2017年全国1卷理科数学详解详析

1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角条形码粘贴处2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按

2、以上要求作答无效。4 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1 .已知集合A=x|x<1,B=x|3<1,则a.aCIb=x|x<0b.aUb=rc.aUb=x|x>1d.aP|b=0【考点】：集合的简单运算，指数函数【思路】：利用指数函数的性质可以将集合B求解出来，之后利用集合的计算求解即可。【解析】：由3x<1=x<0,解得B=xx<0,故而AcB=B=xx<0,A=B=A=xxcd,选A。2 .如图，正方形ABCD

3、内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1A.一4【考点】：几何概型【思路】：几何概型的面积问题,P=基本事件所包含的面积总面积12S一二r【解析】：P=-2r=,故而选BoS2r83.设有下面四个命题4142一Pl:若复数z满足一WR,则zWR；P2：若复数z满足zWR,则zWR；zp3:若复数z1,z2满足z1z2WR,则z1=z2；p4：若复数zWR,则2WR.其中的真命题为A.Pl,P3B.Pi,P4C.P2,P3D.P2,P4【考点】：复数，简易逻辑【思路】：将四个命题中的复数分别用基

4、本形式假设即可。1 1.一【斛析】：a：不妨设一=a(aWRz=wR,真命题；za2 aRa_0，人p2:不妨设z=a(aWR)=sz=，假命题；.-ai-Ra：0p3：不妨设z1=a1+bi,z2=a2+bj=z1z2=(a,a2-bb2)+(ab2+abJi=R=ab2+ab1=0，此时明显不一定满足b1+b2=0,假命题。p4:不妨设.z=awR=z=awr,真命题。故而选Bo4.记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,Se=48,则an的公差为A.1B.2C.4D.8【考点】：等差数列，难度较小。【思路】：将求和公式化简即可得到公差。6a'a6i.【解析】：S6=4

5、8=a+a6=16a4+a5=a+%=24,作差a8-a6=8=2d=d=42故而选Co5.函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数.若f(1)=1,则满足TWf(x-2)W1的x的取值范围是A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3【考点】：函数不等式，函数的单调性。思路：奇函数左右两侧单调性相同，根据奇函数的性质求解f(-1)=1,利用单调性代入不等式即可。【解析】：-1Ef(X2户1=f(1户f(x2)Ef(1户-1<x-2<1=>1EXE3故而选Do1 626.(1+f)(1+x)6展开式中X2的系数为xA.15B.20C.30D.35【考点】：二项式定理。【思路】

6、：将(1+x；6的通项求解出来即可。【解析】：Tf=C6xr可得整体的通项C6xr、Crxr-,r=2nC(rx,=15x2,r=4=C6x=15x2,故而可得x2的系数为为30,故选Co7 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为B. 12D. 16【考点】：立体图形的三视图，立体图形的表面积。【思路】：将三视图还原即可。1【解析】：将二视图还原可得右图图形，故而多面体有两个面是梯形，此时可得S=2父(2+4)义2=12,2故而选Bo8 .右面程序框图是为了求

7、出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在IO和=两个空白框中，可以分别填A. A>1 000 和 n=n+1【考点】：程序框图。B . A>1 000 和 n=n+2C. A = 1 000 和 n=n+1D. A = 1 000 和 n=n+2【思路】：此题的难点在于考察点的不同，考察判断框和循环系数。根据判断条件可得为当型结构，故而判断框中应该是A<1000,又题目要求为最小偶数，故而循环系数当为n=n+2。【解析】：选D。9 .已知曲线Ci：y=cosx,C2：y=sin(2x+2?),则下面结论正确的是3A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的得到曲线C2B.

8、把Ci上各点的横坐标伸长到原来的得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线C2D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1 一，一1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移21 一，一1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2个单位长度,6个单位长度,12/个单位长度,6个单位长度,12得到曲线C2【考点】：三角函数的变换。【思路】:先变周期:l ny = cosx = sin I x 2l ny = sin I 2x 2y = sin I 2xJi + 3.122先变相位:(n )y = cosx =sin

9、 I x 一2冗 冗1y = sin I x 26=sin I x,c 2 二y = sin I 2x 3【解析】：10.已知选D。F为抛物线C： y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线 l1, I2,直线l1与C交于A、B两点,直线I2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 10熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。【考点】：抛物线与直线的位置关系。11【思路】：由题息可得两条直线的斜率一"7E存在且不为0,分力1假设为k和一，故而可得11:y=k(x-1),ky=kx-1-99联立«2k2x2(2k2+4

10、*+k2=0,假设A(x1,y1),B(x2,y2),故而根据韦达定理可y=4x2,口，2k+4_.4.4一一.o.一得X+x2=2=2+一T,此时AB=x1+x2+p=4+2,同理可得DE=4+4k,故而k2k2k2_24_,一,，242一AB+DE=8+4k2+之8+8=16,当且仅当4k2=k2=1=k=±1时取等号。k2k2解析:选A。11.设xyz为正数，且2x=3y=5z,则A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z【考点】：指对运算与不等式，计算量较大。广I”E1x=log2m=log

11、m2八qI人、曰上、XV71A【思路】：将指数形式化简即可求出三个变量，不妨设2x=3y=5z=ma1=<y=log3m=二。将10gm31z=1og5m=10gm5三者代入答案即可解答。【解析】：分别可求得2x=2=二,3y=二一=一二,5z=一=一二，分别对分10gm22l0gm33l0gm5510gm210gm310gm511母乘以30可得3010gm22=10gm215,3010gm33=10gm310,3010gm56,m1故而可付110156=1ogm3A1ogm2>1ogm5=3yc2x<5z,故而选D。3102155612.几位大学生响应国家的创业号召，开发了

12、一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4, 1,2,4,8,1,2,4,8,16,，其中第一项是2°,接下来的两项是2°,21,再接下来的三项是2°,21,22,依此类推。求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数哥。那么该款软件的激活码是C. 220D. 110A.440B.330【考点】：行列式（杨辉三角）求和问题，计算量较大。1个数，求和为21 -12.2个数，求和为2 -133个数，求和为23 -14个数，求和为24

13、-15个数，求和为25 -1【思路】：将已知的数列列举成行列式的形式，20第一行，012021第二行，_0_1_2202122第三行，20212223第四行，2021222324第五行，nn1故而可得，第n行，n个数，求和为2n-1,因此前n行，一共有-个数，求和为2n-n-22【解析】：根据上面的分析，我们可以类推得到,前14行，有105个数，求和为21516,当N=110时，求和为21516+251=21517¥2n前20行，有210个数，求和为22122,当N=220时，求和为22122+21°1=221+21°23#2n前25行，有225个数，求和为226

14、26,当N=330时，求和为22626+251=226+252702n前29行，有435个数，求和为23031,当N=440时，求和为23031+251=230,故而选A。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.【考点】：向量的模长。【思路】：牢记求解模长问题利用平方的思路，直接将所求的内容进行平方即可。W42土$204144_【解析】：a+2b=a+4b+4ab=4十4+4M2父1父万=12,故而模长为a+2b=2近。x2y<114.设x,y满足约束条件彳2x+y之一1,则z=3x2y的最小

15、值为.x-y<0【考点】：简单的线性规划。【思路】：根据约束条件，画出可行域即可。3【解析】：如图所不，可行域为阴影部分，令z=3x2y=0=10:y=x为初始直线，当10向上平移时，2z=3x-2y逐渐变小，故而在点F(-1,1)处取到最小值-5。22，一一， x y一, 一， ，一15.已知双曲线 C:下一一=1 (a>0, b>0)的右顶点为 A,以A为圆心， a bb为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于 M、N两点。若/ MAN =60° ,则C的离心率为 。【考点】：圆锥曲线离心率问题。【思路】：利用角度计算可得答案。【解析】：如图所示，过点A作渐

16、近线的垂线 AB,由/MAN =60、/BAN =30* ,又,故而16.如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆。上的点，GBC,AECA,AFAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起ADBC,AECA,AFAB,使得D、E、F重合，得到三棱锥。当那BC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为【考点】：立体几何体积计算，函数与导数综合。【思路】：根据题意可得DBC,AECA,AFAB分别全等，故而可得三棱锥是正三棱锥，斜高即为三个三角形的高，即为DG,高为OD（右图）。不妨

17、设三角形ABC的边长为a（0<a<5j3）,此时在左图中,OGa,DG = R-OG =5 -,3人Ta，5凡心an 0<a<5内,332故而正三棱锥的高OD'= D'G2 -OG22510-33a ,此时即可计算体积。【解析】：根据体积公式可得 Vd'ubc =-D -ABC 一332 .10 '3a4.33、25a4.1。'3a512 3,利用函数性质10.3可得，假设 f a = 25a4 - - a5 = f ' a = 50a3 - a - 23. 3故而当a=2j3时取最大值 JT5 cm3。三、解答题：共70

18、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。217. (12分)aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知AABC的面积为3sinA(1)sinBsinC;6cosBcosC=1,a=3,求AABC的周长.【考点解三角形。【思路】:根据三角形面积公式可以求得第一问，第二问直接利用余弦定理求解即可。【解析】：1a2oo (1)由题息可得 S用bc = bcsin A=，化简可得2a = 3bcsin A ,根据正弦定理化简23sin A_2 _2 _2可得：2sin A =

19、3sin BsinCsin A= sin BsinC =一 。32sin BsinC =-3(2)由-cos A = -cos A B = sin BsinC - cosBcosC =cosBcosC =-61 2A=,因此可得一 二 一. 一 一2 .一B = C ,将之代入sin BsinC =一中可得:(nsin 3.31-C sin C =sinC cosC - - sinC = 一, B =一,利用正弦定理可得b =sin B =sin A , 321 = J3,同理可得c = J3,2故而三角形的周长为3+273018. (12 分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB/CD ,且

20、 / BAP =/CDP =90".(1)证明：平面 PABL平面 PAD;若PA=PD=AB=DC,NAPD=90"求二面角A-PB-C的余弦值.【考点立体几何，空间向量。【思路】:【解析】：(1)利用线面垂直的性质即可求得。(2)建立空间直角坐标系即可(1)AAB/CD,CD1PDAB_LPD，又:AB_LPA,PA，cPD=P,PA、PD都在平面PAD内，故而可得AB1PAD。又AB在平面FAB内，故而平面FABL平面PAD。(2)不妨设PA=PD=AB=CD=2a,以AD中点。为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标：P(0,0,，2a)A

21、(J2a,0,0B(J2a,2a,0)C(J2a,2a,0),因此可得PA=(J2a,0,f厂2a),PB=(/2a,2a，狗，PC2a,2匚)，a假设平面PAB的法向量.NTLLTtn1PA=、2ax-12a=0=x=1n1=(x,y,1平面PBC的法向量n2=(m,n,1故而可得t_n1PBu。2ax-2ay一、,2a=0=y=0Bn T即 5 =(1,0,1),1同理可得PC = - J2 am 2an 2a = 0= m = 0PB = . 2am 2an - ；2a =0= n =272,即n2 = 0,匕，1 。因此法向2量的夹角余弦值:4 Tcos : n1 ,n2_ 172 4

22、、3、口人皿，口人、，上金。很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为3,3o316个零件，并测量19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(此仃2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在伊-3。，N+3。)之外的零件数，求P(X之1)及X的数学期望;(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(N-3仃，N+3j)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程

23、方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95_116116116经计算得X=£Xi=9.97,s=J£(xiX)2=JX2-16X2)2定0.212,其中为为抽取16y；16iJ16T的第i个零件的尺寸，i=1,2,16.用样本平均数X作为卜的估计值玲，用样本标准差s作为仃的估计值?,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(川-3%用十38)之外的数据，用剩下的数据估计N和仃(精确到0.01).附：

24、若随机变量Z服从正态分布N(N52),则P(N3。Z卜十3。)=0.9974,0.997416=0.9592,70.008之0.09.【考点】：统计与概率。【思路】：(1)这是典型的二项分布，利用正态分布的性质计算即可。【解析】：(2)考察正态分布，代入运算即可。(1) P X _1 =1P X =0 =1 0.997416 =1 0.9592 = 0.0408由题意可得，X 满足二项分布 X B(16,0.0016因此可得 EX (16,0.0016 )= 16m 0.0016 = 0.0256(2)由(1)可得P(X之1 ) = 0.0408 <5% ,属于小概率事件，故而如果出现(

25、“3仃,»+3。)的零件，需要进行检查。由题意可得 N =9.97,。=0.212= N g = 9.334尸 + 3r = 10.606,故而在(9.334,10.606 )范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时:,9.97 16-9.22N = x = 10.02 ,151 15E (x x ) 0 0.09。15 ii20. (12 分)已知椭圆C：22、+4=1(a>b>0),四点 Pi (1,1), P2 (0,1), P3 ( 1a2b2号),P4 (1,1)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A, B两

26、点。若直线 P2A与直线P2B的斜率的和为 T,证明：l过定点.【考点】：圆锥曲线。【思路】：(1)根据椭圆的对称性可以排除P1 (1,1)。(2)联立方程即可，此时有两种方法联立，第一种,假设直线AB的方程，第二种假设直线P2A 和 P2B。【解析】：(1)根据椭圆对称性可得，P1(1,1)P4(1,3)不可能同时在椭圆上,P3(T定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P2(0,1),P3r%P4(1心)2代入椭圆方程可得:2x 2.十 y =1。4y = kx + 1, P2B 为:13b=1,2"+=1=a=2,故而可得椭圆的标准方程为:a4(2)由题意可得直线P2A与直线P2B的斜

27、率一定存在，不妨设直线P2A为:y=1-kx1.联立y=kx1X227y=(4k2+1)x2+8kx=0，假设A(x1,y1),B(X2,y2)此时可得:_2-8k1-4k2,24k2+14k2+188(1+k)1-4(1+k2'B2，2、4(1+k)+14(1+k)+1j此时可求得直线的斜率为:221-41k1-4k2y9-y41k14k111kAB=y一肛=,化简可得kAB=2,此时满足k字一一。x2-X81k_8k12k22TT2741k14k1.1.一.0当k=-时，AB两点重合，不合题意。2C2)当k=-1时，直线方程为：y=1一2x-8'上”，即y二212k2,4k

28、214k214k24k-1x12k2当x=2时,y=1,因此直线恒过定点(2,1)。21.(12分)已知函数f(x)-ae+(a-2)e-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【考点】：导数综合问题。【思路】：(1)直接进行求导，分类讨论(2)函数有两个零点，故而函数不单调;根据函数单调性判断函数图像即可。【解析】：(1)对函数进行求导可得f'(x)=2ae2x+(a-2Jex-1=(aex-1Xex+1)。当aE0时，f'(x)=(aex-11ex+1产0恒成立，故而函数恒递减1.C2当a>0时，f'(x)=(ae-1Xe+

29、1)>0=x>ln,故而可得函数在a-a1、减，在.ln,1上单倜递增。,a(2)函数有两个零点，故而可得a>0,此时函数有极小值.1fIln=lna-a1一+1,要使得函数有两个a11夺点，亦即极小值小于0,故而可得lna_+1<0（a>0）,令g（a）=lna_+1,对函数进行求导即aaa1一.1.一可得到g'（a）=>0,故而函数恒递增，又g（1）=0,二g（a）=lna+1=0ca<1,因此可得aa函数有两个零点的范围为aw（0,1）。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 .

30、选彳44:坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜=3cos6，（0为参数），直线1的参数方程为y=sinafx=a44tXat，（t为参数）.y=1-t，（1）若a=-1,求C与1的交点坐标；（2）若C上的点到1的距离的最大值为JT7,求a.【考点】：参数方程。【思路】：（1）将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可（2）将参数方程直接代入距离公式即可。【解析】：将曲线C的参数方程化为直角方程为2 X 2§ + y =1,直线化为直角方程为11y 二 一- x 1 a4413y = 一 x 一442_ 2_x 9y =921x =-,解得 2524

31、 y=2513（1）当a=1时，代入可得直线为y=x+,联立曲线方程可得:44一、.2124,故而交点为21,24I或(3，0),2525i.x=3coS+,4113coS+4s由+a-4；(2)点4到直线y=x+1a的距离为=1=<V17,即：y=siE，44.173cos8+4sin日+a-4<17,化简可得-17一(a-4产3cos日+4sin日<17-(a-4),根据辅助角公式可得-13-a<5sin(6+邛)<21-a,又5W5sin(H+平)<5,解得a=8或者a=16。23 .选彳45：不等式选讲(10分)已知函数f(x)=)2+ax+4,g(

32、x)=x+1+x-1.(1)当a=1时，求不等式f(x)匐(x)的解集；(2)若不等式f(x)为(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围【考点】：不等式选讲。【思路】：(1)将函数化简作图即可(2)将参数方程直接代入距离公式即可。【解析】：2xx1I将函数g(x)=|x+1+|x-1化简可得g(x)=<2-1<x<1-2xx：-1y=2x(1) 当a=1时，作出函数图像可得“乂)(乂)的范围在F和G点中间，联立«2可得y二-xx4点G1171J17-1,因此可得解集为1-117-1I2'J2一(2)即f(x)>g(x)在一1,1内恒成立，故而可得x2+

33、ax+4圭2nx22Eax恒成立，根据图像可得：函数y=ax必须在11,12之间，故而可得1MaM1。红尘紫陌，有轰轰烈烈的昨日， 也有平淡如水的今天。在生活平平仄仄的韵脚中，一直都泛着故事的清香，我看到每一寸的光阴都落在我的宣纸上，跌进每一个方方正正的小楷里，沉香、迷醉。秋光静好，窗外阳光和细微的风都好，我也尚好。不去向秋寒暄，只愿坐在十月的门扉，写一阙清丽的小诗，送给秋天；在一杯香茗里欣然，读一抹秋意阑珊，依着深秋，细嗅桂花的香馥，赏她们的淡定从容地绽放。听风穿过幽幽长廊，在平淡简约的人生中，把日子过成云卷云舒，行云流水的模样，过成一幅画，一首诗。有你，有我，有爱，有暖，就好。在安静恬淡的

34、时光里，勾勒我们最美的今天和明天。醉一帘秋之幽梦，写一行小字，念一个远方，痴一生眷恋。一记流年，一寸相思。不许海誓山盟，只许你在，我就在。你是我前世今生的爱，是刻在心头的一枚朱砂。任由尘世千般云烟散尽，任由风沙凝固成沙漠的墙，你依然是我生命的风景。人生苦短，且行且珍惜。十月如诗，就让我独醉其中吧！行走红尘，做最简单的自己。简单让人快乐，快乐的人，都是因为简单。心豁达，坦然，不存勾心斗角。从容面对人生，做最好的自己，巧笑嫣然，你若盛开，蝴蝶自来。那就做一朵花吧！优雅绽放，优雅凋落，不带忧伤，只记美好。这个秋日，一切都很美，阳光浅浅，云舞苍穹，闲风淡淡。捡拾一片薄如蝉翼的枯叶，写着季节流转的故事，

35、沉淀着岁月的风华。安静的享受生命途径上的一山一水。执笔挥墨，耕耘爱的世界，轻声吟唱岁月安好，把一缕缕醉人的情怀，婉约成小字里的风月千里，泅成指尖上的浪漫和馨香。静立于秋光澈里，赏碧水云天，携来闲云几片，柔风几缕，缝进岁月的香囊里，将唯美雅致收藏，醉卧美好时光。秋，是静美的，是收获的，是满载希望而归的季节。秋只因叶落，蕨蕤消，花残瘦影，不免总给人一种无边萧瑟。然而秋，也有秋的美。如黄巢不第后赋菊诗中有句：待到秋来九月八，我花开后百花杀。是不是听起来特别霸道有味。谁说秋实悲凉的，百花残了何妨？我菊正艳艳，香影欹满山。还有一句歌词叫：春游百花，秋有月。秋天的月，要比任何季节都美，都明亮，都让人迷恋陶然。秋有赤枫把美丽的秋燃烧成通红火辣，秋有万千银杏如蝶，秋哪有萧索？秋一直很美，你可有发现