江苏省2019高考数学二轮复习专题三不等式第1讲不等式的解法与三个“二次”的关系学案

1、第1讲不等式的解法与三个“二次”的关系考情考向分析不等式是数学解题的重要工具，一元二次不等式是江苏考试说明中的C 级内容，高考会重点考查.主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立问题，其次考查不 等式与其他知识的综合运用.0 热点分类突破a0 时，|2，原不等式化为(x 2)xa0,所以|x2.aa丿a综上所述，当a= 0 时，原不等式的解集为x|x2；当a= 1 时，原不等式的解集为x|x R 且XM2；0,当当当0a2，原不等式化为(x 2) 师生讲堆互动热点各个击破当当a1 时，原不等式的解集为2xv或x2a20,则x2或x莓.2当 0a2Ia当ax2的解集是x+ 2,x 0,答案1,

2、1x 0,解析依题意得2或*2x+2xx+2x?1xW0或 0vxwi?1x1.在 R 上定义运算O：aOb=ab+ 2a+b,则不等式xO(x 2)v0 的解集是_答案(2, 1)解析由题意得，x0( x 2) =x(x 2) + 2x+x 2,解x(x 2) + 2x+x 20,得一 2xg(x);记函数f(x)在区间0,2上的最大值为F(a),求F(a)的表达式.解(1)由f(x) g(x)，当a= 1 时，即解不等式x|x1| x2 1.当x1时，不等式为x2xx2 1 ,解得xw1,所以x= 1;当xx2 1,1 1解得2wxw1,所以xg(x)的解集为I1, 112 _(2)因为x

3、 0,2，当aw0时，f(x) =xax,贝yf(x)在区间0,2上是增函数，所以F(a) =f(2) =4 2a.32即 4v4 2a，解得-4 4 2vav 4 + 4 2,所以当 Ovav4 2 4 时，F(a) = 4 2a； 令f af(2)，即a 42a,解得aw 4 4 2 或a 4+ 4 2,2厂a所以当 4 2 4wa2时，f(x)= x+ax,a当-2,即a4时，f(x)在区间0,2上是增函数,则F(a) =f(2) = 2a 4.r 42a,av4 羽4,2a综上，F(a) = ,4 2 4wav4,2a 4,a4.思维升华 三个“二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础

4、，一般可把a0 时的情形.跟踪演练 2 (1)已知m n为实数，若关于x的不等式x2+mx+nv0 的解集为(一 1,3)，则m+n的值为_ .答案 521 mb n= 0,解析由题意得，一 1,3 为方程x+m灶n= 0 的两根，因此解得m= 2,93RHn=0,n= 3, mFn= 5.(2)(2018 江苏徐州三中月考)已知函数f(x) = x2+ax+b(a,b R)的值域为(一 0, 若关于-x2+ax,Owxva,当 0a2 时，f(x)=2xax,axw2,则f(x)在区间|O, 21 上是增函数，在区间上是减函数，在区间a,2上是增函数，所以a当 1w22,即 2wac 1 的

5、解集为(m-4, mF 1)，则实数c的值为_ .521答案214解析由题意得= 0,a1 2+ 4b= 0, f(x) = x 22,由f(x)c 1 有解得c1,a a _ a ._x2 1 c, 2 . 1 cx0恒成立，则实数k的最大值为 _.答案 4解析函数f(x) =x2kx+ 4 对任意的x1, 3，不等式f(x)0恒成立，24xkx+ 40,化简可得kwx+ .x/x+ 42、/xXx= 4,当且仅当x= 2 时取等号，kw4,实数k的最大值为 4.21已知函数f(x) = loga(xa|x| + 3)(a0,且a* 1).若对于一 1wX1X2W ?的任意实数X1,X2都有

6、f(xf(X2)0,且a* 1),2设g(x) =xax+ 3,(21c=5,216a 1,a由题意得1w2，g1 0则 2a4 或 0a0 对x (1,2)恒成立，则实数k的取值范围是答案(汽 22 2解析 不等式xkx+k 10 对x (1,2)恒成立可化为(1 x)k1 x对x (1,2)恒成立，即k1 +x对x (1,2)恒成立，而函数y= 1 +x在(1,2)上为单调递增函数，所以kw1+ 1 = 2,即实数k的取值范围是(一R,2.若关于x的不等式ax2 |x| + 2a0 的解集为空集，则实数a的取值范围为 _ .答案乎+解析 方法一 设f(x) =a|x|2 |x| + 2a,

7、原不等式ax2 |x| + 2a0恒成立，2a 0,令t=|x|,即g(t)=att+2a在0, + g)上恒 有g(t)0 ,贝 X或A W0孑a 0,1 2亦.g0 0, 方法二 当a= 0 时，|x| 0,当a0时，根据题意得218aw0,综上所述，a的取值范围是Ovav1,ra1或 2w2，解得*真题押题精练真融押总体味高考71. (2018 江苏)函数f(x) =plog2X 1 的定义域为 _答案x|x 2解析 由 log2X 1 0,即卩 log2Xlog22，解得x2,满足x0, 所以函数f(x) = log2x 1 的定义域为x|x2.2 .已知函数f(x) =x2+mx-1

8、，若对于任意xm m+1，都有f(x)0 成立，则实数m的 取值范围是_ .厂22/只m+m 10,2f m+1 ) +%m+1 10,解得 30aw33.答案(1,2)解析 作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm m+1，都有f(x)0.则有f m0,f耐 1 0,4 .已知函数f(x)x+ 1|x| + 1,x R,则不等式f(x2 2x)0,f(x) =2!x11,xv0,作出其图象如图所示.答案8y1-jj f(x3 4 5 6 2x)f(3x- 4),x2-2xv0, 2x-2xv3x-4,Ovxv2,解得 1x2.1vxv4,5.(2018 江苏省南京市金陵中学月考)已知 OWx

9、W2时，不等式一 Ktx2-2xWl恒成立,则t的取值范围是_.答案|1,51解析当x= 0 时，一 101 成立；2x 12x+ 1当 0 1 :2x+ 1/1、j、因为=J+1 丿一 1 在|，+m上单调递增ix +1)(155 _所以x2min=2+1 J- 1=；，贝UtW-；xJ 774由可得，1WtW5.9专题强化练3.函数y=pkx2+ 4kx +(k+ 3 的定义域是R,则实数k的取值范围为 _ .A 组专题通关4已知函数f(x) =7x2 2ax+a2 1 的定义域为A,2?A贝U a的取值范围是 _答案(1,3)解析4- 4a+a- 10,即a2-4a+ 30,解得 1a3

10、.5 .若a0 的解集是 _ .答案(汽 5a)U( -a,+)解析 由x2- 4ax- 5a20,得(x- 5a)(x+a)0,因为a0,所以x-a.梯度训练克通斋考9答案0,1解析 由题意知，kx2+ 4kx+ (k+ 3)0的解集为R.当 k = 0 时，不等式为 30,成立.2 2 . .当k工0时，kx+ 4kx+ (k+ 3)0的解集为 R 等价于函数y=kx+ 4kx+ (k+ 3)的图象与x轴至多有一个公共点，且图象上的其他点总在x轴上方，k0,所以*2A= 16k- 4k(k+ 3 尸 0,解得 0k 1.综上，实数k的取值范围是0,1.1024如果关于x的不等式 5xawo

11、的正整数解是 1,2,3,4 ，那么实数a的取值范围是 _答案 80,125)而正整数解是 1,2,3,4 , 则 4W#| 5,. 800,则实数a的取值范围是 _ 答案(汽 5)解析 令f(x) = 2x2-ax+ 2,若存在实数x 1,2满足 2x2-ax+ 20,则f(1) 0 或f(2)0，即 4a0 或 10- 2a0,即卩a 4 或a 5,故a 5,即实数a的取值范围是(一汽 5) 厂2cx,x0,6.已知函数f(x) = i2_则不等式f(f(x)W3的解集为|x+ 2x,x0或xv，?f(x) 3?x0,2x- 3221,.,7关于x的不等式x-4ax+4a+a+aW0对任意

12、xR都不成立，则实数a的取值范围是_答案 (1,+a)1解析 由题意，不等式x2-4ax+ 4a2+a+wo的解集为?,a- 18则x2-4ax+ 4a2+a+0 对任意x R 恒成立,a 19=16a 4解析?xw3.2由 5x-aw0,114a2+a+十0 恒成立，4a 10，即卩a1.28._已知对于任意的x (-a,1)U(5,+a)，都有x-2(a-2)x+a0,则实数a的取值 范围是_ 1即a+a0,2a-a+1a- 10.12答案(1,5解析 令f(x) =x2 2(a-2)x+a,则当= 4(a 2)2-4a0，即 1a0 在 R 上恒成立，符合题意；当0,即awl或a4时，函

13、数f(x)的两个零点都在1,5上，aw1 或a4,1wa2w5,f1 = 1 2a 2 +a0,解得 4waw5.综上，实数a的取值范围是(1,5.29.已知集合A= x|(x 6)(x 2a 5) 0，集合B= x|(a+ 2) x (2ax)v0.(1)若a= 5,求集合AHB;1已知a2，且“xA”是“xB的必要不充分条件，求实数a的取值范围.解(1)由集合A中的不等式(x 6)(x 15) 0,解得xv6 或x 15 ,即A=(汽 6)U(15,+),集合B中的不等式为(27 x) (10 x)v0,即(x 27)(x 10)v0，解得 10vxv27,即B=(10,27), AHB=

14、 (15,27).1当a时，2a+ 56,A=(a,6)U(2a+5,+),2 2a+ 22a,.B=(2a,a+ 2), xA是“xB的必要不充分条件，B? A,a2+ 2w6,. vaw2.即实数a的取值范围是 0(a R).解x (3a+ 1)x+ 3a0(a R)等价于(x 3a)(x 1) 0(a R).1(1)当av3 时，3av1, xv3a或x 1 ；3t1丄当a=3 时，3a= 1, x丰1;131当a3 时，3a 1, xv1 或x3a；综上，原不等式的解集114(1)当av3 时为(3 3a)U(1,+s)；1当a=3 时为(一a,1)U(1,+s)；(3)当a时为(g,

15、 1)U(3a,+a).3B 组能力提高11.对任意x 1,1，函数f(x) =x+ (a 4)x+ 4 2a的值恒大于零，则为_.答案(汽 1)2解析 函数f(x) =x+ (a 4)x+ 42a的对称轴为a的取值范围x=a 421当4一一a6 时，f(x)在 1,1 上单调递增,f(x)的值恒大于零等价于f( 1) = 1 + (a 4)x( 1) + 4 2a0,解得a3,故有a ?；4 a2当一 K 1,即卩 20,2即a0,即a1，故有a0 且a 1)在1, I 上恒为正，则实数a的取值范围是_.答案2,8U|,+g21；3211解析 设g(x) =axx+ 2xef1,2，需满足g

16、(x) =axx+20, 即卩a=1人贝y hz(x)=1 1,12,设h(x) x h( x)w0,h(x)在 |1,故其图象的对称轴为直线x= 215 f- x 27max 2，121从而a,可得函数g(x) =axx+ 的对称轴为1x=2a1 时，函数f(x)在 1, 2 上单调递增，f(1) = logaa 1 +10?a|,当 2af(x)的解集用区间表示为 答案(丰一2)U(2, +解析 函数f(x)的图象如图，可知图象关于直线x= 2 对称.因为x+ 2 0 且f(x+ 2) f(x)，则必有2 2X+24,X+24,ix0,或 $xv0,x+2x(x+2+x4,已知函数f(x)

17、在区间1,1上存在零点，且 owb 2a0,h() 0,a当一 2 1, 即卩aw2 时，f(x)在1,1上单调减,2上ag(a) =f(1) = +a+ 2；当一 1wa 1，即2aw2时，g(a) =f卜 2 j= 1；a当一 22 时，f(x)在1,1上单调增,2rag(a)=f( 1) = 4 a+ 2.2.aI 4+a+2,aW2,综上，g(a) =1, 22.设s,t为方程f(x) = 0 的解，且一 1wtw1 ,s+1=a,则Lt=b.因为 Owb 2aw1,所以+wsw巳(1wtw1) 当 Owtwi时，黑wstw常,设g(t) =+，则g()=2-+其，当t 0,1时，g()w0,设h(t) = 今，则2h() =2tt8t2+2(t+2)当t 0 ,.5 2)时,2 2t2所以3wr+2w0h(t) 0,当t(5 2,1时，h(t) 0.21t 2t一w w9 4,5,所以-3wbw94,5.当一 1wt 0 时，需wst2tw一,t+2,故其图象的对称轴为直线x= 217所以一 3bv0.故b的取值范围是3,9 4 5.热点一不等式解法一 一 1 例 1 (1)(2018 江苏兴化一中模拟)已知定义在区间2,2上的函数f(x)满