赤峰市中学数学骨干教师培训班

1、高观点下的中学数学 宁城县教研室赵国义内容提要：一、实践的观点；二、现代数学的观点；三、对称的观点；四、站在系统高度的观点。关键词：现代数学、实践、对称、系统高度。现代数学对数学教师的素质提出了更高的要求，尤其在知识素养方面。因为精深的知识是教师在教学中顺利完成教学任务的基本条件，为了掌握精深的专业知识，教师必须钻研所教学科，精通其基础知识，熟悉其基本结构及各部分之间的内在联系，了解学科的历史发展、现实状况、发展动向及最新研究成果。形成较全面、系统、完善的专业知识体系。因此教师的专业知识无论在深度和广度上都必须远远超过教学大纲的要求。教师对所教学的专业知识越精深，对教材的理解才能透彻，处理教材

2、才能灵活、准确、深入浅出。如果教师所掌握的只是教材上的那点知识，不进行专业知识的探索研究，甚至显露出对所教学学科专业知识的无知，浅薄的错误，那么他就失去了做教师的资格。学生可以原谅教师的严厉、盲从刻板，甚至吹毛求疵，但却不能原谅教师的不学无术。所以中学数学教师应该具有精深的、系统的专业知识，有较高的认识问题的观点，才能适应现代教学的要求。一、实践的观点这里，我们展示一个学生对教材的一个习题的认识。例1某采石厂爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后，要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域；导火线燃烧的速度是1厘米/秒，人离开的速度是5米/秒，导火线至少需要多长？（初中代数第一册（下）P73

3、人民教育出版社）这是一道解不等式的应用题，学生的解法如下：设导火线至少需要米长.(1) (2) (3)400列出(1)式的学生认为，人要转移到来400米以外的安全区域, 所以应用“”号， 列出(2)式的学生认为问的是导火线至少需要多长，所以应用“”号；列出(3)式的大多是平时成绩比较好的学生，他们考虑问题严谨，认为还需要考虑导火线的长度，最后的答案也是绝对正确：导火线至少需要米。由此引起了一些教师的争论，意见也不一致，取号“”者抓住了“以外”，取“”号者坚持“至少”。有人认为这两种情况都算对，便马上遭到反对：同一个数学问题，出现两种不同的结果，必然一对一错；也有的老师认为这个题意不明确，孰是孰

4、非，谁也说服不了谁。制造炸药的厂家会有这样的问题吗？点燃炸药的人会这样想吗？他们会感到不好解吗？他们会感到题意不明吗？恐怕不会，那么为什么我们的学生、老师会有这样的问题呢？事实上，我们可以清楚看到，在实际生活中人们运用数学处理问题时还常常伴随着“估算”和“逼近”的做法，而我们的学生、教师则习惯于“书本数学”、“学校数学”，纯粹是为了做数学题而做数学题，即使是应用题，也很少考虑实际需要，仅仅从形式上追求逻辑上的严谨，死抠一些字眼“以外”、“至少”，并不考虑其在实际中的价值，把“书本数学”、“学校数学”与实际需要完全隔离开来。我们在培养学生分析问题和解决问题能力的同时，应该努力引导学生将书本知识与

5、实际生活联系起来，也就是说，我们一方面要培养学生数学地看待现实生活问题；另一方面，也要培养他们能从现实的角度去看待数学，运用数学。否则，如果不把应用问题与实际背景结合进来，即使增加些应用题的训练，也未必真正地使学生形成用数学的意识。例2今有一控制室，欲知道X、Y、Z三条导线的电阻。这三条导线，一端在控制室，另一端在楼上同一地点。现手头有一只电表可在控制室内测量电阻，试设计一种数学方法求三根导线的电阻。解：只需将X，Y；Y，Z；Z，X在楼上的一端两两接上，以形成闭合电路，在控制室量出它们的电阻为X+Y=Y+Z=Z+X= 解此方程即可得说明：这是上海某宾馆中的一个实例，很有启发性。它不是单纯地要求

6、解现成的方程，而更重要的是用方程观点来观察和解决问题。二、现代数学的观点众所周知，教学大纲和教材是教学的主要依据，教师能否通晓并驾驭教材，则是提高教学质量的一个关键。实践证明，只要运用现代数学的观点，才能高屋建瓴握教材。例3在中学平面几何课本中对于构造一个命题的逆命题是这样写的：设原命题是“若A则B”，那么逆命题是“若B则A”。abbcacabacbcacbcab如命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”。现在的问题是当一个命题的题设或结论所含的事项不止一条时，制造它的逆命题便有所不同了。如“在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”，用数学符号写成： 它的逆命题是 或 acbcab

7、而未闻以 与 交换后作为逆命题的说法 。通过数理逻辑的学习，澄清了逆命题制作中的混乱和分歧：制作逆命题时要在原命题的题设和结论中各取出一般多条的事项交换【1】。同时我们建议课本将“每个命题都是由题设和结论两部分组成”改为“许多命题都是由题设和结论两部分组成”。按现行教材命题都可写成“如果，那么”的形式。事实上并非都是如此，命题“ABC是直角三角形”就不能写成“如果，那么”的形式。由现代逻辑我们知道，特称直言命题都不能写成条件命题的形式，即“如果，那么”的形式。集合 不是完备的联结词集。这从理论上说说明了并非每个命题都是条件命题。例4高中课本有这样一道题：判断命题“复数集C与复平内所有向量的集合

8、一一对应 ”的真假，并说明理由。答好这道题，无疑是对加深无穷集合、一一对应等要概念的理解，但是从80年代初课本引入这道以来，与之配套的教学参考书的答案一直是“假，因为实际上是复数集C与复平面内所有以原点为起向量所成的集合一一对应”。为什么众多高等数学教材早就明确指出同方向，等长度的向量不加区别地看成同一向量的情况下，还会错近20年？足见传统的、静态、绝对主义的数学观影响之深。其实，现代数学抽象地将向量定义为同方向、等长度的有向线段的一个等价类，这和坐在教室里上课的张三同学与在足球场上踢球的张三同学是同一个人，没有什么两样。例5函数的概念。初中课本将函数描述性地定义为两个变量间的一个对应：如果在

9、某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内每确定一个值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应。到了高中学了映射后，对函数概念的描述有了进一步的深化。 我们在听课中了解到，一些数学教师死抠“定义”中“两个变量”、“唯一确定”的字眼，竟用这样的题来“考查”学生对函数概念的理解程度：判断下列式子是不是函数：三角形面积，。答案都不是，前者是因为有两个自变量a、h，后者是因为对于一个x有两个不同的y值与之对应。事实上，中学对于函数的定义仅仅是描述性的，这样符合学生认知规律。但我们不能据此来“咬文嚼字”来“考查”学生。因为根据现代数学观点，函数不仅有单变量函数，还有多变量函数；不仅有单

10、值函数，还有多值函数。例6为什么要把“0”作为一个自然数？现在已明确地把数“0”作为一个自然数，为什么？如果把这看成一个规定，就是说，可以把“0，1，2，n，”作为自然数，也可以把“1，2，n，”作为自然数。显然，这样的“解释”是不够的。首先是自然数的功能，自然数具有三个基本功能，一是刻划某一类“东西”的多少，用现代的数学语言来说就是描述一个有限集合的基数；二是刻划一类“事物”的顺序，第一、第二、，用现代数学语言来说，描述一个有限集合的元素的“顺序”性质。进一步说，自然数既是基数，又是序数；三是“运算功能”。自然数可能做加法运算和乘法运算。其次空集是集合中最重要也是最基本的集合，也是我们在描述

11、周围现象中经常用到的集合，在数学中更是经常要用到的。集合分为有限集合和无限集合两类，把空集作为一个有限集合是很自然的，并且我们很容易理解应该用“0”来描述“空集”中含元素的多少。如果把“0”作为一个自然数，那么“所有自然数”就可以完整地刻画“有限集合元素多少”的“任务”了，而没有“0”的“所有自然数”总是有“缺陷”，因为自然数可以表示“空集”所含元素的多少。这们我们从自然数的一种基本功能方面说明了为什么把“0”作为自然数的好处。第三把“0”作为一个自然数是否会影响自然数的“序数功能”和“运算功能”？回答是不会的，不仅不会，还会使这两项功能更加“完整”。序数功能：1、传递性。如果a>b,

12、b>c,那么a>c。2、三歧性。对于任意两个自然数，或者a>b,或者b>a或者a=b，三者必具其一。运算功能：把“0”作为自然数，加法和乘法中所有的“运算法则”依旧保持，同时保持加法和乘法运算的结合律和交换律，以及乘法对加法的分配律。既然“0”加盟到自然数集合中，只有好处，没有坏处，为什么我们不应该欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢？希望我们的老师和同学更好地理解“0是一个自然数”，这样做是理所当然的，而不仅仅是人为的“规定”。也希望我们的老师和同学们养成一个习惯，不仅仅知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考它们“后面”的数学含义。三、对称的观点这里的对称，既

13、不是中心对称，也不是轴对称。毛主席会见李政道博士时，毛主席问，为什么“对称”是您的一种指导思想？李政道先生回答，我们说的对称，是平衡，是指世上万世万物，一切都处在它应处在的位置上。唐朝宰相魏征以敢触动龙颜，极言直谏著名于世，他对宦官高力士对皇帝阿谀奉承的一副奴才相厌恶至极，曾对唐太宗进言，这样的人你怎么还用呢？唐太宗答道，我既需要你这样的人才，也要他那样的奴才。也是这个道理。数学非常美，是指它高度的严谨和合理而达到的和谐。这种合理和谐，是作为数学科学的广义对称。例7把多项式在有理数范围内因式分解。对于中学生，这道题目不太容易，因为用到的方法“余式定理”或“待定系数法”等都是超纲的，可是利用对称

14、的方法来分析，什么都无须用，三想两想，题目就做出来了。分析：如果可以分解，那么两个因式应是一个一次式，一个二次式，或三个一次式。由于这三个一次式中的任何两个乘起来得一个二次式，所以可以认为若原式能分解，必定是一个一次式与一个二次式相乘的形式。=（ ）（ ）。这里第一个括号内是一次式，它应该是什么样的呢？由于从原式看出，a、b、c是对称的，那在第一个括号内，a、b、c应是对称的，即都要出现，系数也相同，若不是“+1”，提出后系数都是“+1”，所以第一个括号内应是a+b+c。从还原的角度看，第二个括号内应有“+ a2”，而a、b、c是对称的，那么就应该有“+b2”、“+c2”，这时第二个括号内就出

15、现了a2+b2+c2。从还原的角度看，出不来-3abc的“”号，因此，第二个括号前三项之后应出现负项，先考虑这负项是二次项，写出了“-ab”，由于a、b、c是对称的，必须有“- bc”、“- ac”。从还原的角度，不可能出现含a、b、c的一次项。这样便得了：对不对呢？把它展开，能还原回去，说明分解正确。以下几例请教师们用广义对称的观点来理解，并做出解释：1、 余弦定理在三角形ABC 中； 2、 三角形面积S=3、 三角形面积S=；4、 三角形面积S=；5、 三角形面积S=例8朋友，当你面对着下面一串数字：039， 072， 100， 152， 520， 9.54你会想到什么呢?它们是太阳系中水

16、星、金星、地球、火星、木星、土星这六大行星到太阳的平均距离（以日地距离为计量单位，即天文单位）。乍一看，这些数字毫无规律可言，可是到了1766前后，德国的一位数学教师提麦斯经过一番试算与比较，发现了这样一个法则先写出一个等比数列：03， 06， 12， 24， 48， 96，然后在这个数列前面加上一项0，再将每个数都加上04，就得到：04， 07， 10， 16， 28， 52， 10，这些数字跟各行星到太阳的平均距离十分相近。提麦斯的发现被他的朋友，柏林天文台长，天文学家波德知道后，认为这个数列与实际符合的很好，就于1772年发表了，后来称之为提麦斯波德法则。显然，提麦斯波德法则可有经验公式

17、：来表示。当前，n = -，0, 1，2， 4，5时，公式分别给出水星、金星、地球、火星、木星、土星这六大行星到太阳的平均距离。当时人们只知道太阳系有六大行星，可是按照提麦斯波德法则，还有n=3时的数值没有行星与之对应，于是天文学家大胆的预言：在火星与木星之间还有一颗尚未发现的行星，它到太阳的平均距离是2.8天文单位。紧接着天文学家开始进行艰苦细致的搜寻。后来，不仅在预定的空间发现了“小行星带”，而且还射鹿得马，在此之间发现了另一颗行星天王星。“小行星带”到太阳的平均距离为2.77天文单位，天王星到太阳的平均距离为19.19, 这两个数恰是提麦斯波德法则中n=3和n=6的近似值。至此,我们足以

18、领略到数学的“对称与和谐”的神奇风采和强大威力。四、站在系统高度的观点举一个例子：例9为了把铅球推得更远，最佳出手角度是多少？许多学生还有一些教师都认为最佳出手角度是45°，这是一个错误答案。这是因为在高一物理课上，有一道物理题：V0sinV0V0cos证明当仰角为45时，斜抛物体的水平射程最大。把斜抛物体的初速度V0分解为竖直方向的初速度V0sin和水平方向的初速度V0cos射程当且仅当2=90°，即=45°时，射程s取得最大值，证明完成。这个证明有错误吗？没有。但不能拿来作为掷铅球最佳角度也是45°的证明，因为掷铅球时，铅球的出发点是投掷手的位置，落

19、地点和它不在同一水平线上，这样铅球在水平方向上匀速运动的时间已不是，而应是，这里t1由，其中h是铅球离开投掷手时的高度。这是为什么？根源之一是条条框框割裂的教学方式肢解知识的结果，学生活生生的思考过程也被肢解了，不求甚解，这哪是提高学生的素质。例10在小学解应用题时，是用列算术的方法，上中学后改为列方程的方法，学生一时不适应这种改变。这时，应该怎样解决？不少老师说，初一代数的难点，是列一元一次方程解应用题。它之所以难，是因为学生按算术方法列算式的思维方式根深蒂固，必须排除这个干扰！要对学生说，一上中学，赶紧要求自己把列算式的方法忘掉，免得影响你掌握列方程的方法。这是一个孤立地、割裂地教学方式的

20、典型例子。事实上，算术方法所列的算式其实也是一个方程，不过只写了一半，如果把所列算式后面写一个x,，不就是一个方程吗？对于一个适用于列出一元一次方程来解的应用题，可以列出许多方程来解，即任选取一个量，用两种不同的方式分别表达，中间联一个等号就是一个方程。当选择这个量是题目所求的量，方程右边的表达式就是x，而左边的表达式不许含有x，那么左端不下是用算式法列出算式吗？由于算术方法的限制了选择这个量必须是所求量，只写上个x，这事实上是把思考量集中到等式的一端，则增加了思考难度，同时左边表达式中不得利用所求量，再一次增加了思考难度，所以在解一道可以利用一元一次方程解决的应用题时，列算式的方法不如列方程

21、的方法来得迅速。对算术方法和列方程方法比较还应一分为二，那就是算术方法为什么难？那是因为它这个方程的右边是x，把它放到一个特殊位置上，于是整个题目的思考量全部集中到左边；而列方程的方法，一般情况下，把思考量分担到左右两端，要求的量与其它已知量地位相同，平等对待，每端的思考量都不大。 但问题的也有其另一面，完成一个算式对思维的训练难度大，收获也大。站在系统的高度把握知识，发现解一元一次方程的应用问题，代数的方法（列方程）包含算术方法，算术方法不过是代数方法的特例。例11例如“一元二次方程根与系数的关系”这节课，一位教师是这样进行教学设计的: 先让学生解方程: x2-3x+2=0 x2+5x+6=

22、0 5x2-7x-6=0. 求出每个方程的根x1、x2，再让学生计算x1+x2、x1x2，并要求学生观察归纳x1+x2、x1x2与相应方程的系数有什么关系？最后根据一元二次方程的求根公式推导出.这是一个孤立地、割裂地教学方式的典型例子。为什么要求学生求x1+x2、 x1x2，而不让学生求x1x2 , 呢? 如果站在系统的高度把握知识， 事实上，一元二次方程的求根公式直接反映了一元二次方程的根是由方程的系数确定的，公式就是利用系数计算出根的表达式，表现了一元二次方程根与系数的关系.但这个关系比较繁，其主要原因是从形式上看是无理式，我们能否把它化简？而化简的主要方向就是化无理式为有理式，那么怎么把两根中的化掉呢？很显然在每个根内部去变形很难达到目的，必须对这两个根实施某种运算，而常见的运算就是加、减、乘、除，请同学们计算，. 比较运算结果，哪个能实现化无理式为有理式的目的，哪个看上去更为简捷？通过比较，让学生从中选出最优结果. 这样 就被优化出来。在教学过程中，对任何细节，都要鼓励学生追根溯源，凡事都去问个为什么。例12我们知道，