数学物理方程-_特征线法 2014-12

1、 特征线法特征线法 它产生较早，它产生较早，1919世纪末已经有效地世纪末已经有效地为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。 23,0,(1)( ,0),(2)txuuxttxu xxx 3txuu( , )u x t( , )u x ttxxduuuxtdt3xtc3xct224,0(3)(0)( (0),0)(0)dutctdtuu xxc222utctc3xtc222(3 )(3 )utxt txt22222369txtt

2、xxtt2285xtxt3xtc3xtc23,0,(1)( ,0),(2)txuuxttxu xxx 3xtc30dxdt30dxdt23,0,(1)( ,0),(2)txuuxttxu xxx 3 ,.xtxtttuuu( 3)0uu 3,u xxxuuu11uu uu3,tuu ,xuuu3txuuxt,.3tx3txuuxt33()uuu3u34.343.3u41.99u221( ),99ug( )g 221( , )( ),99ug 221( , )(3 )(3 ),99u x txxt xg xt2( ,0)u xx22221( ),99xxxg x28( ),9xg x22218(

3、 , )(3 )(3 ) ,999u x txxt xxt22222138(69 ),9999xxtxxxt2258 .xtxt 4txaubucufa 05dxabdtcbfxt(0)x(0)cxx(0),x (0)xx 2( cos )0,0,(6)1(7)( ,0),1txuxt utxu xxx cos0,dxxtdt( ,0)cos0,0(0)dxxttdtxsintxe2( cos )0,01(0)( ,0)1txduuxt utdtuuu 21(0)81usintxesin,txe22sin1( , )1tu x tx e2(1)0,0(2)( ,0)( ),0)( ),ttxx

4、tua uxtu xx u xxx 220(3)dxadt0,0dxdxaadtdt12,xatc xatc22110,a kka 1211,txc txcaa220(3)dxadtxatxat则则tttuuuauau ()()ttttttua uua uu ()()aauauaauau 2(2)auuuxxxuuuuu2xxuuuu2ttxxua u24a u 则（则（1）式变为）式变为0u积分此方程，可得积分此方程，可得1( )uf1( )( )ufg( )( )fg其中其中f、g是两个任意函数，将变量是两个任意函数，将变量, 还原成还原成x和和t得得( , )()()u x tf xat

5、g xat由方程由方程2(1)0,0(2)( ,0)( ),0)( ),ttxxtua uxtu xx u xxx 的（的（2）式，可得）式，可得( )( ,0)( )( )( ),0)( )( )txu xf xg xxu xafxag x ( )( ,0)( )( )( )( ),0)( )( )txu xf xg xAxu xafxag x 对上面第二式两边积分对上面第二式两边积分0( )( )( )(0)(0)( )xdaf xag xafagB 联立（联立（A）（）（B）两式，可得）两式，可得00111( )( )( )( (0)(0)(7)222111( )( )( )( (0)(

6、0)(8)222xxf xxdfgag xxdfga 所以所以( , )()()u x tf xatg xat001111()( )()( )2222x atx atxatdxatdaa 11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 1310321212 kkkk和和有有根根方方程程CyxCyx 和和特特征征线线3)()3(),(yxgyxfyxu 通通解解 Cxgxfxgxfxuxxgxfxuy)()(310)()(31)0 ,(3)()()0 ,(2CxxgCxxf 2243)(,49)(解解出出.3)(43)31(49),(2222yxyxyxyxu 0)

7、0 ,(,3)0 ,(0322xuxxuuuuyyyxyxx定解问题定解问题例例2 2解解 xaxuxxuuautxxttcos)0 ,(,sin)0 ,(2定定解解问问题题)sin(cos212)sin()sin(),(atxdatxatxtxuatxatx 例例1 1解解线性二阶偏微分方程：叠加原理 线性： ijiabcF、 、 、 12,nx xx只是的 函数，而不是u, F ，或更复杂变量的函数，否则是非线性的。例1，理想、均匀介质，小振幅波动方程为线性的2( , )ttxxua uf x t线性的主要特征线性的主要特征：满足叠加原理叠加原理 灯泡、手榴弹声源特性时域波形 例2, 非线性的：非线性的：大振幅平面波波动方程，(非线性声学),波动方程的解不满足叠加原理 ()0uuuctx应用：灯泡声源、声弹 激波第一气泡脉冲激波