范围为 (1)设椭圆的半长轴.半短轴.半焦距为,则,且, ,又, , (2)由题,直线斜率存在,设直线:

23、,联立,消得: ,由,得 设,由韦达定理得, , 则 或(舍) 由得: 则的中点 ,得代入椭圆方程得: ,即 ,即 (I)证明:设,根据题意: ,同号, 设,同理可得 , 由 在轴的两侧 【这里的取值范围直接从图中观察得到,照样给分】 (II)解:直线的斜率 直线的方程为 直线的方程为 直线过定点 解:()由题设知,圆的圆心坐标是,半径是, 故圆与轴交与两点, 所以,在椭圆中或,又, 所以,或(舍去,因为) 于是,椭圆的方程为 ()因为、 联立方程 , 所以, 因为直线的方程为,令, 则 ,所以点 解法一: . 当且仅当即时等号成立. 故的面积存在最大值 (或: . 令, 则. 当且仅当时等号

24、成立,此时. 故的面积存在最大值为 解法二: . 点到直线的距离是 所以, 令, 则. 当且仅当时等号成立,此时. 故的面积存在最大值为 解 (1) 由题设知. 由点(1,e)在椭圆上,得 解得,于是, 又点在椭圆上,所以,即,解得 因此,所求椭圆的方程是 (2)由(1)知,又直线与平行,所以可设直线的方程为, 直线的方程为.设 由得,解得 故 同理, ()由得解得, 因为,故,所以直线的斜率为 ()因为直线与平行,所以,于是 故.由点B在椭圆上知 从而.同理 因此 又由知 所以.因此是定值 解:()由题意知; 又因为,所以, 故椭圆的方程为 ()设直线的方程为, 由得 , ,.又由,得, 可

25、得. 又由,得,则, 故,即 得,即 (1)椭圆方程为:; 椭圆C的“伴椭圆”方程为: (2)设直线方程为: 因为截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为, 所以圆心到直线的距离为 , 又得 , (3)设,直线, 由(2)可知 即 又 为定值 解：（1） （2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：由得.,（1）又由 所以（2）由（1）（2）得。（3）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等。当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，则直线RQ的斜率为，由，得(1)，同理(2)在RtOPQ中，由，即所以，化简得， ，即。综上，

26、d=1时a,b满足条件解：(1)设切点，且，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，即点的纵坐标 (2)由() 得，切线斜率，设，切线方程为，由，得，所以椭圆方程为，且过， 由，将，代入得：，所以，椭圆方程为 解: ()由题得过两点,直线的方程为 因为,所以,. 设椭圆方程为, 由消去得,. 又因为直线与椭圆相切,所以,解得. 所以椭圆方程为 ()易知直线的斜率存在,设直线的方程为, 由消去,整理得 由题意知, 解得 设,则, 又直线与椭圆相切, 由解得,所以 则. 所以. 又 所以,解得.经检验成立. 所以直线的方程为 本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几

27、何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分. () 设F2(c,0),则=, 所以c=1. 因为离心率e=,所以a=. 所以椭圆C的方程为 OBAxyx21(第21题图)MF1F2 () 当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-,此时P(,0)、Q(,0) . 当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k,M(-,m) (m0),A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得 (x1+x2)+2(y1+y2)=0, 则-1+4mk=0,故k=. 此时,直线PQ斜率为,PQ的直线方程为 . 即 . 联立 消去y,整理得 . 所以,. 于是(x1-1)(x2-1)+y1y2 . 令t=1+32

28、m2,1<t<29,则. 又1<t<29,所以. 综上,的取值范围为,) 解:()当直线的斜率不存在时,由可知方程为 代入椭圆得又 不满足 当直线的斜率存在时,设方程为 代入椭圆得 设得 - 故直线的方程; 解:()设,代入消去,得 由得, 设的斜率分别为,得. 所以直线的方程分别为 ()(i)证明:当中有一条斜率不存在时,不妨设无斜率, 因为与椭圆只有一个公共点,所以其方程为.当方程为时,此时与 圆交于点,所以方程为(或),显然直线垂直; 同理可证方程为时,直线垂直 当斜率都存在时,设点,且. 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为, 代入消去,得. 由化简整理得, 因

29、为,所以有 设的斜率分别为,因为与椭圆只有一个公共点, 所以满足上述方程,所以,即 垂直. 综上,成立 (ii)方法1:记原点到直线的距离分别为, 则面积 因为,所以. 所以面积的取值范围为 方法:2:记原点到直线的距离分别为,因为,所以面积 满足, 且,所以,即. 所以面积的取值范围为 解(), 设,则的中点为, ,即, (1) 又有, (2) 由(1)、(2)解得(舍去) 所以点M 到y轴的距离为 ()设, OPRQ为平行四边形, R点在椭圆上, 即, 化简得,.(1) 由得. 由,得(2), 且 代入(1)式,得, 化简得,代入(2)式,得 又, 或 解: (I)由题意得, 所以,所求椭圆方程为. (II)设,把直线代入椭圆方程得到 , 因此, 所以中点, 又在直线上,得, , 故