设计模拟滤波器通常是给定幅函数学习教案

1、会计学1设计模拟滤波器通常是给定幅函数设计模拟滤波器通常是给定幅函数第一页，编辑于星期二：九点 十二分。 dttjtthdtethjHtjsincos tdttjhtdtthsincosjHjjXjR thjejHjH dttjtthsincos jjXjRtdttjhtdtthsincos是实函数时，频响为第1页/共69页第二页，编辑于星期二：九点 十二分。 sH sH sHsH jHjHjH2对应的LT T是 sHsHojoj定义幅度平方函数：的关系：零、极点是象限对称的。与的零、极点的零、极点第2页/共69页第三页，编辑于星期二：九点 十二分。 sHL sHL sHd无论设计何种模拟（高

2、通、带通、带阻）滤波器，都可以先设计得到模拟低通滤波器的换，得到所需要的，再经频率变。通常把低通滤波器（或模拟低通原型），所以我们只讨论模拟低通滤波器的设计方法称为模拟原型2、AF的技术要求的技术要求讨论低通AF的设计方法。低通AF的技术指标是由容限图给出的。第3页/共69页第四页，编辑于星期二：九点 十二分。ps11jH2s确定模拟低通的参数有： 2p1，通带允许误差阻带允许误差阻带截止频率通带截止频率01第4页/共69页第五页，编辑于星期二：九点 十二分。 sp12sp通带截止频率p通带允许最大衰减s一般是由衰减表示的。由衰减表示的一般容限图的参数有阻带截止频率阻带允许最小衰减30dB3d

3、B0第5页/共69页第六页，编辑于星期二：九点 十二分。 21lg10PP式中2jH jHjHjYjXPPlg201lg10lg10lg102222121PP1P2PjXjY定义衰减函数为AF的输出功率；为AF的输入功率；功率传输比若用表示，则输入输出电压（或电流）的变换。第6页/共69页第七页，编辑于星期二：九点 十二分。dBp3srads/1044dBs30sradp/1024kHz10kHz20例3-30 已知一模拟低通AF试求通、阻带误差 12（衰减越大，输出越接近零）。以上的信号不能顺利通过，衰减不小于30dB超过3dB，可以是单调的，也可以是波纹的。以下的信号可以顺利通过，其衰减不

4、指标说明阻带允许最小衰减阻带下限频率：通带允许最大衰减通带截止频率：第7页/共69页第八页，编辑于星期二：九点 十二分。 p0dB3dBjH3lg20dBjH3lg2020/3lgjH707. 01020/3jH707. 0111293. 0通带或第8页/共69页第九页，编辑于星期二：九点 十二分。sdB30dBjH30lg20dBjH30lg202/3lgjH22/30316. 010jH1293. 00316. 02阻带得到振幅函数变化范围：第9页/共69页第十页，编辑于星期二：九点 十二分。jH sH 21lg10jHjK当给定滤波器的技术指标后，设计的任务就是要找到一个符合要求的或。但

5、是不容易用多项式或有理式表示，所以要找到一个能够用多项式或有理式逼近的函数。这个函数被称为特征函数，用表示。并将功率比表示为2211jKPP2211jKjH3、滤波器对的逼近方法、滤波器对的逼近方法第10页/共69页第十一页，编辑于星期二：九点 十二分。 221lg101lg10jKjH22jKjHdddjHdjK这样我们得到用表示的衰减函数为为自变量的多项式或有理式。等于以逼近的方法是设，或是设法用某种方法逼近，我们的任务就或如果给定了所希望的衰减第11页/共69页第十二页，编辑于星期二：九点 十二分。2jK NcNcNcjjjKjK22jK常用的函数有 xVVjKjKjKNcN22222x

6、c/这是巴特沃思逼近的特征函数。 式中 1coshcosh1coscos11xxNxxNxVN这是切比雪夫逼近的特征函数。 下面具体介绍由这两个 器与切比雪夫滤波器。 2jK函数构成的巴特沃思滤波(3-106)(3-107)(1)(2)第12页/共69页第十三页，编辑于星期二：九点 十二分。2211jKjHNc2/11NcjH2/11巴特沃思滤波器也称最平响应特性滤波器。(3-106)式是其特征函数。3.8.1 Butterworth滤波器设计滤波器设计1、巴特沃思滤波器的数学模型、巴特沃思滤波器的数学模型模频特性为其中：N是滤波器阶数。第13页/共69页第十四页，编辑于星期二：九点 十二分。

7、112NjHspcButterworth滤波器模频特性滤波器模频特性10.707第14页/共69页第十五页，编辑于星期二：九点 十二分。2jHscNButterworth滤波器幅度平方函数图滤波器幅度平方函数图10.5第15页/共69页第十六页，编辑于星期二：九点 十二分。212jH21jHcc1/2Nc1jHc1/2Nc0jHN2/1Nc2/1时(1)是滤波器的半功率点或幅频特性所以（-3dB）点。的增加，通带边缘变化加快，幅频特性越逼近理随着为多少，幅频特性都通过点。想特性。但无论第16页/共69页第十七页，编辑于星期二：九点 十二分。都是平直的，即为“最平响应”滤波器的由来。附近幅频特性

8、，并且在 0时，01jH (3)模频变化是单调的，相位特性较好。要设计一个符合性能指标要求的巴特沃思滤波器，可知0jH阻带内越逼近理想特性，通带内N1jH且N数 。c首先要确定的参数有两个：-3dB截止频率 及系统阶(2)第17页/共69页第十八页，编辑于星期二：九点 十二分。Nc2pajH211Ncp2/11222sajHNcs2/11Nc112jHsp2的确定的确定、1两个方程，两个未知数，可以解出。第18页/共69页第十九页，编辑于星期二：九点 十二分。spspspN/lg1/111/1lg/lg110110lg2211 . 01 . 0 (3-115)为改善阻带指标 (3-116a)N

9、pcp211 . 0110或为改善通带指标 (3-116b)Nscs211 . 0110第19页/共69页第二十页，编辑于星期二：九点 十二分。 sHa2jHa sHaNc2/11 jHjHjH2sj22sssjj所以 22ssj sHsHNcNcss22222/11/11NcNs2/1113、求、求即将因为思路：由第20页/共69页第二十一页，编辑于星期二：九点 十二分。N0/12Ncs1/2NcskNjckNjckees22Nk2210， sHsHaaN/c的极点为奇数时，分母为当解出实轴上有极点。的圆上，并且为间隔，分布在半径为极点是以第21页/共69页第二十二页，编辑于星期二：九点 十

10、二分。NkjNjcNkjckeees2212Nk2210， 0/12Ncs1/2NcsNN2N/c为偶数时，分母为当解出的圆上，实轴上没有极点。极点是以为间隔，起点在分布在半径为第22页/共69页第二十三页，编辑于星期二：九点 十二分。 sHasHa NkkaassksHsH210N2cNN由右半平面极点组成。由左半平面极点组成其中：为偶数时，实轴上没有极点。 有极点；当对称虚轴，虚轴上无极点；当为奇数时，实轴上为半径，等间隔分布；个极点，以特点：特点：有第23页/共69页第二十四页，编辑于星期二：九点 十二分。1Njcc1 , 0kjkckes2N2/ccj3 , 2 , 1 , 0k412

11、 kjckes24kjjcee例例第24页/共69页第二十五页，编辑于星期二：九点 十二分。3/jcc5 , 2 , 1 , 0k3N3/jkckes4Nkjjckjckeees488127 , 2 , 1 , 0k例例4/jcc8/第25页/共69页第二十六页，编辑于星期二：九点 十二分。 NkkassksH10 sHa0 js时， 10 aH0s 0ssHa110Nkksk0k的极点。点，做根据因果稳定系统的要求，我们选出左半平面的N个极所以求因为令由第26页/共69页第二十七页，编辑于星期二：九点 十二分。可解出 NCNkksk10则 NkkNCNkkNkkssssssH111NCNCN

12、CNCNNCssss1221(3-122) 第27页/共69页第二十八页，编辑于星期二：九点 十二分。各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，可以作归一化后的 表示为 sHa化处理。如果采用对-3dB截止频率 c归一化，归一 1/12211CNCNNCNNCNsssssH (3-123a) NkckcsssH11或或 (3-123b) 第28页/共69页第二十九页，编辑于星期二：九点 十二分。 NkksssH11为归一化极点，表示为式中ks 01111asasasNNN(3-124)Nkjkes21221Nk，21(3-125)cssckkss，则 (5) 式 变为令、第29页/共69页第三十页

13、，编辑于星期二：九点 十二分。归一化后的巴特沃思滤波器一般也称归一化巴特沃思原型低通滤波器。将(3-124)式的分母多项式制成相应的 表 3-3 巴特沃思多项式表N 0111asasasasDNNNN1 s1 122ss2 12223sss3表格如表3-3所示，这样的多项式称巴特沃思多项式。第30页/共69页第三十一页，编辑于星期二：九点 十二分。 16131. 24142. 36131. 2234ssss45 12361. 32361. 52361. 52631. 32345sssss6 34561416. 94641. 78637. 3ssss7 45675918.140978.10494

14、. 4ssss 18637. 34641. 72ss 1494. 40978.105918.1423sss第31页/共69页第三十二页，编辑于星期二：九点 十二分。4、设计步骤(1)由 ，及(3-115)式确定滤波器阶数 N入(3-124)式得归一化系统函数。 (4) 去归一化，得到实际滤波器的系统函数 CsssHsH /(3)用（3-116）式确定 c。(2)由 查表3-3或由(3-125)式确定归一化极点 ks， 代Nspsp、第32页/共69页第三十三页，编辑于星期二：九点 十二分。，设计满足条件的巴特沃思低通滤波器。，设计满足条件的巴特沃思低通滤波器。dBs30例例3-31、已知通带截

15、止频率、已知通带截止频率 ，通带最大衰减，通带最大衰减 kHzfp3，阻带截止频率，阻带截止频率 ，阻带最小衰减，阻带最小衰减 dBp1kHzfs12解解957. 5602. 05864. 3602. 09992589. 0lgspspN/lg110110lg1 . 01 . 012/3lg110110lg31 . 0第33页/共69页第三十四页，编辑于星期二：九点 十二分。函数函数 34561416. 94641. 78637. 3sssssH 1218637. 34641. 7ss为改善阻带指标为改善阻带指标 c取取211030001101211 . 0211 . 0Npcp4101096

16、. 221192. 13000取正整数，所以取正整数，所以 6N。查表得滤波器归一化系统。查表得滤波器归一化系统N第34页/共69页第三十五页，编辑于星期二：九点 十二分。去归一化，得到 CsssHsH /去归一化计算较繁，可以借助MATLAB完成去归一化的工作。本例去归一化的MATLAB程序及结果如下b=0 0 0 0 0 0 1;%分子系数；a=1 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1; bt at=lp2lp(b,a,2.1096)% 去归一化分子、母系数；%分母系数；第35页/共69页第三十六页，编辑于星期二：九点 十二分。 1.0000 8.150

17、9 33.2183 85.8267 147.8352答案bt= 88.1456at 分母系数161.4373 88.1456分子系数第36页/共69页第三十七页，编辑于星期二：九点 十二分。去归一化后 65243342566CCCCCCCsssssssH因为实际频率 4101096. 2c数值太大，受运算精度的影响，我们在MATLAB程序中用取 1096. 2c。因此最后分子系数要乘以 2410，分母多项式系数结果所以最后正确结果为从第二项式要依次乘以 2420161284101010101010、，第37页/共69页第三十八页，编辑于星期二：九点 十二分。 25221813946251081

18、5. 810614. 110478. 110583. 810321. 3101509. 810815. 8ssH 1394610583. 810321. 3101509. 8 ssD25221810815. 810614. 110478. 1 2510815. 8sN分子 分母 第38页/共69页第三十九页，编辑于星期二：九点 十二分。的阶数比巴特沃思滤波器要低。代价是相位特性比巴特巴特沃思滤波器是常用的一种滤波器，从它的幅频特性可见，它的通带误差低端小高端大。为了保证滤波器通带高端的性能指标，滤波器的阶数就会较高。切比雪夫滤波器采用等波纹逼近理想特性，使通带内误差分布均匀。这样在相同指标情况

19、下，切比雪夫滤波器沃思滤波器差，且设计相对复杂。3.8.2 Chebyshev滤波器滤波器第39页/共69页第四十页，编辑于星期二：九点 十二分。ps01112jHChebyshev滤波器滤波器特点较差。缺点：通带内相位特性数较低，结构简单。优点：相同指标下，阶通带内单调，阻带等波纹（型）。通带内等波纹，阻带单调（型）；第40页/共69页第四十一页，编辑于星期二：九点 十二分。cNVjH/11222Ncx/ 1coshcosh1coscos/11xxNxxNxVVNcN xVjHN22211，则是滤波器阶数，式中是波纹系数。 xVN是第一类切比雪夫多项式，定义为1、数学模型（逼近函数）、数学模

20、型（逼近函数）令：第41页/共69页第四十二页，编辑于星期二：九点 十二分。0N 10coscos0cos10 xxV1N xxxVcoscoscos11x1coscosx xVN递推 2N 121cos22coscos2cos2212xxxV xVN1、令：第42页/共69页第四十三页，编辑于星期二：九点 十二分。3N 3coscos3cos13xxV4N 1884coscos4cos2414xxxxV2N xVxxVxVNNN112xx34cos3cos433的递推公式：第43页/共69页第四十四页，编辑于星期二：九点 十二分。0-11-11x xV1x xV40-11-11x xV30-

21、11-11x xV20-11-11的特性曲线如图3-63所示。 xVxV41第44页/共69页第四十五页，编辑于星期二：九点 十二分。 xVN xVN2为奇数为偶数NNjHa1110220 x 为奇数为偶数NNxVxVNN01012的特点：、2jHajHa、(1)时，为奇数为偶数NNjHa11102第45页/共69页第四十六页，编辑于星期二：九点 十二分。NC211C(3-129)式说明无论为多少，模频特性在时通过点，所以定义的截止频率。为切比雪夫滤波器1x 112xVxVNN2211cajH时，(2)211cajH第46页/共69页第四十七页，编辑于星期二：九点 十二分。(3)10 xC0

22、10 xVN2111jHa时，(4)随着N1x xVN的增加， 时的波动增加，通带1x xVN波纹增加；时，增加快，阻带衰减亦加快。切比雪夫滤波器模频特性如图3-64所示。 第47页/共69页第四十八页，编辑于星期二：九点 十二分。211jH图3.8-9 切比雪夫滤波器模频特性 N=3N=410第48页/共69页第四十九页，编辑于星期二：九点 十二分。 xNxVN1coshcosh1/px这时110111111 . 0212ppajH 22221111111NpaVjHcN、pc的确定2、(1)由截止频率确定(3) N由阻带指标确定所以因为由通带允许的波纹确定(2)第49页/共69页第五十页，

23、编辑于星期二：九点 十二分。 212222/coshcosh1111psNsaNxVjH2222111/coshcosh1sapsjHN1111/coshcosh22221sapsjHN111111/coshcosh2221sapsjHN1101cosh111cosh/cosh1 . 012211spsN第50页/共69页第五十一页，编辑于星期二：九点 十二分。1101cosh111cosh/cosh1 . 012211spsNpspssN/cosh1101cosh/cosh111cosh11 . 0112211lncosh21xxx其中第51页/共69页第五十二页，编辑于星期二：九点 十二分

24、。 sHa cNaaajsVsjjHsHsH/112220/122cNjsV sHsHaa sHakkkjs0kkk、122ckckba有左半平面的极点作为的极点。个极点（所有极点是分布在一个椭圆上的），取出所3、确定因为的2N，解出由即其中满足椭圆方程：第52页/共69页第五十三页，编辑于星期二：九点 十二分。为偶数NNkbNkackck212sin212cos为奇数NNkbNkackcksincos211NNa1121NNb1121则式中第53页/共69页第五十四页，编辑于星期二：九点 十二分。NNks圆的分割点上，纵坐标落在大圆的分割点上。当的横坐标落在小为奇数时，实轴上有极点。在虚轴上

25、没有极点。当为偶数时，实轴上无极点，极点分布特点极点在大小圆上按等角间隔分布，对虚轴对称，并且第54页/共69页第五十五页，编辑于星期二：九点 十二分。S平面平面3/jcbca例三阶例三阶Chebyshev滤波器的极点位置如图滤波器的极点位置如图3-65所示所示第55页/共69页第五十六页，编辑于星期二：九点 十二分。2、求 sHa得到系统函数的一般表示为取Chebyeshev椭圆左半圆上的极点作为 sHa的极点，的极点， NkkpsksH10第56页/共69页第五十七页，编辑于星期二：九点 十二分。由其模平方函数还可推得 NkkcNpskjsVsH1022/11式中 cNjsV/是 cjs/

26、的多项式，最高阶次系数为 12N，由上式可解出102NNCk这样，切比雪夫滤波器的系统函数为 NkkNNCpssH1112第57页/共69页第五十八页，编辑于星期二：九点 十二分。 sHa与巴特沃斯滤波器一样，为使设计统一，可将 对 pc做归一化处理。归一化后的系统函数表示为 NkkNpssH1121 0111121asasasNNNN归一化后的切比雪夫滤波器一般也称切比雪夫低通原型滤波器。第58页/共69页第五十九页，编辑于星期二：九点 十二分。的分母多项式制成多种的分母多项式制成多种对不同的对不同的 、N，可将，可将 sHaN表表3-4列出了通带衰减为列出了通带衰减为1dB时，阶数时，阶数

27、 表格，表格，与分与分母多项式系数的关系。母多项式系数的关系。表表3-4 切比雪夫低通原型滤波器分母多项式切比雪夫低通原型滤波器分母多项式（通带波纹误差为（通带波纹误差为1dB， 508847. 0）第59页/共69页第六十页，编辑于星期二：九点 十二分。2 1.1025 1.09776 0.0689 0.3071 0.9393 1.2021 1.9308 0.92831 1.9652 3 0.4913 1.2384 0.98834 0.2756 0.7426 1.4539 0.93685 0.1228 0.5805 0.9744 1.6888 0.9368N0a1a2a3a4a5a第60页/

28、共69页第六十一页，编辑于星期二：九点 十二分。4、设计步骤(1)由待求滤波器的通带截止频率p确定 c，即 pc11111212pajH11010/p(2)由通带的衰减指标确定波纹系数 (3) 由波纹系数 、截止频率 ps及阻带衰减指标、确定系统的阶数 N。第61页/共69页第六十二页，编辑于星期二：九点 十二分。psN/cosh111cosh1221pss/cosh1101cosh110/1 NkkNpssH1121 0111121asasasNNNN查表3-4得归一化系统函数N(4)由 第62页/共69页第六十三页，编辑于星期二：九点 十二分。(5) 去归一化，得到实际滤波器的系统函数 CsssHsH /NkkNNCps