协方差与相关系数

1、11 1、协方差、协方差第第1616讲讲 协方差与相关系数协方差与相关系数2 2、相关系数、相关系数主要内容：主要内容：重点：重点：1-31-3难点：难点：2 23 3、数字特征复习、数字特征复习华软软件学院课件华软软件学院课件 对于多维随机变量，期望和方差只反映了各自的对于多维随机变量，期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没有反映随机变量间的关系平均值与偏离程度，并没有反映随机变量间的关系. .0)()( YEYXEXE由由方方差差性性质质的的证证明明知知，相相互互独独立立，则则若若YX, 0)()( YEYXEXE反反之之，若若不不独独立立。与与则则YX这这说说明明)()(YEYX

2、EXE 在在一一定定程程度度上上之之间间的的关关系系。与与反反映映了了YX一、协方差一、协方差 设设(X,Y)为二维随机变量，为二维随机变量， 若若)()(YEYXEXE 存在，则称其为随机变量存在，则称其为随机变量 X和和Y 的协方差的协方差.记作记作 cov(X,Y), 即即)()(),cov(YEYXEXEYX ),cov(),(YXYX是是离离散散型型，则则若若ijjjiipYEyXEx)()(, ),cov(),(YXYX是是连连续续型型，则则若若dxdyyxfYEyXEx),()()( 易易得得此此外外，由由期期望望的的性性质质，)()()(),cov(YEXEXYEYX 相相互互

3、独独立立时时，有有与与特特别别地地，当当YX. 0),cov( YX协协方方差差的的性性质质1性性质质)(),cov(XDXX 2性质性质),cov(),cov(XYYX 3性质性质),cov(),cov(YXabbYaX 4性质性质0),cov( cX5性质性质),cov(),cov(),cov(2121YXYXYXX 6性质性质0),cov(, YXYX则则相相互互独独立立与与若若为常数为常数cba,7性质性质),cov(2)()()(YXYDXDYXD ?),cov( baXX)(XaD :),(1的的联联合合分分布布律律为为设设二二维维随随机机变变量量例例YX - 1 0 2 0 0.

4、1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1XY).,cov(YX求求0)( XYE,15. 0)(,95. 0)( YEXE解解：)()()(),cov(YEXEXYEYX 15. 095. 0 1425. 0 求协方差。求协方差。练习：练习：20. 4:89P的的密密度度函函数数为为设设二二维维随随机机变变量量例例),(2YX 其其它它, 0, 10,8),(yxxyyxf).,cov(YX求求 其它其它, 010),1(4)(2xxxxfX 其其它它, 010,4)(3yyyfY dxxxfXE)()( 102)1(4dxxxx158 dyyyfYE)()( 1

5、034dyyy54 dxdyyxxyfXYE),()( 10dx 18xxydyxy94 )()()(),cov(YEXEXYEYX 753294 2254 的的密密度度函函数数为为设设二二维维随随机机变变量量练练习习：),(YX 其它其它, 0, 2,0),(81),(yxyxyxf).,cov(YX求求,67)()( YEXE,34)( XYE)()()(),cov(YEXEXYEYX 361 其其它它, 020,4)1()(xxxfX协方差是对两个随机变量的协同变化的度量协方差是对两个随机变量的协同变化的度量, 但是其但是其受度量单位的影响。受度量单位的影响。例如例如, KX与与KY之间

6、的统计关系和之间的统计关系和X与与Y之间的统计关之间的统计关系应该一样，但协方差却扩大了系应该一样，但协方差却扩大了K2倍。倍。. ),cov(),cov(2YXkkYkX 即即为避免量纲的影响，取标准化随机变量为避免量纲的影响，取标准化随机变量)()(,)()(*YDYEYYXDXEXX 二、相关系数二、相关系数 )()(,)()(*YDYEYYXDXEXX 不不再再有有量量纲纲的的影影响响。则则),cov(*YX称称为为二二维维随随机机变变量量设设定定义义, 0, 0 )D(Y)D(X(X,Y)，)()(),cov(),cov(*YDXDYXYX 记记作作的的相相关关系系数数和和为为随随机

7、机变变量量,YX. 或或XYXY 不不相相关关。与与时时，称称特特别别地地，当当YXXY0 (1) 不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系 相互独立相互独立不相关不相关 (2) 不相关的充要条件不相关的充要条件 ; 0,1o XYYX不不相相关关; 0),Cov(,2o YXYX不不相相关关).()()(,3oYEXEXYEYX 不不相相关关相相关关系系数数的的性性质质(3)1 XY 线线性性相相关关程程度度越越弱弱。与与，越越接接近近线线性性相相关关程程度度越越高高；与与，越越接接近近XYXYXYXY01 无无线线性性关关系系。与与时时，当当有有严严格格的的线线性性关关系系；与与时时，

8、当当XYXYXY01 YX例例3 设（设（ X ，Y ）的联合分布律为的联合分布律为412112 410041041410判断判断 X与与Y的相关性和独立性。的相关性和独立性。, 0)( XE,25)( YE, 0)( XYE0 XY 不不相相关关。与与YX无无线线性性关关系系。与与这这表表示示XY1201, 2 YPXPYXP但但不不独独立立。与与YX2XY 事事实实上上，,cos,sin,4 YX且且上上的的均均匀匀分分布布设设例例.是是否否相相关关，是是否否独独立立与与判判断断YX dXEsin21)(, 0 dXYEcossin21)( dYEcos21)(, 0 , 0 )()()(

9、YEXEXYE .不相关不相关与与YX.122不独立不独立与与，所以，所以但是但是YXYX .)(,23,21,)16, 0(),9,1(5XZXYZDYXZYNX 及及求求设设且且已已知知例例 分析分析: 协方差。协方差。的的与与必须先求出必须先求出的方差的方差独立，所以求独立，所以求与与已知条件没有告诉已知条件没有告诉YXZYX解解: : XYYDXDYX )()(),cov( 6 )23()(YXDZD )(41)(91YDXD )2,3cov(2YX )(41)(91YDXD ),cov(21312YX 7 , 6),cov( YX, 9)( XD)23,cov(),cov(YXXZX

10、 又又),cov(21),cov(31YXXX 6 , 7)( ZD),cov(21)(31YXXD )()(),cov(ZDXDZXXZ 736 772 思考与练习：思考与练习：).()(, 6 . 0,25)(,49)(),(. 1YXDYXDYDXDYXXY 与与求求为为二二维维随随机机变变量量，设设 ).,cov(, 2 . 0,16)(, 9)(, 0)()(),(. 222YXYEXEYEXEYXXY求求为为二二维维随随机机变变量量，设设 ,21),cov( YX),cov(2)()()(YXYDXDYXD 116 ),cov(2)()()(YXYDXDYXD 32 ,16)(,

11、9)( YDXD4 . 2)()(),cov( YDXDYXXY 课课 后后 作业作业数学期望（均值）数学期望（均值） 1)(kkkpxXExxfxXEd)()( 重 点 回 顾 kkkpxgXgE)()( dxxfxgXgE)()()(数数学学期期望望的的性性质质1性性质质ccE )(2性质性质cXEcXE )()(3性质性质)()(XkEkXE 4性质性质cXkEckXE )()(5性质性质)()()(YEXEYXE 推论推论)()()()(2121nnXEXEXEXXXE .)()(.)(,22XEXEXDXDXX 即即或或记记作作的的方方差差期期望望称称为为离离差差的的平平方方的的数数

12、学学随随机机变变量量定定义义.,)(或标准差或标准差的均方差的均方差称为称为方差的算术平方根方差的算术平方根XXD方差方差 离散型随机变量离散型随机变量 X 的方差的方差 )(XDiiipXEx21)( 连续型随机变量连续型随机变量 X 的方差的方差 xxfXExXDd)()()(2 差差的的简简便便公公式式由由期期望望的的性性质质，可可得得方方22)()()(XEXEXD 方方差差的的性性质质1性性质质0)( cD2性质性质)()(XDcXD 3性质性质)()(2XDccXD 4性质性质)()()(YDXDYXDYX 相相互互独独立立，则则与与若若10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)

13、1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布 参数参数 数学期望数学期望 方差方差 两点分布两点分布 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布 指数分布指数分布 正态分布正态分布 0, 2常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差_)(, 4 . 2)(), 6(. 12 XEXEpBX则则且且设设随随机机变变量量练练习习：2 . 7._)(_,)(2,PX1PX),(. 2 XDXEPX则则且且设设 22_)(),1(. 32 XeXEEX则则设设34._)(_,)(, 12),1 , 0(. 4 YDYEXYNX则则且且设设14._)(_,)(,5. 5 XDXEX方方差差的的期期望望则则其其点点数数和和颗颗骰骰子子掷掷23512175_)32(, 1)(, 2)(. 6 YXDYDXDYX则则相相互互独独立