用向量法表示电路

1、第第8 8章章 相量法相量法 2. 2. 正弦量的相量表示；正弦量的相量表示；3. 3. 电路定理的相量形式。电路定理的相量形式。l 重点：重点：1. 1. 正弦量的表示，三要素；正弦量的表示，三要素；8-1 8-1 复复 数数l 复数复数F的表示形式的表示形式Fb+1+ja0F=a+jbFb+1+ja0 |F|1. 1. 复数及其表示形式复数及其表示形式jbajFeFFj)sin(cos|jeFF| jbaF|FeFFj) 1(j为虚数单位两种表示法的关系：两种表示法的关系：F=a+jb F=|F|ej =|F| 直角坐标表示直角坐标表示极坐标表示极坐标表示或或则则 F1F2=(a1a2)+

2、j(b1b2)(1)(1)加减运算加减运算若若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2F1F2+1+j0Fb+1+ja0 |F|图解法图解法ab baFarctg | 22sin| cos| F bFa2.2.复数运算复数运算实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。采用代数形式采用代数形式(2) (2) 乘除运算乘除运算若若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。例例1. 乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:解解2121)(212121 2121FFeFFeFeFFFjjj2121)j(212j2j1

3、221121 | e|e|e| | |211FFFFFFFFFF?2510475)226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj569. 047.12j61. 248.12采用极坐标形式采用极坐标形式例例2. (3) (3) 旋转因子：旋转因子：复数复数 ej =cos +jsin =1 F ej 相当于相当于F逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 ，而模不变。，而模不变。故把故把 ej 称为旋转因子。称为旋转因子。 解解F+1+j0F ej ?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 04.1462.203 .56211. 79 .2724.192 .126j

4、2 .180原式16.70728. 62 .126j2 .180329. 6 j238. 22 .126j2 .180365 .2255 .132j5 .182故故 +j, j, - -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同 值时的旋转因子值时的旋转因子+1+j0jjej2sin2cos,22jjej)2sin()2cos(,221)sin()cos(,jejI jII jI j+j F1 F1/F2 1 1 - 2 F2 O + 2 i 复数乘除的图解法：复数乘除的图解法：8-2 正弦量正弦量电路中按正弦规律电路中按正弦规律 变化的电压和电流，统称为正弦量。正变化的电压

5、和电流，统称为正弦量。正弦量的表示方法：弦量的表示方法：三角函数式；三角函数式；波形图；波形图；相量法。相量法。在图示电流在图示电流i的参考方向下，的参考方向下，i(t)=Imcos(w w t + i )i+_uIm,w, w, i 这这3个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，称这称这3个量为正弦量的三要素。正弦量随时间变化的图形称个量为正弦量的三要素。正弦量随时间变化的图形称为正弦波。为正弦波。 3 3、角频率、角频率(angular frequency)w:w:Tf w w22 dttdi)(ww1、周期、周期T ：正弦量变化一个循环所需的时间。正弦

6、量变化一个循环所需的时间。单位：单位：s，秒，秒单位：单位： rad/s rad/s，弧度，弧度 / /秒秒一、周期、频率和角频率一、周期、频率和角频率2、频率、频率f ：正弦量每秒重复变化的次数。正弦量每秒重复变化的次数。单位：单位：Hz，赫，赫(兹兹)正弦量的相位正弦量的相位随时间变化的角速度，即：随时间变化的角速度，即：tiO i iTIm2 w wttiOT)(i tsinImi)(i tIcosm1、瞬时值瞬时值:正弦量在任一瞬间的值称为正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值瞬时值，用小写字用小写字母表示，如母表示，如 i、u，e 。2、幅值（最大值）：幅值（最大值）：瞬时值中的最大的值称为

7、瞬时值中的最大的值称为幅值或最大幅值或最大值值，用带下标用带下标m的大写字母表示，如的大写字母表示，如Im、Um、Em。图中，图中，称为正弦量的峰峰值。mminmaxmminmmaxI2,I,Iiiii3、有效值：有效值： 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果，工程上采用有效值来表示。了衡量其平均效果，工程上采用有效值来表示。二、幅值和有效值二、幅值和有效值l 周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective value)定义定义R直流直流IR交流交流i电流有效电流有效值定义为值定义为 TttiTI02defd)(1有效值也称

8、均方根值有效值也称均方根值(root-meen-square)物物理理意意义义TRIW2ttiRWTd)(20 上式适用于周期变化的量，不能用于非周期量。上式适用于周期变化的量，不能用于非周期量。注意：注意：同样同样，可定义电压有效值：，可定义电压有效值： TttuTU02defd)(1l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos(w w t+ i )II2 m ttITITid ) (cos1022mwTtttttTTiTi2121d2) (2cos1d ) (cos 0002wwmm2m707. 0221 IITITI) cos(2) cos()(miitIt

9、ItiwwtuiO三、初相位三、初相位iimtItIiww cos2 cos设： 随时间变化的角度（ ）称为正弦量的相位，或称相位角。 正弦量在t=0时刻的相位，称为正弦量的初相位（角），简称初相，即 itw 定有关。的大小与计时起点的确可见，或度）iitiradtw( 0 两个同频率正弦量的相位之差或初相位之差，即211、相位（相位角）：、相位（相位角）：2、初相位：3、相位差： 研究不同频率正弦量的相位差无意义。研究不同频率正弦量的相位差无意义。设设 u(t)=Umcos(w w t+ u), i(t)=Imcos(w w t+ i)则则 相位差相位差 ： = (w w t+ u)- -

10、(w w t+ i)= u- - i 0， u超前超前i角角 ，或，或i 落后落后u角角 (u 比比i先到达最大值先到达最大值) )； 0， i 超前超前u角角 ，或或u 滞后滞后 i角角 ,i 比比 u 先到达最大值。先到达最大值。w w tu, iu iO规定：规定： | | (180)。注意：注意：ui 0， 同相：同相： = ( 180o ) ，反相：，反相：特殊相位关系：特殊相位关系：w w tu, iu i0w w tu, iu i0= /2/2：u 领先领先 i /2/2；i 落后落后 u /2/2。称。称u 、i正交。正交。w w tu, iu i0。位差也与参考方向有关参考方

11、向有关，所以相初相位与设定的点选取、变动无关。但可见，相位差与计时零例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。解解不能比较相位差不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。号，且在主值范围比较。 )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( ) 1 (21ttitti)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201ttitti)105100cos(10)(02tti)45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3(0201t

12、tuttu)30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201ttitti)150100cos(3)(02tti000135)105(3045)2(4343452000120)150(3021ww83 相量法的基础相量法的基础设函数设函数对对A(t)取实部：取实部：对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数A(t)包含了三要素：包含了三要素：I、 、w w ，复常数包含了复常数包含了I I , 。A(t)还可以写成还可以写成复常数复常数无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物理意义一一. . 用

13、相量表示正弦量用相量表示正弦量)j(e2)(tItAw) sin(2j) cos(2tItIwwi(t)tItA) cos(2)(Rew) j(2)A( ) (c2tIettosIiwwtte IItAwwjj2ee2)(j1、相量式、相量式 ) cos(2)( iiIItItiw称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。 II 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i, u .解解 ) cos(2)(uuUUtUtuw)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .141ooutiV

14、60220A30100oo UIijmieImmII或骤。不必经过上述变换步角频率须给出正弦量的相对应的正弦量时，必反之，从相量直接写出量；弦量写出与之对应的相实际中，可直接根据正w注：在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解2 2、相量图、相量图 i i u。已知 50Hz A,1550 fIA )15314cos(250tiiiIItosIti) (c2)(uUUutosUtu) (c2)(wUI二二. . 相量计算相量计算1 1、 同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变故同频正弦量相加减运

15、算变成对应相量的相加减运算。成对应相量的相加减运算。i1 i2 = i3U21UUU 可得其相量关系为：可得其相量关系为：)2(R) cos(2)()2(R) cos(2)( j2222 j1111tteUetUtueUetUtuwwww)(2(R)22(R )2(R)2(R)()( )( j21j2j1j2j121ttttteUUeeUeUeeUeeUetututuwwwww321 III例例也可借助相量图计算也可借助相量图计算+1+j+1+j46. 619. 7j V 9 .4164. 9o 首尾相接首尾相接V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21ttuttu

16、V604 V 306o2o1UU60430621UUUV )9 .41314cos(264. 9)()()(o21ttututu46. 32319. 5jj2U9 .41U1U1UU2U609 .41306030 2 . 2 . 正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算微分运算微分运算:积分运算积分运算:2 w ww w iIIjdtdi2 w ww w iIjIidt ) cos(2iiIItIiw 2Re 2Re tjtjejIe IdtddtdiwwwtjtjejIte Iti 2Re d 2RedwwwIjdtidnnn)()()(w w njIni）（重重积积分分的的w w例例R

17、i(t)u(t)L+- -C用相量运算：用相量运算：相量法的优点：相量法的优点：（1 1）把时域问题变为复数问题；）把时域问题变为复数问题；（2 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路； 1)(idtCdtdiLRitu ) cos(2)(itItiw CjIILjIRUww84电路定律的相量形式电路定律的相量形式定律时域形式相量形式KCLKVL 0i 0u 0I 0U二、二、R、L、C的的VCR相量形式相量形式同相。的相位差为零，即它们和可见，或）（或RRRR

18、RRRRRRiuGUIRIUUGIIRU)( uR(t)i(t)R+- -R+- -RU I1、电阻R u= i同同相相位位IRU一、一、 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式时域形式1相量形式2）或RRRRuiiuGR(1)时域形式：时域形式：dtdi LuLL2、电感、电感LLLLLLUL1jLjUIILjU www或2)相量形式：相量形式：L/UI LIULLLLww或i(t)uL(t)L+- -jw w L+- - ILU LUI。，此时电感相当于短路，。当的相位为滞后可见、002LuiLLww1iu1）时域形式dtdu CCCi2）相量形式CCCCCIC1jCjIUUCjI www或。，此时电容相当于开路时，。当的相位为滞后可见，ciuccww102iC(t)u(t)C+- - UCI +- -Cj1UCI uCCICUww1CUICC或3、电容、电容C（2）KCL，KVL的相量形式和R、L、C等元件VCR的相量形式与描述电阻电路的有关关系式完全相似。 （1）对线性受控源，同样可用相量形式表示。如图中，。其相量形式为kjkjUgIgui,注：注：kujuji0kikU0kIjUjI。和和，求求电电压压，已已知知：有有效效值值bdadSuuFCHL