线面垂直的判定答案习题详细答案

1、直线与平面垂直的判定1.1.了解线面垂直的判定定理的直观感知，归纳推导过程了解线面垂直的判定定理的直观感知，归纳推导过程. .2.2.理解线面垂直的定义以及判定定理理解线面垂直的定义以及判定定理. .3.3.能够运用线面垂直的判定定理判定或证明线面垂直能够运用线面垂直的判定定理判定或证明线面垂直. .1.1.本节课的重点是掌握线面垂直的定义以及判定定理、线面角本节课的重点是掌握线面垂直的定义以及判定定理、线面角的概念，并能正确运用的概念，并能正确运用. .2.2.本节课的难点是判定定理和线面角的理解以及应用本节课的难点是判定定理和线面角的理解以及应用. .1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直(

2、1)(1)定义：若直线定义：若直线l与平面与平面内的内的_直线都垂直，则直直线都垂直，则直线线l与平面与平面互相垂直互相垂直. .记作记作_._.(2)(2)相关概念：直线相关概念：直线l叫做平面叫做平面的的_._.平面平面叫做直线叫做直线l的的_._.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做_._.任意一条任意一条l垂线垂线垂面垂面垂足垂足(3)(3)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图直，如图. .2.2.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理(1)(1)语言表述语言表述条

3、件：直线垂直于平面内的两条条件：直线垂直于平面内的两条_._.结论结论: :直线与此平面直线与此平面_._.(2)(2)符号表述：符号表述：laalbb_相交直线相交直线垂直垂直l.a a,b,bab=Pab=P1.1.若直线若直线l与平面与平面内的无数条直线垂直，能否一定得出直线内的无数条直线垂直，能否一定得出直线l与平面与平面垂直？垂直？1.1.若直线若直线l与平面与平面内的无数条直线垂直，能否一定得出直线内的无数条直线垂直，能否一定得出直线l与平面与平面垂直？垂直？提示：提示：不一定不一定. .如果这无数条直线是一组平行线，就得不出垂如果这无数条直线是一组平行线，就得不出垂直直. .2.

4、2.若直线若直线mm直线直线n,n,且直线且直线mm平面平面,能否推出直线能否推出直线nn平面平面?. .2.2.若直线若直线mm直线直线n,n,且直线且直线mm平面平面,能否推出直线能否推出直线nn平面平面?提示提示: :能能. .任取直线任取直线a a,b,b,ab=P,ab=P，又直线，又直线mm平面平面,所以所以ma,mbma,mb，又直线，又直线mm直线直线n,n,所以所以na,nb,na,nb,于是得直线于是得直线nn平平面面.3.3.如果直线如果直线l与平面与平面内的所有直线都垂直，则直线内的所有直线都垂直，则直线l与平面与平面的位置关系是的位置关系是_._.3.3.如果直线如果

5、直线l与平面与平面内的所有直线都垂直，则直线内的所有直线都垂直，则直线l与平面与平面的位置关系是的位置关系是_._.【解析】【解析】由线面垂直的定义可知，直线由线面垂直的定义可知，直线l垂直于平面垂直于平面.答案：答案：垂直垂直1.1.关于直线与平面垂直的定义的理解关于直线与平面垂直的定义的理解(1)(1)定义中的定义中的“任何一条直线任何一条直线”这一词语，它与这一词语，它与“所有直线所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直. .(2)(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.

6、 .(3)(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即直，即“线面垂直，则线线垂直线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法直时经常使用的一种重要方法. .(4)(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为的横边垂直，符号语言表述为l. 线面垂直的判定定理的理解线面垂直的判定定理的理解【技法点拨】【技法点拨】正确把握线面垂直的判定定理正确把握线面垂直的判定定理(1)(1)记法及意义：记法

7、及意义：“线线垂直，则线面垂直线线垂直，则线面垂直”中中“线线线线”指一指一条直线和平面内的两相交直线；条直线和平面内的两相交直线；“线面线面”指这条直线和两相交指这条直线和两相交直线所在的平面直线所在的平面. .(2)(2)成立的条件：直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线成立的条件：直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线与两相交直线有无公共点均可与两相交直线有无公共点均可. .【典例训练】【典例训练】1.1.下列说法中正确的个数是下列说法中正确的个数是( )( )若直线若直线l与平面与平面内的一条直线垂直，则内的一条直线垂直，则l.若直线若直线l与平面与平面内的两条直线垂直，则内的两条直线

8、垂直，则l.若直线若直线l与平面与平面内的两条相交直线垂直，则内的两条相交直线垂直，则l.若直线若直线l与平面与平面内的任意一条直线垂直，则内的任意一条直线垂直，则l.(A)4 (B)2 (C)3 (D)1(A)4 (B)2 (C)3 (D)12.2.如图所示：如图所示：直角直角ABCABC所在的平面外一点所在的平面外一点S S，SA=SB=SC,SA=SB=SC,点点D D为斜边为斜边ACAC的中点的中点. .则直线则直线SDSD与平面与平面ABCABC的位置关系为的位置关系为_._.【解析】【解析】1.1.选选B.B.对于对于不能断定该直线与平面垂直，该直线不能断定该直线与平面垂直，该直线

9、与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，的，是正确的是正确的. .2.SA=SC2.SA=SC，点，点D D为斜边为斜边ACAC的中点，的中点，SDAC.SDAC.连接连接BD,BD,在在RtRtABCABC中，则中，则AD=DC=BDAD=DC=BD，ADSADSBDSBDS，SDBD.SDBD.又又ACBD=D,ACBD=D,SDSD平面平面ABC.ABC.答案：答案：垂直垂直. .【互动探究】【互动探究】在题在题2 2中，若中，若AB=BC,AB=BC,其他条件不变，则其他条件不变，则BDBD与平面与平面SACSAC

10、的位置关系为的位置关系为_._.【解题指南】【解题指南】利用线面垂直的定义以及判定定理利用线面垂直的定义以及判定定理. .【解析】【解析】AB=BCAB=BC，点，点D D为斜边为斜边ACAC的中点，的中点，BDAC.BDAC.又由题又由题2 2知知SDSD平面平面ABCABC，SDBD.SDBD.于是于是BDBD垂直于平面垂直于平面SACSAC内的两条相交直线，内的两条相交直线，故故BDBD平面平面SAC.SAC.答案：答案：垂直垂直【变式训练】【变式训练】设设表示平面，表示平面，a a，b b表示直线，给出下列四个命表示直线，给出下列四个命题，题， bb其中正确的命题序号是其中正确的命题序

11、号是_._.ababa aaaababaabbababaaababbbbb【解析】【解析】由由ab,aab,a,可得可得b b或或bb，而得不到，而得不到b,b,故故错错. .由平行线的性质以及线面垂直的定义可知由平行线的性质以及线面垂直的定义可知正确正确. .若直若直线线b b，则，则错误；对于错误；对于，直线，直线b b有可能与平面有可能与平面平行或斜平行或斜交或在平面交或在平面内内, ,故错误故错误. .答案：答案： 线面垂直的判定线面垂直的判定【技法点拨】【技法点拨】1.1.利用线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤利用线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤(1)(1)在这个平

12、面内找两条直线，使它和这条直线垂直在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直. .(2)(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线确定这个平面内的两条直线是相交的直线. .(3)(3)根据判定定理得出结论根据判定定理得出结论. .2.2.解决线面垂直的常用方法解决线面垂直的常用方法(1)(1)利用勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理. .(2)(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线. .(3)(3)利用线面垂直的定义利用线面垂直的定义. .(4)(4)利用平行转化，即利用平行转化，即abab，bcbc，则，则ac.ac.【典例训练】【典例训练】1.1

13、.如图所示，如果如图所示，如果MCMC菱形菱形ABCDABCD所在平面，那么所在平面，那么MAMA与与BDBD的位置的位置关系是关系是( )( )(A)(A)平行平行 (B)(B)垂直相交垂直相交(C)(C)垂直但不相交垂直但不相交 (D)(D)相交但不垂直相交但不垂直2.2.如图所示，在三棱柱如图所示，在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，侧棱中，侧棱AAAA1 1底面底面ABCABC，AB=AC=1AB=AC=1，AAAA1 1=2=2，BB1 1A A1 1C C1 1=90=90，D D为为BBBB1 1的中点的中点. .求证：求证：ADAD平面平面A A1 1

14、DCDC1 1【解析】【解析】1.1.选选C.C.连接连接AC,AC,因为因为ABCDABCD是菱形，所以是菱形，所以BDAC.BDAC.又又MCMC平面平面ABCDABCD，则，则BDMC.BDMC.因为因为ACMC=C,ACMC=C,所以所以BDBD平面平面AMC.AMC.又又MAMA平面平面AMCAMC，所以，所以MABD.MABD.显然直线显然直线MAMA与直线与直线BDBD不共面，因此直线不共面，因此直线MAMA与与BDBD的位置关系是垂直但不相交的位置关系是垂直但不相交. .2.AA2.AA1 1底面底面ABC,ABC,平面平面A A1 1B B1 1C C1 1平面平面ABCAB

15、C，AAAA1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，AA1 1C C1 1AAAA1 1. .又又BB1 1A A1 1C C1 1=90=90，AA1 1C C1 1AA1 1B B1 1而而A A1 1B B1 1AAAA1 1=A=A1 1, ,AA1 1C C1 1平面平面AAAA1 1B B1 1B,ADB,AD平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,AA1 1C C1 1AD.AD.由已知计算得由已知计算得AD= ,AAD= ,A1 1D= ,AAD= ,AA1 1=2.=2.ADAD2 2+A+A1 1D D2 2=AA=AA1 12 2, ,AA1 1DAD.DA

16、D.AA1 1C C1 1AA1 1D=AD=A1 1, ,ADAD平面平面A A1 1DCDC1 1. .22【思考】【思考】(1)(1)判定线面垂直的依据主要有哪些？判定线面垂直的依据主要有哪些？(2)(2)利用线面垂直的判定定理时易出现哪方面的失误？利用线面垂直的判定定理时易出现哪方面的失误？提示：提示：(1)(1)直线与平面垂直的定义以及判定定理都是判断直线直线与平面垂直的定义以及判定定理都是判断直线与平面垂直的依据，但前者要说明直线与平面内所有直线的情与平面垂直的依据，但前者要说明直线与平面内所有直线的情况，后者只需说明直线与平面内的两条相交直线的情况就可以况，后者只需说明直线与平面

17、内的两条相交直线的情况就可以了了. .(2)(2)在证明出所要证的直线与平面内的两条直线垂直后，易忽在证明出所要证的直线与平面内的两条直线垂直后，易忽略说明这两条直线是相交直线略说明这两条直线是相交直线. .【变式训练】【变式训练】在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M为棱为棱CCCC1 1的中点，的中点，ACAC交交BDBD于点于点O.O.求证：求证：A A1 1OO平面平面MBD.MBD.【证明】【证明】连接连接MO.MO.BDABDA1 1A,BDAC,AA,BDAC,A1 1AAC=A,AAC=A,BDBD平面平面A A1 1A

18、CCACC1 1. .而而A A1 1O O平面平面A A1 1ACCACC1 1，AA1 1OBD.OBD.又又RtRtA A1 1AO RtAO RtOCMOCM，AAAA1 1O=MOCO=MOC，则则AA1 1OA+MOC=90OA+MOC=90，AA1 1OOM.OOM.OMBD=O,OMBD=O,AA1 1OO平面平面MBD.MBD.1AOCM2AACO2，【规范解答】【规范解答】证明线面垂直证明线面垂直【典例】【典例】(12(12分分) )如图，已知如图，已知P P是是ABCABC所在平面外一点，所在平面外一点，PA,PB,PCPA,PB,PC两两互相垂直，两两互相垂直，H H是

19、是ABCABC的垂心的垂心. .求证：求证：PHPH平面平面ABC.ABC.【解题指导】【解题指导】【规范解答】【规范解答】如图所示，如图所示，PCAPPCAP，PCBPPCBP，APBP=PAPBP=P ，APAP平面平面APBAPB，BPBP平面平面APBAPB，PCPC平面平面APB.3APB.3分分ABAB平面平面APBAPB，PCAB.5PCAB.5分分连接连接CHCH，HH为为ABCABC的垂心，的垂心，CHABCHAB，77分分PCCH=CPCCH=C，PCPC平面平面PHC,CHPHC,CH平面平面PHCPHC，ABAB平面平面PHCPHC，PHPH平面平面PHCPHC，ABP

20、HABPH. .99分分同理可证同理可证PHBC.10PHBC.10分分ABAB平面平面ABCABC，BCBC平面平面ABCABC且且ABBC=BABBC=B，PHPH平面平面ABC.12ABC.12分分【规范训练】【规范训练】(12(12分分) )如图，已知如图，已知PAPA圆圆O O所在平面，所在平面，ABAB为圆为圆O O的的直径，直径，C C是圆周上的任意一点，过是圆周上的任意一点，过A A作作AEPCAEPC于于E.E.求证：求证：AEAE平平面面PBC.PBC.【解题设问】【解题设问】(1)(1)由由PAPA圆圆O O所在平面会得到线线垂直，根据所在平面会得到线线垂直，根据是什么？

21、是什么？_. .(2)(2)欲证欲证AEAE平面平面PBC.PBC.可利用可利用_. .线面垂直的定义线面垂直的定义线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理【规范答题】【规范答题】PAPA平面平面ABCABC，BCBC平面平面ABCABC，PABC.3PABC.3分分ACBC,ACPA=AACBC,ACPA=A，BCBC平面平面PAC.PAC.AEAE平面平面PACPAC，66分分BCAE.8BCAE.8分分又又PCAEPCAE，BCPC=CBCPC=C，1010分分PCPC平面平面PBC,BCPBC,BC平面平面PBCPBC，AEAE平面平面PBC.12PBC.12分分1.1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是第三边的位置关系是( )( )(A)(A)平行平行 (B)(B)垂直垂直(C)(C)相交不垂直相交不垂直 (D)(D)不确定不确定2.2.直线直线a a与与b b垂直，垂直，bb平面平面，则，则a a与平面与平面的位置关系是的位置关系是( )( )(A)a (B)a(A)a (B)a(C)a(C)a (D)a (D)a或或aa3.3.已知两条直线已知两条直线m,nm,n，两个平面，两个平面,，给出下面四种说法：，给出下面四种说