数学奥林匹克初中训练题116

1、中等数学锞外剃结簸营奥潞霞禽劫睁期缘趣（）、第一试黄龙一丢店，面笋丢拣的值点、则篆的值为（）一、选择题（每小题分，共分）（）学、（）学（）竽（）学已知二次函数（茗）满足，（一），（）篆（）筹（乙，弱）慧八，且茗，（菇）舞百（菇）对于一切实数髫均成立则“）的值为（）在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在第二象限，点在坐标轴上，满足（）弘（嗡（）譬、（）是直角三角形构点最多有，口个。，最：鼋知芝谚是白的弦，点在劣弧船少有个则谚十为的值为（）。（），（）：（、上（胆），点在优弧仰上，且一个袋子里装有。个红球。，过作用于则与加个黑球个黄球，这些球仅颜色不同：要保的大小关系为（。）萑摸出的球中有个颜色相

2、同至少应（鲥邶，明（）摸出（。，）个。（），率盘叼（以上都不对。：）（）（）（）二、填空题（每小题分，奘分），在霹，中，？么掣伊，么谗除以的余数为，分别以肛、为边向外部作正。、一、一卟、，联结砸分别交于而卯（），。故文髫）迳刍专菇易氟丢茹×年砑茹（茗算¨）（。斗、，、因此，的个位数即的个位数去省（）（菇）（菇）又聘，故；在四个连续整数戈“茹峙茹中，暑一亡于是，即必有两个连续偶数，其积能被整除；又任意：三个连续整数其积能被整除，且与互所眺，婷，！，”质，因此，菇（髫）（菇）（）能被×固些一二刍，亍丢，：昙孑整除，即对每个整数髫，以菇）均为整数（方祖耀提供）万方数据年

3、第期在梯形加中，；，。“）则么么。，的度数为方程已知，为整数，且关于菇的一元二次（，一）矿一（），髫（一一）参风、，”一至少存伺蜜数根贝所有值的和为已知口为锐角，且口口弋图图则口第二试一、（分）已知实数口、髫、石满足口一与省一至少有一个为负数求证：。若红球摸出个，黑球摸出个，黄球摸出个，此时共摸出个，没有个颜色相同根据抽屉原理，至少摸出个可保证摸出的球有个颜色相同。（似）（口一，（茹，一：）二、（分）在中，么、么韵平分线、髓交于点若四边兢菇兰幽，求证：么曰如图，过作予，三、（分）在，的任意一个排列中，总可找到连续个数之和不小于口求口的最大值延长交加于，联结则是的中点，且÷段奴。是的中

4、点于是，上图参考答案第一试一、又么尼么伽，得一、。、由已失耨茹与一，即茹乞茹憾国÷烈所以，四边形，是平行四边形乎整理得菇故原式咎毁端一因此，丢丢趴令口则（菇）（茹）（菇、），（菇）（髫）一佃。，肛如口，。在铷泓中，（戈一龙）（）（）一崔（）一菇（）石（菇”一。），、一戈菇！一，丢；雩口，砌缸由得由于点在第一象限，点丑在第二象限，于是，过、曰作的垂线与茹轴一定有两个交点，与轴最多有两个交点，最少有则篇舄，嗡圭未个交点；以佃为直径作圆与轴一定有两个交点，与菇轴最多有两个交点，最少有个交点如图及图所以，可丽学口故丽竽可知口，故口；万方数据中等数学设（）似（）在中，由上得明由已知得故；曰以一

5、）碱一，二、。【“）注意到解得，寻一口一一一个、个又茁八茹）丢（髫）对一切实数菇均刀：）×一一一个成立，则令一舛（）名阶由于口的各位数字之和及（口）铲；：如。（皇二×对一切妻数菇均成立能被整除，于是，口能被整除；又的末三位数能被整除，则口又能被整除而若口百，则丢，此时。七一虿与互质，因此，能被整除故原对一切实数不成立所以，丢数除以的余数是一。口，如图，分别过、；白。（），作于、刮左。二鲁：、上邪于则耽船，？二睁一（口一扑翻）蔫：图么百么，二，考虑到：百，；吾二粤哆舞菱等零缉且四边形是矩形二锝口二卺。在中，由得么么，均为锐角，所以，点在线段上当矗；。，未时，毒杀：在中，由上得

6、：一产：一故八菇）京髫名导：即一（船一凹）一凹将上式化简得。从而，以）萼、凹爱亍赢“掣阻￥如图，延长似到点，使：，联一故结融、册、则蟛：掣曲一掣：二一。二么么于是，么么又么么，则么只忸故么么凹，去么尉音么一么咫又在僦中：一么咒日图么怛么。一么么、故么烈么于是，丝，有从而，将方程左边分解得万方数据年第期（一）一（）（凡一）菇一（）得幽蝴蝴由于，则两边同加蝴得幽幽石可雨，一，又四边形栅产脚，贝省幽四边形脚一一上式两边同减衄得因为原方程至少有一个整数根，且为聊衄整数，所以，一±，±，±、因此，解得，一，一故么么一么故所有值的和为一（么）一去（么）二如图，在：中，么知。：

7、令么：则告么。、口锄口了，口了。由已知及勾股定理得：；，一翻二于是，、四点共圆彳一贝么曰么）三、取任一排列，将其分为组，每组口、个数令（。，），（，恐，图【，柏）：一，（，犯，）。解得口警，警：黑詈寻：生丛掣：取组数的平均值一第二试。矿一显然，：，。中至少有一个不小一、不妨设口一财于五此时，总可找到连续一个数之和不小构造莱矛舶二次函数，记于、。蠊车舻）（婵妨一口）（矿）一严）下面构造一个；，的排列，使任侧二次函数的图像开口向下注意到意连续个数之和不大于（茏）（）一（彳）构造一个的数表：将，取一三，于是，。，依次放在前面的×数表中（大数故二次函数的图像与并轴有交点在小数的左（上）侧），将，依次放贝（）（二、）在后面的数表中（小数在大数的右（茗，一），（上）侧）即（聊谚一）（口一）（龙严一）。将此数表的数从左到右、从上到下排成二、如图，过一列，即为满足题设要求的排列（任意连续作上，分别交个数之和为一（，）之、于、，联一）“结、易故的最大值为知注：此题证明中的构造性部分由本编辑，图部的宋强老师提供有。（李明安徽省五河县第三中学，于是，必蝴，尤登明安徽省五河县双庙职业中狮蜥。学，）万方数据数学奥林匹克初中训练题(116)作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：李明， 尤登明， LI Ming， You Deng-m