24弦切角的性质25与圆有关的比例线段ppt课件

1、普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆心角和圆周角。圆心角和圆周角。问题问题1：在前面我们共同研究过与圆有关的：在前面我们共同研究过与圆有关的两种什么角？两种什么角？回想回想 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆心角的一半。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。问题问题2：圆周角定理：圆周角定理圆心角定理圆心角定理普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-

2、1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系察看：在图察看：在图1中，以点中，以点D为中心旋转直线为中心旋转直线DE，同时保证直线同时保证直线BC与与DE的交点落在圆周上的交点落在圆周上.在图在图1中中,根据圆内接四边形的性质根据圆内接四边形的性质,有有BCE=A.OC CA AB BD D图图1EO(C)A AB BD图图2E当当DE变为圆的切线时变为圆的切线时(如图如图2),你能发现什么现象你能发现什么现象?在图在图2中中,DE是切线是切线, BCE=A仍然成立吗仍然成立吗?普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系猜测：猜

3、测：ABC是是 O的内接三角形，的内接三角形，CE是是 O的切线，那么的切线，那么BCE= A.OCOCCCCCCCCOCOCOCOC普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系1.弦切角弦切角:O(C)A AB BD图图2E顶点在圆上，一边和顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。相切的角叫做弦切角。普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系AAAABBBBBCCCCC下面五个图中的下面五个图中的BAC是不是弦切角？是不是弦切角？练一练练一练A普通高

4、中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1) 顶点在圆上；顶点在圆上；(2) 一边和圆相交；一边和圆相交；(3) 一边和圆相切。一边和圆相切。弦切角的特征：弦切角的特征：ABC普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系几何语言几何语言: BA切切 O于于AAC是圆是圆O的弦的弦2.弦切角定理弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。DBAC= ADCm普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(

5、1)指出图中所有的弦切角指出图中所有的弦切角;弦切角有：弦切角有： APC 、 APD 、 APE BPC 、 BPD 、 BPE(2)指出这些弦切角所夹的弧。指出这些弦切角所夹的弧。APC (弧弧PC) APD (弧弧PCD) APE (弧弧PCE)BPC (弧弧PEC)练一练练一练如图，直线如图，直线AB和和 O相切于点相切于点P，PC 、PE是弦，是弦，PD是直径。是直径。ABOPDCEBPD (弧弧PED)BPE (弧弧PE)练一练练一练练一练练一练普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系例例1.如图已知如图已知AB是是 O的直

6、径的直径,AC是弦是弦,直线直线CE和和 O切于点切于点C,ADCE,垂足为垂足为D.求证求证:AC平分平分BAD.OABCDE12思路一思路一:普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系思路二思路二: 连结连结OC,由切线性质由切线性质,可得可得OCAD,于于是有是有2=3,又由于又由于1=3,可证得可证得1=2OABCDE312普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系例例2: 如图如图,AD是是ABC中中BAC的平分线的平分线,经过经过点点A的的 O与与BC切于点切于点D,与与

7、AB、AC分别相交于分别相交于E、F. 求证：求证：EFBC.BAEDCFO普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系1.如图，如图，AC是是 O的弦，的弦，BD切切 O于于C，则图中弦切角有，则图中弦切角有 个个.4假设假设AOC=1200,那么那么 ACD = .OBDAC6002.如图，直线如图，直线MN切切 O于于C，AB是是 O的直径的直径,假设假设 BCM=400,那那么么 ABC等于（等于（ ）A.400 B. 500 C. 450 D.600MCNBAO3.知知 O是是ABC的内切的内切圆圆,D,E,F为切点为切点,假设假

8、设 A: B: C=4:3:2, 那么那么DEF = , FEC= .B500700练习：练习：ABFEDCO普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系弦切角弦切角-顶点在圆上，一边和圆相顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。交，另一边和圆相切的角。一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们所夹的或所对的同一条弧或等弧联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质求解。弦切角定理弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.留意：留意：内容总结内容总结普通高中课程数

9、学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系方法归纳方法归纳定理的证明定理的证明 (化归思想、分类思想化归思想、分类思想)化归化归化归化归COCOOC普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 分析：延用从特殊到一般的思路。先分析分析：延用从特殊到一般的思路。先分析ABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。三角形的情形化

10、归为直角三角形的情形。普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)圆心圆心O在在 ABC的边的边BC上上证明证明: :ABOCE普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(2)圆心圆心0在在ABC的内部的内部OC普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(3)圆心圆心0在在ABC的外部的外部,OC普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系普通高中课程数学选修普通高中课程

11、数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究探究1:AB是直径是直径,CDAB交点交点P.线段线段PA,PB,PC,PD之间有何关系之间有何关系?CABPDOACBPDOACBPDOPAPB=PCPD1.相交弦定理相交弦定理 圆内的两条相交弦，被圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。交点分成的两条线段长的积相等。普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系A(C.P)BD探究探究2:把两条相交弦的交点把两条相交弦的交点P从圆内从圆内运动到圆上运动到圆上.再到圆外，再到圆外，结论结论 是否还能成立是否还能

12、成立?PAPB=PCPDP在圆外:易证PADPCB .PBPDPCPA故故PAPB=PCPDP在圆上:PA=PC=0, 仍有 PAPB=PCPDAPCBDPAC普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.A(B)PODCPAPB=PCPD探究探究3:使割线使割线PB绕绕P点运动到切线的点运动到切线的位置位置,是否还能成立是否还能成立?APBODC普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系A(B)P

13、ODC连接AC,AD易证PACPDA 上式可变形为上式可变形为PA=PCPD3.3.切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项交点的两条线段长的比例中项. .故故PAPB=PCPD仍成立仍成立因为因为A,B重合，重合，普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究探究4:使割线使割线PD绕绕P点运动到切线的点运动到切线的位置位置,可以得出什么结论可以得出什么结论?A(B)PODC易证易证RtOAP RtOCP. PA=PC4.4.切线

14、长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等条切线，它们的切线长相等, ,圆心和圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角这一点的连线平分两条切线的夹角. .A(B)POC(D)PA=PCPD普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系思索思索:1.由切割线定理能证明切线长定由切割线定理能证明切线长定理吗理吗?如图由如图由P向圆任作一条割线向圆任作一条割线EF试试试试.A(B)POC(D)EF思索思索:2.你能将切线长定理推广到空间你能将切线长定理推广到空间的情形吗的情形吗?O普通高中课程数学选修普通高中课程数学

15、选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点P,已知PA=PB=4.PC= PD,求CD的长. CDABP41解:设CD=x,则PD= ,PC=x54x51由相交弦定理,得PAPB=PCPD44= 求得求得 x=10,x54x51CD=10普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线EF/CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.求证:(1)DFEEFA; (2)EF=FG ABCOFGED321EFFDFAEFDFEEFAEF=FAFD又又

16、GF=FAFDGF= EFEF=FG普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD.求证:PC=PDPABDC析：析：PC=PAPB又又PD=PAPBPC= PDPC=PD普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系例例4.如图如图,AB是是 O的直径的直径,过过A,B引引两条弦两条弦AD和和BE,相交于点相交于点C,求证求证:ACAD+BCBE=AB.ABDECOF分析分析:A,F,C.E四点共圆四

17、点共圆BCBE=BFBA.F,B,D,C四点共圆四点共圆ACAD=AFAB.ACAD+BCBE=AFAB+BFBA =AB(AF+BF)=AB普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系例例5.如图如图,AB,AC是是 O的切线的切线,ADE是是 O的割线的割线,连接连接CD,BD,BE,CE.BAECOD问题问题1 由上述条件能推出哪些结论由上述条件能推出哪些结论?探究探究1: ACD= AECADC ACE AEACCECDCDAE=ACCE 同理同理 BDAE=ABBE 因为因为AC=AB,由由 可得可得 BECD=BDCE 图图普通

18、高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系探究探究2: 猜想并可证明猜想并可证明问题问题2 在图在图(1)中中,使线段使线段AC绕绕A旋转旋转,得到得到图图(2),其中其中EC交圆于交圆于G,DC交圆于交圆于F,此时又此时又能推出哪些结论能推出哪些结论?BAECOD图图BAECODFG图图ADC ACE 同样可得同样可得普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系证明如下证明如下:BAECODFG图图AB=ADAE,而而AB=AC,AC=ADAE,即即ACADAEACCAD= EAC,(对

19、应边成比例且夹角相等对应边成比例且夹角相等). ADC ACE 另一方面连接另一方面连接FG由于由于F,G,E,D四点共圆四点共圆 CFG= AEC,又又ACF= AEC, CFG= ACF, FG/AC 普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系BAECODFG图图问题问题3 在图在图(2)中中,使线段使线段AC继续绕继续绕A旋转旋转,使割线使割线CFD变成切线变成切线CD,得到图得到图(3),此时又此时又能推出哪些结论能推出哪些结论?BAECODFG图图P探究探究3: 可以推出可以推出1）（6的所有结论。的所有结论。普通高中课程数学选

20、修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系BAECODQG图图P此外此外AC/DG.CECGAEADADCE=AECG ACD AECACADCECDACCD=ADCE 由由可可得：得：ACCD=AECG 连接连接BD,BE,延长延长GC到到P,延长延长BD交交AC于于Q,那那么么PCQ= PGD= DBE,故故C,E,B,Q四点共圆四点共圆 普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系习题习题2.55.如图, O与 O相交与点A,B.PQ是 O的切线,求证:PN=NMNQQNPOOABM普通高中课程数

21、学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系6.如图,PA是 O的切线, M是PA的中点,求证:MPB=MCPMA=MBMC=PMMCPMPMMBMBPPMCMPB=MCPAPCBMO思绪：思绪：习题习题2.5普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系习题习题2.57.如图, AD,BE,CF分别是ABC三边的高,H是垂心,AD延长线交ABC外接圆于点G, 求证:DH=DGACEGBFHD132普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系AECD

22、PBFO习题2.58.如图, O直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P,AE=AC. 求证:PFPO=PAPB 12POCPDFPFPCPDPOPFPO=PDPC又又PDPC=PBPAPFPO=PBPA思绪：思绪：普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系习题习题2.5 9.将例将例5的图的图(1)作如下变化作如下变化:以以A为中心为中心,把线段把线段AC绕绕A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度,连接连接EC并延长与圆相交于并延长与圆相交于F,连接连接DC并延长与圆相交于并延长与圆相交于G,连接连接FG,其他条件同例其他条件同例5,能推能推出哪些结论出哪些结论?假设假设BAD= CAD,又有