河北师大近世代数课件 第2讲--3-7节代数运算与三种运算律-一一映射 (9)

1、主讲教师主讲教师 ： 蔡蔡 炳炳 苓苓 （河北师范大学数学与信息科学学院（河北师范大学数学与信息科学学院)第第9讲讲 第6节 置换群 定义定义1：一个有限集合的一个一一变换叫做一：一个有限集合的一个一一变换叫做一个个置换置换。定义定义2： 一个有限集合的若干个置换构成的群一个有限集合的若干个置换构成的群称为一个称为一个置换群置换群。定义定义3：一个含有：一个含有n个元素的有限集合的所有个元素的有限集合的所有置换构成一个群，称为置换构成一个群，称为n次对称群次对称群。记作。记作Sn一、置换和置换群一、置换和置换群 定理定理2 任何有限群都同任何有限群都同一个一个置换群同构。置换群同构。定理定理1

2、：n次对称群次对称群Sn的阶是的阶是n！。！。注：置换群是有限群。二、置换的矩阵表示二、置换的矩阵表示 1,2,An 1212nnppp12:1,2,nppnp 置换置换可表示为可表示为12,nppp其中其中是是1,2,n的全排列的全排列.考虑任意有限集合，不妨设称作一个n阶置换或n次置换。注注：一个n阶置换可以有n!种不同的表示形式。例例1 1 1 , 2 , 3A 0123123 1123132 2123213 3123231 4123312 5123321 3012345,S 设设, ,求求A的全体置换的全体置换. .三次对称群为：三次对称群为：1256,1;11212,1221,SSS

3、S 完全类似地可有完全类似地可有：关于置换的运算关于置换的运算1.1.置换的乘积置换的乘积：1212,nnppp 1212nnpppkkk 1212nn 12112npppn 1212nnkkk1212nnppp 2.2.单位（恒等）置换单位（恒等）置换：3.3.置换的逆置换的逆：注意：置换乘法没有交换律注意：置换乘法没有交换律。如。如1123132 5123321 123312 153 15123123132321 51123123321132 123231 514 3S是有限非交换群.是最小的有限非交换群.因为我们3S而且，可以说后面会看到，阶数小于6的群都是交换的。设 是两个置换，其中则

4、,naaan212111212nnaaa 命题2则111(1)(1)11112(2)(2)11kknkknkknkknjjjjjjjjjjjjjjjj设命题11112(1)(1)(2)(2)11kknkknjjjjjjjj nS1i2i2ikii,31i定义定义 中的一个将中的一个将变到变到，变到变到变回到变回到，而其余元素（如果还有其他，而其余元素（如果还有其他元素）不发生元素）不发生变化的置换，叫做变化的置换，叫做 k k循环循环( (置换置换) )或轮换或轮换，记为，记为 123231121)（，（， ，或（kkkki i iii ii ii i ii 注注：循环置换的表示一般也不是唯一

5、的。习惯上，称2-轮换为对换；单位置换常记为(1)(2)(3)( )n 三、循环置换及置换的循环置换分解表示三、循环置换及置换的循环置换分解表示 0123123 1123132 2123213 3123231 4123312 5123321 3012345,S 例例 三次对称群为：三次对称群为：3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S 三次对称群中所有置换都是循环置换三次对称群中所有置换都是循环置换 注：注：并不是每个置换都是循环置换。并不是每个置换都是循环置换。1234534521 12345345211234512345(135)(24)3254114325 不是循

6、环置换，但不是循环置换，但 12, ,ki ii 12,sjjj 设设和和都是循环置换都是循环置换, ,如果如果与与不含相同元素，不含相同元素，是不相连（交）的是不相连（交）的. .则称则称与与定理定理3 3 每个置换都可表成不相连循环置换之积每个置换都可表成不相连循环置换之积. .121223112kssiiijjjabiiijjjab 12, ,ki ii 证：证： 注注：将置换写成不相连的循环置换之积是：将置换写成不相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法表示置换的第二种方法. .对其变动的数字个数作归纳1-循环) 1 (3-循环4-循环2-循环混合循环)34(),24(),23(),14(),13(),12()243(),234()143(),142(),134(),132(),124(),123()1432(),1423(),1342(),1324(),1243(),1234()23)(14(),24)(13(),34)(12(例：将S4中的置换写成循环置换乘积的形式。练习练习123456613542123456231654123456316452 求求（1 1）循环置换分解，（）循环置换分解，（2 2）逆元，（）逆元，（3 3）阶）阶（4