湖北2013高三最新文科数学分类汇编7：立体几何

1、湖北省2013届高三最新文科数学（精选试题17套+2007-2012六年湖北高考文科试题）分类汇编7：立体几何一、选择题 （湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（）数学（文）试题）设一个四面体的体积为V1,且它的各条棱的中点构成一个凸多面体,其体积为V2,则V2/V1为（）A1/2B2/3C3/4D5/6 【答案】A （2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖北卷）在棱长为1的正方体中,分别为棱的中点,为棱上的一点,且.则点到平面的距离为 （）ABCD【答案】D （2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-湖北卷）用与球必距离为1的平面去截球,所得的截面面

2、积为,则球的体积为（）ABCD【答案】D （湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题）某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是侧视图421俯视图2正视图第8题图（）ABCD【答案】答案:D 【解析】此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体,体积 . （2010年高考（湖北文）用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:若ab, bc,则ac;若则;若a, b,则ab;若,则ab.其中真命题的序号是（）ABCD【答案】C （2009年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=900,ACC1=600,BCC1=450,侧棱CC1

3、的长为1,则该三棱柱的高等于（）ABCD【答案】A （湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（文）试题(试题与答案纯WORD版)）将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为【答案】B （2011年全国高考文科数学试题及答案-湖北）设球的体积为,它的内接正方体的体积为,下列说法中最合适的是（）A比大约多一半B比大约多两倍半 C比大约多一倍D比大约多一倍半【答案】D （湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（文）试题 ）设、是两个不同的平面,m、n是平面内的两条不同直线,l1,l2是平面内的两条相交直线,则的一个充分而不必要条件是（）Am

4、且nBm且n Cm且nDm且【答案】A （湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（文）试题）一个三棱锥的三视图如图,则该三棱锥的体积为（）ABCD【答案】A （湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（文）试题）给出下列命题:(1)直线a与平面不平行,则a与平面内的所有直线都不平行;(2)直线a与平面不垂直,则a与平面内的所有直线都不垂直;(3)异面直线a、b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;(4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面.其中错误命题的个数是（）A1B 2C3D4【答案】C （湖北省浠水一中2013届高三模拟考试文科数学试卷）已知E、F分别是正方体棱BB1、A

5、D的中点,则直线EF和平面所成的角的正弦值是（）ABCD【答案】B 设正方体的棱长为2,由于E、F分别是正方体棱BB1、AD的中点,连接BD,AE,过F作BD交BD于H,则FH,因为,直线EF和平面所成的角的正弦值是,故选B （湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（二）（word版） ）设l是直线,a,是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）A若a/a,l/,则a/B若l/a,l丄,则a丄 C若a丄,l丄a,则l丄D若a丄y3,l/a,则l丄【答案】B （湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学文试题 ）设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“”的平面（）A不存

6、在B有且只有一对C有且只有两对D有无数对【答案】D （湖北省浠水一中2013届高三模拟考试文科数学试卷）已知一个几何体的三视图如下,正视图和俯视图是两个等腰梯形,长度单位是厘米,那么该几何体的体积是 正视图3侧视图俯视图4242（）ABCD【答案】B由图可知,该几何体是上下底面试正方形,高度是3的四棱台,根据台体的体积公式得:,故选B （湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（三）（word版） ）某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是【答案】D （湖北省重点高中2013届高三五月模拟考试文科数学WORD版 ）某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的

7、直径均为2,则该几何体的表面积为 正视图侧视图俯视图（第8题）（）ABCD【答案】B （湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学文试题 ）点P的底边长为,高为2的正三棱柱表面上的动点,MN是该棱柱内切球的一条直径,则 取值范围是（）A0,2B0,3C0,4D2,2【答案】C （湖北省襄阳市2013届高三3月调研考试数学（文）试题）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是【答案】C 【编号】226 【难度】一般（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（文）试题）已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为,直径为4的球

8、的体积为,则 主视图侧视图.42俯视图（）ABCD【答案】A 二、填空题（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（文）试题）某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是_. 【答案】 （湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（文）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_【答案】 （湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（二）（word版） ）某几何体的三视图如图所示,它的体积为_【答案】 （2010年高考（湖北文）圆柱形容器内盛有高度为8厘米的水,若放入三个相同的球,(球的半径和圆柱的底面半径相同

9、)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是_cm.【答案】4 （2012年湖北高考试题（文数）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_.侧视图正视图442俯视图11第15题图【答案】 【编号】472 【难度】一般（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（）数学（文）试题）一个底面是等腰直角三角形的直棱柱,侧棱长与底面三角形的腰长相等,其体积为4,它的三视图中俯视图如图所示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的对角线长为_. 【答案】 （湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学文试题 ）若一个圆台的主视图如图所示,则其全面积等于_. 【答案】 （湖北省七市2013届高三4月联考

10、数学（文）试题）某三棱锥P-ABC的正视图为如图所示边长为2的正三角形,俯视图为等腰直角三角 形,则三棱锥的表面积是_. 【答案】; （湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（）数学（文）试题）点O是等腰RtABC底边BC的中点,AB=1,过点O的动直线与两腰或其延长线的交点为Q、R,则有SAQR =SAOQ +SAOR,所以=_;类比平面结论,拓展到空间有: 设O是正三棱锥P-ABC的面ABC 的中心,PA,PB,PC两两垂直且PA=1,过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q、R、S,则有_. 【答案】2 （湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（文）试题(试题与答案纯

11、WORD版)）如图,正方体的棱长为1,分别为线段上的点,则三棱锥的体积为_.【答案】【解析】因为点在线段上,所以,又因为点在线段上,所以点到平面的距离为1,即,所以. 【答案】 （湖北省八市2013届高三3月联考数学（文）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为_. 第15题图【答案】 三、解答题（2009年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷）如图,四棱锥的底面是正方形,平面,点是上的点,且()求证:对任意的(0、1,都有;()若二面角的大小为600,求的值.【答案】()证法1:连接,由底面是正方形可得ACBD. SD平面,BD是BE在平面上的射影, 由三垂线定理得 ()解法

12、1:SD平面,平面, SDCD. 又底面是正方形,又,CD平面 过点D在平面内做DFAE于F,连接CF,则CFAE, 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角,即CFD=60° 在RtADE中,AD=, DE= , AE= . 于是, 在RtCDF中,由cot60°= 得,即=3 , 解得= ()证法2:以D为原点,的方向分别作为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则, , 即对任意的(0,1,都有 ()解法2:为平面的一个法向量 设平面的一个法向量为, 则 即 取,得 由(0,1,解得 （湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（文）试题）如图,三棱柱ABCA1B1C1

13、的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C菱形,CBB1=60°,ABB1C.(1)求证:平面AA1B1B平面BB1C1C;(2)若AB=2,求三棱柱ABCA1B1C1体积.【答案】解:()由侧面AA1B1B为正方形,知ABBB1. BCB1OC1A1A 又ABB1C,BB1B1C=B1,所以AB平面BB1C1C, 又ABÌ平面AA1B1B,所以平面AA1B1BBB1C1C ()由题意,CB=CB1,设O是BB1的中点,连结CO,则COBB1. 由()知,CO平面AB1B1A,且CO=BC=AB=. 连结AB1,则VC-ABB1=SABB1·CO=AB2

14、3;CO= 因VB1-ABC=VC-ABB1=VABC-A1B1C1=, 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1=2 （湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（文）试题）如图,MA丄平面ABCD,四边形ABCD是菱形,四边形 ADNM是平行四边形.(I)求证:ACBN;(II)当点E在AB的什么位置时,AN/平面MEC,并加 以证明.【答案】 （湖北省重点高中2013届高三五月模拟考试文科数学WORD版 ）已知直三棱柱中,为中点,为中点,侧面为正方形.()证明:;()设,若,求这个三棱柱体积的最大值.【答案】解()直三棱柱中,侧面垂直于底面,又,为中点,故 所以

15、,所以 为正方形,又为中点,为中点, 所以 ,所以 () 令 则,令,得或(舍去) 因为时,时, 所以在递增,在递减,故,此时 所以当时,取最大值 （2012年湖北高考试题（文数）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱. ()证明:直线平面; ()现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知,(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元? A2B2C2D2CBADA1B1C1D1第19题图【答案】解:()因为四棱柱的侧面是全等的矩形, 所以,. 又因为,所以

16、平面ABCD. 连接BD,因为平面ABCD,所以. 因为底面ABCD是正方形,所以. 根据棱台的定义可知,BD与B1 D1共面. 又已知平面ABCD平面,且平面平面, 平面平面,所以B1 D1BD. 于是 由,B1 D1BD,可得,. 又因为,所以平面. ()因为四棱柱的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以 . 又因为四棱台的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形, 所以 . 于是该实心零部件的表面积为, 故所需加工处理费为(元). （湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学文试题 ）如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD丄底面ABCD,. (I )求证:平面PAB丄平面PC

17、D(II)如果 AB=BC=2, PB=PC=求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】解:()因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形,所以CDAD, 又侧面PAD底面ABCD,所以CDPA. 又APD=,即PAPD,而CDPD=D,所以PA平面PCD. 因为PAÌ平面PAB,所以平面PAB平面PCD ABCDPO ()如图,作POAD,垂足为O,则PO平面ABCD. 连结OB,OC,则POOB,POOC. 因为PB=PC,所以RtPOBRtPOC,所以OB=OC. 依题意,ABCD是边长为2的正方形,由此知O是AD的中点 在RtOAB中,AB=2,OA=1,OB=. 在RtOAB中,PB=,

18、OB=,PO=1 故四棱锥P-ABCD的体积V=AB2·PO= （湖北省襄阳市2013届高三3月调研考试数学（文）试题）在等腰梯形PDCB中,DCPB,PB=3DC=3,PD=,DAPB,垂足为A,将PAD沿AD折起,使得PAAB,得到四棱锥P-ABCD.(1)证明:平面PAD平面PCD;(2)点M在棱PB上,平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体,当这两个几何体的体积之比=时,证明:PD/平面AMC.【答案】(1)证:因为在等腰梯形PDCB中,DAPB, ABDCOPMN 所以在四棱锥P-ABCD中,DAAB,DAPA 又PAAB,且DCAB,所以DCPA,DCDA 而DA

19、Ì 平面PAD,PA Ì平面PAD,PADA = A, 所以DC平面PAD 因为DC Ì平面PCD,平面PAD平面PCD (2)解:因为DAPA,且PAAB 所以PA平面ABCD, 又PA Ì 平面PAB, 平面PAB平面ABCD 过M作MNAB,垂足为N 则MN平面ABCD 在原等腰梯形PDCB中,DCPB, PB = 3DC = 3,PD =,DAPB PA = 1,AB = 2, 设MN = h,则 ,解得 在PAB中, 故 在梯形ABCD中,连结BD交AC于点O,连结OM 易知AOBDOC, 故,所以在平面PBD中,有PDMO 又因为PD 

20、03;平面AMC,MO Ì平面AMC, PD平面AMC （2011年全国高考文科数学试题及答案-湖北）如图,已知正三棱柱-的底面边长为2,侧棱长为,点E在侧棱上,点F在侧棱上,且,.(I) 求证:;(II) 求二面角的大小.【答案】本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法,同时考查空间想象能力和推理论证能力.解法1:()由已知可得 于是有 所以 又 由 ()在中,由()可得 于是有EF2+CF2=CE2,所以 又由()知CF C1E,且,所以CF 平面C1EF, 又平面C1EF,故CF C1F. 于是即为二面角ECFC1的平面角. 由()知是等腰直角三角形,所以,即所求二

21、面角ECFC1的大小为. 解法2:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得 () (),设平面CEF的一个法向量为 由 即 设侧面BC1的一个法向量为 设二面角ECFC1的大小为,于是由为锐角可得 ,所以 即所求二面角ECFC1的大小为. （2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-湖北卷）如图,在直三棱柱中,平面侧面()求证: ()若,直线AC与平面所成的角为,二面角【答案】 ()证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D,则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B, 得AD平面A1BC.又BC平面A1BC 所以ADBC. 因为三

22、棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 则AA1底面ABC,所以AA1BC. 又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1, 又AB侧面A1ABB1, 故ABBC. ()证法1:连接CD,则由()知ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角,ABA1就是二面角A1-BC-A的平面角,即ACD=,ABA1=j. 于是在RtADC中,sin=,在RtADA1中,sinAA1D=, sin=sinAA1D,由于与AA1D都是锐角,所以=AA1D. 又由RtA1AB知,AA1D+j=AA1B+j=,故+j=. 证法2:由()知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图

23、所示的空间直角坐标系. 设AB=c(c<a=,则B(0,0,0),A(0,c,0),C(), A1(0,c,a),于是,=(0,c,a), ,=(0,0,a) 设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z), 则由 可取n=(0,-a,c),于是 n·=ac>0,与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角. sinq=cosb=, cosj= 所以sinq=cosj=sin(),又0<q,j<,所以q+j=. （湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题）如图,棱柱的侧面是菱形,底面是边长为4的等边三角形,且.()求证:平面平面;()设是棱上的点,且平

24、面,当时,求与平面 所成的角的正切值.第20题图【答案】解答:(1)证明:侧面是菱形,又 故平面,所以平面平面. ()记与的交点为,连结. 平面,与平面所成的角为. 平面,为的中点,为的中点. 因为底面是边长为4的等边三角形, 则中, 故与平面 所成的角的正切值为 （湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（文）试题 ）如图:直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90°,E、F分别是边AD和BC上的点,且EFAB,AD =2AE =2AB = 4FC= 4,将四边形EFCD沿EF折起使AE=AD.(1)求证:AF平面CBD;(2)求三棱锥CABF的体积【答案】(1)证

25、明: , 所以延长会相交,设, 则, ,所以四边形是平行四边形, ,又平面, 平面; (2), , , , 又, 平面,又, 平面, 所以 （湖北省浠水一中2013届高三模拟考试文科数学试卷）已知平面平面,矩形的边长,.(1)证明:直线平面;(2)求直线和底面所成角的大小.ABCDP【答案】(1)因为四边形是矩形 ,又平面 平面 所以直线平面 (2)由条件平面平面 平面平面 ABCDPE 过点P作,又因为 根据平面和平面垂直的性质定理得 平面,平面 所以,直线是直线在平面内的射影 直线和底面所成角, 且 在中, 因为所以 在中, , 直线和底面所成角的大小为. （2011年全国高考文科数学试题

26、及答案-湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆 /千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆 /千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(I)当时,求函数v(x)的表达式;(II)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).【答案】本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解:

27、()由题意:当;当 再由已知得 故函数的表达式为 ()依题意并由()可得 当为增函数,故当时,其最大值为60×20=1200; 当时, 当且仅当,即时,等号成立. 所以,当在区间20,200上取得最大值 综上,当时,在区间0,200上取得最大值. 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时. （湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（二）（word版） ）在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB/CD,DAB =600,FC丄平面 ABCD,AE丄BD,CB=CD = CF(I)求证:BD丄平面AED;(II)求二面角F-BD

28、-C的余弦值.【答案】 （湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（文）试题(试题与答案纯WORD版)）如图,在四棱锥中,底面是矩形,.(I)求异面直线与所成角的正切值;(II)证明平面平面;(III)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】解:(1)如图 在四棱锥中,因为底面是矩形,所以,且,又因为,故或其补角是异面直线与所成的角. 在中,所以异面直线与所成角的正切值为2. (2)证明:由于底面是矩形,故,又由于,因此平面,而平面,所以平面平面. (3)在平面内,过点作交直线于点,连接.由于平面平面,由此得为直线与平面所成的角. 在中,可得 在中, 由平面,得平面,因此 在中,在中, 所以直线

29、与平面所成角的正弦值为. （湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（三）（word版） ）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,(I)证明:CB=丄BA1;(II)已知AB=2,BC=,求三棱锥C1-ABA1的体积.【答案】 （2010年高考（湖北文）如图.在四面体ABOC中,OC OA,OC OB, AOB=1200,且OA=OB=OC=1.()设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ.证明: PQ OA;()球二面角O-AC-B的平面角的余弦值.【答案】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算

30、求解能力.解法一: ()在平面OAB内作, 在, 在CN. 由 CN,知 ()连结PN,PO. 由 解法二: (1)取O为坐标点,以OA,OC所在的直线为轴,z轴,建立空间直角坐标系(如图所示). 则A(1,0,0),C(0,0,1),B( 又由已知,可得 ()记平面ABC的法向量 得 故可取 又平面OAC的法向量为 的平面角是锐角,记为,则 （湖北省七市2013届高三4月联考数学（文）试题）如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已 知平面AA1C1C丄平面ABCD,且AB=BC=CA=, AD = CD =1(I)求证:BD丄AA1;(II)若四边形ACC1A1是菱形,且=600,求四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积.【答案】解:()在四边形中,因为,所以 又平面平面,且平面平面 平面,所以平面 又因为平面,所以. ()过点作于点, 平面平面 第19题图E 平面, 即为四棱柱的一条高 又四边形是菱形,且, 四棱柱的高为 又 四棱柱的底面面积, 四棱柱的体积为 （湖北省八市2013届高三3月联考数学（文）试题）如图所示,四棱锥中,底面是边长为2的菱形,是棱上的动点.()若是的中点,求证:/平面;()若,求证:;(III)在()的条件下,若 ,求四棱锥的体积.第20题