《组合数学》教案1章(排列组合基础)

1、第1章 组合数学基础1. 排列组合的基本计数问题2. 多项式系数的计算及其组合意义3. 排列组合算法1.1 绪 论（一） 背景起源：数学游戏幻方问题：给定自然数1, 2, , n2，将其排列成n阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上n个数字之和都相等。这样的n阶方阵称为n阶幻方。每一行（或列、或对角线）之和称为幻方的和（简称幻和）。例：3阶幻方，幻和(1239)/315。关心的问题（1） 存在性问题：即n阶幻方是否存在？（2） 计数问题：如果存在，对某个确定的n，这样的幻方有多少种？（3） 构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n阶幻方。816276357951492438图1.1.1 3阶幻方奇数

2、阶幻方的生成方法：一坐上行正中央，依次斜填切莫忘，上边出格往下填，右边出格往左填，右上有数往下填，右上出格往下填。例：将2，4，6，8，10，12，14，16，18填入下列幻方：【例1.1.1】（拉丁方）36名军官问题：有1，2，3，4，5，6共六个团队，从每个团队中分别选出具有A、B、C、D、E、F六种军衔的军官各一名，共36名军官。问能否把这些军官排成6×6的方阵，使每行及每列的6名军官均来自不同的团队且具有不同军衔？本问题的答案是否定的。A1 B2 C3 D4 E5 F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6B2 C3 D4 E5 F6 A1 B3 C4 D5 E6 F1 A2C

3、3 D4 E5 F6 A1 B2 C5 D6 E1 F2 A3 B4D4 E5 F6 A1 B2 C3 D2 E3 F4 A5 B6 C1E5 F6 A1 B2 C3 D4 E4 F5 A6 B1 C2 D3F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6【例1.1.2】（计数图形染色）用3种颜色红（r）、黄（y）、蓝（b）涂染平面正方形的四个顶点，若某种染色方案在正方形旋转某个角度后，与另一个方案重合，则认为这两个方案是相同的。求本质上不同的染色方案。举例：ryybbbrb（a）（b）64 / 64形式总数：81种。实际总数（见第6章）：L24【例1.1.3】（存在性）不同身高的26个人随意排成一行

4、，那么，总能从中挑出6个人，让其出列后，他们的身高必然是由低到高或由高到低排列的（见第5章）。注意：不改变原来的相对顺序。（二） 研究内容算法分类：l 第一类：数值算法。主要解决数值计算问题，如方程求根、解方程组、求积分等，其数学基础是高等数学与线性代数（解决建模问题，数值分析或称计算方法解决离散化问题，即在计算机上的求解方法问题）。l 第二类：组合算法。解决搜索、排序、组合优化等问题，其数学基础就是组合数学。按所研究问题的类型，研究内容：l 组合计数理论l 组合设计l 组合矩阵论l 组合优化本课程重点：以组合计数理论为主，部分涉及其它内容。（三） 研究方法分类：第一类：从组合学基本概念、基本

5、原理出发解题的所谓常规方法（利用容斥原理、二项式定理、Pólya 定理解计数问题；解递推关系的特征根方法、母函数方法；解存在性问题的抽屉原理等）。第二类：通常与问题所涉及的组合学概念无关，而对多种问题均可使用。例如：（1） 数学归纳法：前提是已知问题的结果。（2） 迭代法【例】如已知数列满足关系，求的解析表达式。（解）直接迭代即得：1（3） 一一对应技术原理：建立两类事物之间的一一对应关系，把一个较复杂的组合计数问题A转化成另一个容易计数的问题B，从而利用对B的计数运算达到对A的各种不同方案的计数。思路：将未解决问题的模式转化为一种已经解决的问题模式。（4） 殊途同归方法原理：从不同

6、角度讨论计数问题，以建立组合等式。应用：组合恒等式的证明（也称组合意义法）。（5） 数论方法特别是利用整数的奇偶性、整除性等数论性质进行分析推理的方法。组合数学用的较多的是方法（3）与（4）。【例1.1.4】有100名选手参加羽毛球比赛，如果采用单循环淘汰制，问要产生冠军共需要进行多少场比赛？（解）常规思路：502512632199场10000名选手：5000250012506253121采用一一对应方法：每场比赛产生一个失败者，且每个失败者只能失败一次。反之，要淘汰一个选手，必须恰好经过一场比赛。结论：失败者与比赛场次之间一一对应，故应该比赛99场。一般情况：单循环淘汰制的比赛，若有n个选手

7、参考比赛，则须经过n1场比赛，方可产生冠军。【例1.1.5】设某地的街道将城市分割成矩形方格，某人在其住处A(0，0)的向东7个街道、向北5个街道的大厦B(7，5)处工作（见图1.1.3），按照最短路径（即只能向东或向北走），他每次上班必须经过某12个街段，问共有多少种不同的上班路线？（解）（1）将街道抽象为等长的。 B(7, 5) A(0, 0)图1.1.2 最短路径（2）对应为（元素可重复的）排列问题：路径（蓝色）排列排列路径（红色）结论：最短路径与7个x5个y的排列（3）求解：再对应为（元素不重复的）排列问题N792（4）一般情形：从（0，0）点到达（m，n）点的不同的最短路径数为 N1

8、.2 两个基本法则1.2.1 加法法则（一） 加法法则l 常规描述：如果完成一件事情有两个方案，而第一个方案有m种方法，第二个方案有n种方法可以实现。只要选择任何方案中的某一种方法，就可以完成这件事情，并且这些方法两两互不相同。则完成这件事情共有mn种方法。l 集合描述：设有限集合A有m个元素，B有n个元素，且A与B不相交，则A与B的并共有mn个元素。l 概率角度描述：设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则事件“A或B”有mn种产生方式。当然A与B各自所含的基本事件是互相不同的。（二） 应用【例1.2.1】某班又男生18人，女生12人，从中选出一名代表参加会议，问共有多少种选法？（解

9、）（1）两个选择方案：选男生（18种选法）或女生（12种选法）。由加法法则，全班共有181230选法。（2）设集合：A男生，B女生。该班中的学生要么属于A，要么属于B，且AB，故181230。（3）事件A选男生（18种可能），事件B选女生（12种可能）。事件“A或B” 选男生或女生，由加法法则，有181230种可能。【例1.2.2】用一个小写英文字母或一个阿拉伯数字给一批机器编号，问总共可能编出多少种号码？（解）261036个。其中英文字母共有26个，数字09共10个。1.2.2 乘法法则（一） 乘法法则l 常规描述：如果完成一件事情需要两个步骤，而第一步有m种方法、第二步有n种方法去实现。则

10、完成该件事情共有m·n种方法。l 集合描述：设有限集合A有m个元素，B有n个元素，且A与B不相交，记为一有序对。所有有序对构成的集合称为A和B的积集（或笛卡儿乘积），记作。那么，共有个元素。l 概率角度描述：设离散型随机变量X有m个取值，Y有n个取值，则离散型随机向量（X，Y）有种可能的取值。（二） 应用【例1.2.3】仍设某班有男生18人，女生12人，现要求从中分别选出男女生各一名代表全班参加比赛，问共有多少种选法？（解）（1）分两步挑选，先选女生（12种选法），再选男生（18种选法）。由乘法法则，全班共有12×18216种选法。（2）设集合：A男生，B女生。由乘法法则，

11、A×B18×12216。（3）变量X男生（18种取值），变量Y女生（12种取值）。由乘法法则，随机向量（X，Y），有18×12216种可能的值。【例1.2.4】给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母AG或UZ，后两个要求用数字19，问最多可以给多少种程序命名？（解）先由加法法则，首字符有7613种选法。其次，再由乘法法则，最多可以产生13×9×91053个不同的名称（数字可重复使用）。【例1.2.5】从A地到B地有条不同的道路，从A地到C地有条不同的道路，从B地到D地有条不同的道路，从C地到D地有条不同的道路，那么，从A地经B或C

12、到达目的地D共有多少种不同的走法? （解）首先，由乘法法则，从A地经B到达D地共有×种走法, 由A经C到达D共有×种走法,再由加法法则知, 从A地经B或C到达D地共有种不同的走法。例2×33×4181.3 排列与组合1.3.1 相异元素不允许重复的排列数和组合数（一） 计算公式从n个相异元素中不重复地取r个元素的排列数和组合数：排列： 组合： 例：n5，r3，即元素为1，2，3，4，5 排列：134，143，314，341，413，431；254，425，组合：134，245，特点：排列考虑顺序，组合不然。（二） 数学模型（1）排列问题：将r个有区别的球

13、放入n个不同的盒子，每盒不超过一个，则总的放法数为P(n，r)。（2）组合问题：将r个无区别的球放入n个不同的盒子，每盒不超过一个，则总的放法数为C(n，r)。对应关系元素盒子位置球元素和位置编号12345A B C排列1ABC1 3 4排列2CBA4 3 1排列3ACB1 4 3排列4ACB2 5 4排列5BAC4 2 5组合11 3 4组合22 4 51.3.2 相异元素允许重复的排列（一） 问题从n个不同元素中允许重复地选r个元素的排列，简称r元重复排列，排列数记为RP(，r)。（二） 模型将r个不相同的球放入n个有区别的盒子，每个盒子中的球数不加限制而且同盒的球不分次序。对应关系元素盒

14、子位置球元素和位置编号12345A B C排列1ABC1 1 4排列2C BA4 3 3排列3A CB3 4 3排列4A B C2 2 2排列5BAC4 2 5（三） 计算公式RP(，r) 。（四） 集合描述方式设无穷集合，从S中取r个元素的排列数即为RP(，r)。不重复排列：S。1.3.3 不尽相异元素的全排列（一） 问题有限重复排列（或部分排列）：设（），从S中任取r个元素，求其排列数RP(n，r)。（二） 模型将r个有区别的球放入t个不同的盒子，每个盒子的容量有限的，其中第i个盒子最多只能放入个球，求分配方案数。例： S2·1，4·2，1·3，3·

15、4，2·51，1，2，2，2，2，3，4，4，4，5，5对应关系元素盒子位置球元素和位置编号12345A B C排列1ABC1 1 4排列2B C A4 3 3排列3A CB3 4 3排列4A B C2 2 2排列5BAC4 2 5说明：（1）极端情形：相异元素不重复的排列强调的是不重复，即盒子的容量为1；（2）极端情形：相异元素允许重复的排列强调的是无限重复，即盒子的容量无限；（3）一般情形：不尽相异元素的排列强调的是有限重复，即盒子的容量有限，介于两者之间。（三） 特例（1） 1：RP(n, 1)t（2） n（全排列）先视为n个不同元素的全排列，共有n!种。但每个排列实际重复统计

16、了次。例 ， ，（3） t2，（4） 1，即不重复的排列（5） ，即重复排列1.3.4 相异元素不允许重复的圆排列（一） 圆排列【例1.3.1】把n个有标号的珠子排成一个圆圈，共有多少种不同的排法？（解）称为圆排列（相对于线排列）。条件：元素同时按同一方向旋转，绝对位置变化，相对位置未变，即元素间的相邻关系未变，视为同一圆排列。解法：将线排列首尾相接围成一圆，当圆转动一个角度时，对应另一个线排列，当每个元素又转回到原始位置时，相当于n个不同的线排列，故圆排列数为CP(n，n)(n1)!32541 25413 54132 41325 13254【例1.3.2】从n个相异元素中不重复地取r个围成圆

17、排列，求不同的排列总数CP(n，r)。（解） CP(n，r) （二） 项链排列【例1.3.3】将5个标有不同序号的珠子穿成一环，共有多少种不同的穿法？（解）称为项链排列。条件：可以翻转的圆排列。即同一项链不用剪断重穿，翻过来仍是原项链。解法：两个圆排列对应一个项链排列，故有24/212种。（a） （b）图1.3.1 项链排列一般情形，从n个相异珠子中取r个的项链排列数为： 允许重复的圆排列：情况复杂，参见反演公式（第四章）。1.3.5 相异元素允许重复的组合（一） 问题设，从S中允许重复地取r个元素构成组合，称为r可重组合，其组合数记为RC(，r)。（二） 抽象将S的n个不同元素分别用数字1，

18、2，n来表示。例：n5，r4 1111，1122，1345，5555（三） 计算公式所取出的r个元素从小到大设为a1，a2， ar，则ai满足：1a1a2arn令 biai(i1)， i1，2，r则 1b1b 2brn(r1)反之 aibi(i1)结论：与从nr1个相异元素中不重复地取r个元素的组合方案一一对应。例：n5，r4分类重复组合不重复组合元素1，2，3，4，51，2，3，5，6，7，811111234112212452245236855555678（四） 模型将r个无区别的球放入n个不同的盒子，每个盒子的球数不受限制。（五） 应用【例1.3.4】不同的5个字母通过通信线路被传送，每两

19、个相邻字母之间至少插入3个空格，但要求空格的总数必须等于15，问共有多少种不同的传送方式？（解）将问题分为三步求解：（1）先排列5个字母，排列数为 P(5，5)5!。（2）两个字母间各插入3个空格，将12个空格均匀地放入4个间隔内，有1种方案。（3）将余下的3个空格插入4个间隔：分析：将3个相同的球放入4个不同的盒子，盒子的容量不限。归纳问题：从4个相异元素中可重复地取3个元素的组合数。 b d e a方案1 方案2 （4）总方案数 L5！·1·2024001.3.6 不尽相异元素任取r个的组合问题（一） 问题设集合（），从S中任取r个，求其组合数RC(n，r)。（二） 组

20、合数构造多项式RC(n，r)（三） 应用【例1.3.5】整数360有几个正约数？（解）（1）标准素因数分解：36023×32×5（2）正约数及其条件120×30×50，22×30×50，320×3×50，520×30×5，2222×30×50，62×3×503×2，902×32×5，18022×32×5，36023×32×5结论：正整数d是360的正约数d且0a3，0b2，0c1。故14

21、不是约数，16也不是约数。（3）问题转化：即从集合的6个元素中任取0个、1个、6个的组合数之和。（4）求解：构造多项式P6 (x)(1xx2x3)(1xx2)(1x)13x5x26x35x43x5x6求各项系数之和： L135653124方法化简：求P6(1)，即P6(1)4×3×224（5）一般规律：设正整数n分解为n，L（四） 习题：18，211.4 组合等式及其组合意义组合等式的证明方法：（一） 归纳法（二） 组合意义法：借助于阐明等号两端的不同表达式实质上是同一个组合问题的方案数（即殊途同归法），或者虽是两个不同组合问题的方案数，但二者的组合方案之间存在着一一对应关

22、系，因此等式两端必须相等，从而达到证明等式成立的目的。对于恒等式的实质揭露得更为深刻。（三） 母函数法：利用无穷级数（包括有限时的多项式）证明有关组合等式。是产生和证明组合恒等式的普遍方法。【等式1】对称关系式 组合意义 从n个元素中取走r 个，必然余下nr个，故从n取r的组合与从n取nr的组合一一对应。【等式2】加法公式 （一）组合意义：从n个元素中取r 个组合，以某个元素a1为准，全体组合分类：（1） 每次取出的r 个元素中都含有a1：视为从剩下的n1个元素中任取r1个元素，然后再加上a1而构成的组合，其组合数为。（2） 不含元素a1，视为从其余n1个元素中任取r个元素的组合，其数目为。两

23、类情况互不重复，由加法法则，总数为。（二）例：从1，2，3，4，5中取3个的组合情况为：第一类（包含元素“1”）： 123，124，125，134，135，145第二类（不包含元素“1”）： 234，235，245，345（三）路径问题：等价形式组合意义：从（0，0）点到（m，n）点的路径数等于从（0，0）点分别到（m，n1）点和（m1，n）点的路径数之和。 B(m, n) A(0, 0)【等式3】乘法公式 组合意义 考虑等式左端：“将n个元素分为3堆，要求第一堆有nk个元素，第二堆有kr个，那么，第三堆就只有r个元素”的组合方案数。右端：“将n个元素分为3堆，要求第三堆有r个元素，第二堆有n

24、k个，第一堆有kr个元素”的组合方案数。两个组合问题等价，故其方案数亦相等。举例：n20578，推广：n个元素分为t堆，允许若干堆个数相等【等式4】C(nr1，r) C(nr，r)C(nr1，r1)C(nr2，r2)C(nr3，r3)C(n，0) （1.4.6）或 C(nr1，r) C(nr，n)C(nr1，n)C(nr2，n)C(n，n)（一）组合意义：从nr1个元素中取r 个的组合情况，分类统计：（1） 将所有组合针对分为两类：含或不含。不含的组合数为，含的组合数为（加法公式）；（2） 仿照（1），再将含的所有组合针对分为两类：含或不含。不含的组合数为；（3） 同法，含、，但不含的组合数为

25、； 含、，但不含的组合数为； 含、的组合数为。（二）说明：等式3是等式2的推广。（三）相应的路径问题： （r, n1） （0, 0）【等式5】Vandermonde（范德蒙）恒等式, rmin(m，n) （1.4.8）组合意义 n个相异的红球，m个相异的蓝球，选r个的组合。分类统计：有i个红球，ri个蓝球的选法有（i0, 1, , r）。特例：mr rn 【等式6】和式公式：组合意义 n个相异元素选i个的组合两类元素可重复地选n个的排列例组合排列不不不不不不000000取不取不不取101001取取取取取取111111【等式7】组合意义：等式变形奇组合数偶组合数。构造一一对应关系：选某一元素a，

26、设r为奇数（r1），在r组合中去掉a或加上a，可得其r1或r1（均为偶数）组合。反之亦然。例：n4r为奇数的组合aabcabdacdbcdbcdr为偶数的组合bcbdcdabacadabcd【等式8】 （1.4.12）组合意义：从n名先生、n名太太中选出n人，这n人中有一人担任主席，并且必须为太太，考虑有多少种选法。选法1：先选一名太太任主席，再从其余2n1人中选n1人，选法总数为。选法2：先从n名太太中选k人，并从k人中选一人任主席，再从n名先生中选nk人（1kn），方法数选法总数【等式9】设r，M都是自然数，Mr则有 组合意义（概率问题）：设袋中有M个大小相同的球，其中白球r个，其余为黑球

27、。每次摸出一个球，不放回，直至摸到白球为止。是必然事件（迟早会摸到白球），概率为1。另法：第一次摸到白球的概率为。第一次未摸到白球，第二次摸到白球的概率为，第k次才摸到白球的概率为而k2, 3, , Mr1。 【等式10】当nm时，组合意义：从n人中选出m名正式代表及若干名列席代表的选法（列席代表人数不限）。统计方法一：先选正式代表，再从人中选列席代表，总的选法为。统计方法二：先选mk人（k0, 1, , nm） ，再从中选出m名正式代表，其余的k人为列席代表，有种选法。总数1.5 多项式系数（一） Newton二项式（1） 二项展开式当n是正整数时，Newton二项式定理 （1.5.1）的右

28、端称为二项式(ab)n的展开式，而组合数C(n，r)叫做二项式系数。（2） 组合意义将n个相异的球放入两个盒子，a盒放入r个，b盒放入nr个，同盒的球不分次序，方案数为即项的系数为组合数。例 (ab)(ab)aaabbabb(ab)(ab)(ab)(aaabbabb)(ab)aaaaababaabbbaababbbabbb产生系数的根源：同一单项式中有顺序，即排列问题（球不同的分配问题）。（二） 一般分配问题问题：将n个相异的球放入t个盒子，要求第1个盒子放入个，第2个盒子放入个，第t个盒子放入个，且盒中的球无次序，求不同的分配方案数。问题转化：第i个盒中的个球是无序的，视为个相同的元素。问题

29、：求重集（n1n2ntn）的全排列数RP(n，n)：仿照二项式系数，记为。（三） 多项式系数一般多项式系数与的关系：(xyz)3x3y3z33x2y3xy23x2z3y2z3xz23yz26xyzx3 y3 z3x2y xy2x2zy2zxz2yz2xyz x3 y3 z3x2yxy2x2z y2zxz2yz2xyz 【定理1.5.1】设n与t均为正整数，则有其中求和是在使的所有非负整数数列（n1, n2, , nt）上进行。（证）（1）所有项都具形式，且（2）一般项的系数：在n个因式中先选出个因式且这个因式中都取，然后再在其余的n个因式中选出个因式且这个因式中都取，最后在剩下的个因式中都取。

30、得项，其系数为称为多项式系数。（四） 多项式展开的项数【定理1.5.2】展开式的项数等于，而这些项的系数之和为 .（证）展开式的项与从t个元素中取n个的n可重组合一一对应。在定理1.5.1中令1得(111)n（五） 例【例1.5.1】求(abcd)3的展开式。 （解）n3，t4，有RC(，3)C(431，3) 20（项）(abcd)33333333333336abc6abd6acd6bcd【例1.5.2】的展开式中，项的系数420【例1.5.3】在的展开式中，项的系数是什么？（解）令a12x1，a23x2，a35x3。的展开式中的系数为，即(2x13x25x3)6中的系数。的系数：36000【

31、例1.5.4】求证， n1（证）在二项式定理中取ax，b1x1【例1.5.5】今天是星期日，再过天是星期几？（解）等价问题：除以7的余数除以7的余数4（mod 7）答：再过天是星期四。另法：34（mod 7）【例1.5.6】求证 0， n为自然数 （1.5.4）（证）0.（六） 问题请给出多项式的展开式中和两项的系数。答：22680，189/21.6 排列的生成算法1.6.1 序数法（一） 数的位权表示（1）十进制数：小于的正整数n的位权形式：n， 0910例 315（r3）（2）推广（p进制数）n， 0p（3）特点： 固定进制； 逢p进一；十进制r位数最小为0，最大为99991；将十进制换算

32、为p进制数方法：除p取余法。（二） 变进制表示（1）依据： n! (n1)(n1)!(n1)!递归：n!(n1)(n1)! (n2)(n2)! (n2)!(n1)(n1)! (n2)(n2)! (n3)(n3)! (n3)!(n1)(n1)! (n2)(n2)! 2·2！1·1！1！n!1n!1(n1)(n1)!(n2)(n2)!2·2!1·1!类似 19·9·9·10 19·结论：从0到n!1的任何整数m都可唯一地表示为man1(n1)!an2(n2)!a22!a11!其中 0ai（1，2，n1）结论： m将十进

33、制转换为变进制：203*3!1*2!0*1!（310）!301*4!1*3!0*2!0*1!（1100）1004*4!0*3!2*2!0*1!（4020）200（13110），8005（143201）（2）ai的计算man1(n1)!an2(n2)!a22!a11!记 n1man1an2a3a2m÷2!同理，a4(m)÷3!算法：其中表示不大于x的最大整数。 （3）特点： 变进制； 从右向左，第位逢1进一；n位数最小为0，最大为：(n1)(n1)!(n2)(n2)!2·2!1·1!n!1n!； 将十进制换算为变进制数方法。（三） 序数法（1）规则设n 个

34、元素为1，2，n。对应规则：设序列对应排列（p），其中ai可以看作排列（p）中数i1所在位置后面比i1小的数的个数，即排列（p）中从数i1开始向右统计不大于i的数的个数。（2）实例1）排列数：n4 （p）（3124）(020)2）数排列 (111) （p）（2341）3）数 7 3 5 2 3 3 2 2 0 排列 3 5 A 8 6 4 9 7 1 2 数987654321 排列A 9 8 7 6 5 4 3 2 14）排列 3,5,7,9,10,8,6,4,2,1 数 5 5 4 4 3 3 2 2 1（3）4元排列的生成ma3 a2 a1p1 p2 p3 p4ma3 a2 a1p1 p2

35、 p3 p4012345678910110000010100110200211001011101111201211234213413242314312432141243214313422341314232411213141516171819202122232002012102112202213003013103113203211423241314322431341234214123421341324231431243211.6.2 字典序法（一） 算法将所有n元排列按“字典顺序”排成队。初始排列：12n设当前排列（p）（1） 求满足关系式的k的最大值，设为i，即（2） 求满足关系式的k的最大值

36、，设为j，即（3） 与互换位置得 （q）（4） （q）中部分的顺序逆转，得新排列（二） 例（1）设3421：i2，j2，p1与p2交换得q1 q2 q3 q4 4321，321逆转得下一排列4123 。n4的全部排列：1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321（2）85376421 i4，j6 q1 q2 q3q8 85476321 8541236785412367 i8，j8 q1 q2 q3q8

37、85412376 85412376 i7，j8 q1 q2 q3q8 85412673 8541263785413726 i8，j8 q1 q2 q3q8 8541376285413762 i6，j7 q1 q2 q3q8 85416732 854167231.6.3 邻位互换生成算法初始排列：（当一个数上方箭头所指的一侧相邻的数比该数小时，称该数处于活动状态）设当前排列（p）（1）若排列（p）（p1p2pn）中无一数处于活动状态，则停止，否则转（2）；（2）求所有处于活动状态的数中的最大者，设为k，k和它的箭头所指的一侧的相邻数互换位置，转（3）；（3）令比k大的所有数的箭头改变方向，转（1

38、）。举例（n4）： 规律：4从一端移到另一端，共进行了3次换位，然后暂停一次，3开始活动。3和4不能动时换2，依次类推。1.7 组合的生成算法【例】从6个元素1, 2, 3, 4, 5, 6中取3个的组合：123 124 125 126 134 135 136 145 146 156 234 235 236 245 246 256 345 346 356 456规律：（1）最后一位数最大可达n，倒数第二位数最大可达n1，依此类推，倒数第k位最大可达nk1（kr）。设组合c1c2cr满足 c1< c2<< cr则 crn，cr1n1，c1nr1即 cinri，i1, 2, ,

39、r（2）当存在cjnrj时，令imax，并令就可得到新的组合d1d2dr 。若每个cj nrj，则已经达到最后一个组合，生成完毕。算法：初始组合： 当前组合：c1c2cr（1）若imax存在，转（2），否则，停止；（2）cici1;（3）cjcj11，ji1，i2，r . 输出，转（1）。例：n10，r514678 14679 1467A 14689 1468A 1469A 147891.8 应用举例【例1.8.1】试确定由1，2，3，4，5这五个数字能组成多少个大于43500的五位数？（解）有限制条件的RP(，5)的问题。下列情况之一发生便可导致“大于43500”：（1） 万位上数字是5，其

40、余四位上的数字从 1，2，3，4，5 中允许重复选取，共有1×5 4个符合要求的数；（2） 万位上数字为4，千位上数字从4，5中选一个，其余三位上数字可从五个数字中重复选取，共有1×2×53个；（3） 万位、千位、百位上数字分别为4、3、5，其余二位上的数字可在1间重复选取，共有1×1×1×52个。由加法法则，这样的数总计为542×5352900 （个）【例1.8.2】从2，1，0，1，2，3共6个数中不重复地选3个数作为二次函数的系数，使得抛物线的开口方向向下，共可作出多少个二次函数？（解）抛物线的开口方向向下，必有a&l

41、t;0。第一步：a从2、1中选一个，有种方法；第二步：在余下的五个数中选出两个进行排列，作为b和c，有种方法。根据乘法法则，共可作出二次函数40（个）【例1.8.3】满足的正整数解有多少组？（解）方法思路：长度为100的线段被分为4段，每段的长度均为正整数，叫做，。例：10，35，40，15，10354015100。 问题转化：在99个空的位置上放3个“”号，未放“”号的线段合成一条线段，求放法总数。首尾和两“”之间至少一段。模型：将3个相同的球放入99个相异的盒子，每盒最多放一个球。排列组合问题：从99个相异元素中不重复地选3个。156849（组）方法：模型：将100个相同的“1”放入4个不

42、同的盒子，每个盒子至少放一个。求不同的放法数。排列组合问题：从4种相异元素中可重复地选100个，每种元素至少选一个。第一步：每个盒子先放一个，共有一种放法。第二步：将余下的96个1放入，有变异一：求非负整数解（即）。用方法求解： 答：176851用方法求解：将100个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子的容量无限。求不同的放法数。答：176851变异二：求解。，。思想：将问题转化为变异一。原方程 故令 ，得 （）答：解数为 166650问题：将原题用变异二的思路求解。【例1.8.4】把r个相异物体放入n不同的盒子里,每个盒子允许放任意个物体,而且要考虑放入同一盒中的物体的次序,求这种分配方案有

43、多少?（解）特点：既不是相异元素的不重复排列，也不是简单的重复排列。思路：第一个物体的放法有n种，放入某盒子后，视为该盒子的隔板，将盒子分成了两部分。第二个物体的放法有n1种，第三个物体的放法有n2种，第r个物体的放法有nr1种。由乘法原理，方案数为n(n1)(n2)(nr1)12345n1n说明：不考虑放入同一盒中相异物体的次序，分配方案数应为应用：A、B、C、D、E共5位同学由两个门排队进入教室，每个门每次只能同时进一人，问有多少种进法？答：2×3×4×5×6720种前门人数后门人数方法备注051×5!120×0!×5!

44、14×1×4!120×1!×4!23×2!×3!12032×3!×2!12041×4!×1!12050×5!×0!120若不考虑次序，总数为32。问题1：设前门宽大，可以同时进2人，那么又有多少种不同的进法？答：有 3×4×5×6×72520种。问题2：火车站外有100名乘客，欲从4个门排队进入候车室，问有多少种进门的排队方式？问题3：大楼共有19层，今有12人从一楼进入电梯上楼，每层都可能有人出电梯，且电梯的门同时只能容许一个人出入，

45、问有多少种方式出电梯？【例1.8.5】把元集S划分成个无序非空子集（n4），共有多少种分法？ （解）模型：分配问题：将n个不同的球放入n3个相同的盒子，每个盒子最少一个球求解：分三类情况： (1) 一个子集为4元集，其余子集为一元集，等于n元集的不重复的4组合数；(2) 一个子集3元，一个子集2元，其余子集1元：n元集S的5组合数为，把5元集划分成一个3元子集和一个2元子集的方法有10种，由乘法法则，此类划分方法有10种；(3) 3个子集2元，其余子集1元：n元集的6组合数为，把6元子集划分成3个2元子集的方法有 属于此类的划分方法有种。三类情况，互不重复，故由加法法则得L【例1.8.6】设是

46、能够从集合中选出两两之差均大于r的k元子集的方案数，试求。（解）集合A中取k个两两之差超过r的数构成组合，设r1， 1ijk令 ， 则 1， 1ijk且 1n(k1)r结论：从A中选k个元素的方案从集合B不重复地选取k个元素的方案（B） 说明：r0，不重复组合-1，重复组合1，间隔选【例1.8.7】有7位科学家从事一项机密工作，他们的工作室装有电子锁，每位科学家都有打开电子锁的“钥匙”。为了安全起见，必须同时有4人在场时才能打开大门。试问该电子锁至少应具备多少个特征？每位科学家的“钥匙”至少应有多少种特征？（解）分析：任意3个人在一起，至少缺一种特征，不能打开电子锁。结论1：电子锁最少特征数C

47、(7，3)35原因：每一组合所形成的3人小组缺少的特征必须不一样的。1ABC8ACF15AFG22BDG29CEF2ABD9ACG16BCD23BEF30CEG3ABE10ADE17BCE24BEG31CFG4ABF11ADF18BCF25BFG32DEF5ABG12ADG19BCG26CDE33DEG6ACD13AEF20BDE27CDF34DFG7ACE14AEG21BDF28CDG35EFG结论2：某位科学家A的“钥匙”的特征个数至少为C(6，3)20原因：A须有其余6人缺的钥匙。例：A1635；B615，2635；C25，1015，2025，3235；【例1.8.8】从（0，0）点到达（m，n）点（m<n），要求中间所经过的每一个格子点（a，b）恒满足b>