数学建模(线性规划)

1、数学规划模型 数学规划模型是在实际问题的数学建模中应用最广泛的模型之一，也是运筹学的一个重要分支。在生产实践中，经常要制定使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的最优包括“最大”、“最小”、“最多”、“最少”等。如：如何合理地分配、使用有限的资源（人力、物力及资金等）以获得“最大收益”等诸如此类的问题，就是所谓数学规划问题，数学规划又分为线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。 线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划1.线性规划模型1.1例生产计划问题。某工厂制造甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表1.1表1.1 生产计划问题的数据 单位消耗 产品 原料甲产品/t乙产品/t现有原

2、料总量 钢材/t95360 电力/(kw.h)45200 工作日/个310300 单位产品的利润/(万元/t)712试拟订生产计划，使该厂获得利润最大121212121212712max712,. .95360,45200,xxzzxxzxxzxxstxxxx解 设甲、乙两种产品计划生产量分别为 和 吨，利润为 万元则 ，我们的任务是求 的最大值，且 ， 受到钢材的限制、电力的限制工作日的限制、非负条件的限制等，可得线性规划的数学模型 1212310300,0,0 xxxx （1.1） ，121212(1.1)( ,)zf x xxxxx式中，目标函数是 和 的线性函数，而约束条件是 和 的线

3、性不等式，因此称式(1.1)为线性规划模型。线性规划模型的解法 两个变量的线性规划模型的图解法 单纯形法 数学软件，如Lindo软件、Lingo软件、Matlab等例1.2 投资方案的确定某部门要进行投资，现有四个投资项目。项目A：从第一年到第四年的每年年初需要投资，并于次年年末回收本利115；项目B：从第三年年初需要投资，到第五年年末回收本利125%，但规定最大投资额不超过40万元；项目C：第二年初需要投资，到第五年末才能回收本利140%，但规定最大投资额部超过30万元；项目D：五年内每年的年初可买公债，于当年年末归还，并可获得6%的利息。已知该部门现有资金100万元，试为该部门确定投资方案

4、，使得第五年末它拥有的资金本利总额最大？1）模型建立。决策变量。决策变量为每年年初向四个项目的投资额，设第i(i=1,2,3,4,5)年年初向A,B,C,D(j=1,2,3,4)四个项目的投资额为xij（万元）。目标函数。设第五年年末拥有的资金本利总额为z，为了方便，将所有可能的投资列于下表1.2 年份项目 12345投资限额/万元Ax11x21x31x41Bx3240Cx2330Dx14x24x34x44x54413223541.151.251.401.06zxxxx目标函数应该是四项投资在第五年年末回收的本利之和，于是，目标函数为 约束条件a为了获得最大的投资收益，每年年初应将手头的全部资

5、金投出去，因此第一年的投资总额应是100万元，即x11+x14=100b第二年的投资总额应是第一年年底回收的各项投资的本利，即 x21+x23+x24=106%x14同理，第三、四、五年的投资额应是上一年年底回收的各项投资本利，即 x31+x32+x34=106%x24+115%x11, x41+x44=106%x34+115%x21, x54=106%x44+115%x31.3224132235411142123241431323424114144342154.40,30.max1.151.251.401.06,. .1001.06,1.061.15,1.061.15,cxxzxxxxstx

6、xxxxxxxxxxxxxxx由于投资的限制，因此还有由此得投资问题的数学模型为 443132231.061.15,40,30,0,1,5;1,4ijxxxxxij 2）模型求解。用Lindo软件求解，求得投资方案的最优解为x11=71.698112万元，x14=28.301888万元，x23=30万元，x32=40万元，x34=42.452831万元，x41=45万元，其余决策变量均为零，最优值z=143.75万元。例1.3 货机装运。某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都要限制，如表1.3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须

7、与其最大容许重量成比例。表1.3 三个货舱装载货物的最大容许量和体积前舱中舱后舱重量限制/t10168体积限制/m3680087005300现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表1.4，最后一列指装运后获得的利润。表1.4 四类装运货物的信息质量/t空间/(m3/t)利润(元/t)货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可做如下假设：每种货物可以分割到任意小；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙。2）

8、模型建立。决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。目标函数：决策目标是最大化总利润，即目标函数为1112132122233132334142433100()3800()3500()2850().zxxxxxxxxxxxx 约束条件：约束条件包括以下4个方面：111213212223313233414243112131411222324213233343.18,15,23,12;10,16,8;axxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx供装载的四种货物的总重量约束，即b.三个货舱的重量限制，即1121314112223242

9、13233343112131411222324213233343.4806505803906800,4806505803908700,4806505803905300;.1016.8cxxxxxxxxxxxxdxxxxxxxxxxxx三个货舱的空间限制三个货舱装入重量的平衡约束，即3）模型求解。将以上模型输入Lindo 模型，可以得到结果：最优解为x21=10t,x23=5t,x32=12.947t,x33=3t,x42=3.053t,其余变量均为零，最优值z=121515.8t2.非线性规划模型 非线性规划问题可以看作是线性规划问题的一种自然推广，亦是数学规划的一个重要组成部分。凡目标函数和

10、约束条件中包含有非线性函数的数学规划问题都称为非线性规划问题。较之线性规划模型而言，非线性规划模型更能真实地反映问题的实质。例2.1 设用甲、乙、丙三种有限资源生产A,B,C,D四种产品，产品的资源消耗定额及资源的有限供应量如表2.1所示表2.1 产品的消耗定额与资源供应量消耗定额 产品资源 A B C D资源可供应量甲1232200乙7981300丙3017400 假定A,B,C,D四种产品价格随产量的扩大而递减，其需求函数分别为p1=11-0.01x1,p2=12-0.02x2,p3=13-0.03x3,p4=14-0.04x4,试确定四种产品的产量，以便使总收益最大。123412341

11、12233441122334412, ,( ,)(11 0.01 )(120.02)(130.03)(140.04)(11121A B C Dx xxxz x xx xp xp xp xp xxxxxxxxxxx解 设四种产品的产量分别为 , 和 ，则问题的目标函数（总收益函数） 3422221234314)(0.010.020.030.04)xxxxxx 其中，第一项是不变价格下的总收益，第二项是需要扣除的因价格变动造成的收益值，注意到资源的约束，上述问题可表为12342222123412341234134max(11121314)(0.010.020.030.04),. .23220079

12、830037400,0,1,2,3,4jzxxxxxxxxstxxxxxxxxxxxxj 显然，上述问题是一个非线性规划问题。在实际经济活动中，产量规模对价格的影响常常是一个不开忽略的重要因素：上述模型由于适当地考虑了价格的可变部分对总收益的影响，而相应的线性规划模型，总收益函数只能在假定某不变价格的情况下由产量x1、x2、x3和x4线性确定，故较之线性模型更能真实地反映问题的实质。非线性规划模型求解 非线性规划模型的求解具有一定的难度，并且求解非线性规划问题的方法是多种多样的，解某些问题的有效方法，对另外的问题却未必有效。我们可以用一些数学软件来求解。例2.2 工程造价问题 假定要建造容积为

13、1500m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元、12元，基于美学考虑，要求宽度应为高度的2倍，试建立使造价最省的数学模型。1）模型建立。决策变量：设仓库的宽、高、长分别为x1,x2,x3(m)目标函数：墙壁面积为2(x1x2+x2x3)，造价为8(x1x2+x2x3)；屋顶与地面面积为x1x3，造价为18 x1x3 ，则目标函数为z= 8(x1x2+x2x3)+ 18 x1x3 约束条件。容积限制x1x2x3-1500=0,比例限制x1-2x2=0，及非负限制x1,x2,x30由此得到数学模型2131312312123min8() 18,. .15000,20,0

14、zx xxx xstx x xxxx x x 此为一非线性等式约束规划模型。2）模型求解。用Lingo软件求解。例2.3 经营计划问题某公司经营两种设备，假设每种设备的单位售价以及售出单位设备所需的营业时间及该公司在某段时间内的总营业时间见表2.2（表中x1,x2为两种设备的售出数量），建立营业额最大的营业营业计划模型。表2.2 经营计划的数据设备公司可使用营业时间单位售价/元30450 800售出单位设备的营业时间/h0.52+0.25x23 整数规划模型 在一个数学规划模型中，如果它的某些决策变量或全部变量要求取整数时，就称这个数学规划模型为整数规划模型。整数规划模型可分为整数线性规划模型

15、与整数非线性规划模型。整数规划又分为整数规划、混合整数规划及0-1规划。整数规划模型的一般形式1212min( ,),. .( ,)0,1,2,0,1,2, ,1,2, .ninjjf x xxsth x xximxjnxjn 为整数1212(1,2,),(1,2,),(1,2, )ininjfh imx xxfh imx xxxjn当 和均是的线性函数时,我们称模型为整数线性规划模型；当 和中至少有一个是的非线性函数时，称模型为整数非线性规划模型。若整数规划模型中的决策变量只能取0或1，则称模型为0-1规划.例3.1 某航空公司为满足客运量日益增长的需要，欲购置一批新的远程及短程客机。每架客

16、机价格6300万元，中程客机5000万元，短程客机3500万元。该公司现有资金7.5亿元可用于购买飞机。估计年净利润每架远程客机为420万元，中程客机300万元，短程客机230万元。该公司现有熟练驾驶员可用来配备30架新飞机。维修设备足以维修新增加40架新的短程客机，每架中程客机的维修量相当于4/3架短程客机，而每架远程客机的维修量相当于5/3架短程客机。为获取最大利润，该公司应购买各类客机多少架？123123123123123123123max420300230,. . 63005000350075000,30,5440,33,0,xxxzxxxstxxxxxxxxxx x xx x x解

17、设购买远程、中程、短程客机的数量分别为 、和 架，问题的数学模型为 均为整数。用Lindo软件求解例3.2 合理下料问题 某钢管零售商从钢管厂家进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m. 1）现有一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢管，应如何下料最节省？1）问题的分析。 首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料上安排切割的一种组合。例如：我们可以将19m的钢管切割成3根4m的钢管，余料为7m；或者将19m的钢管切割成4m、6m和8m的钢管各1根，余料为1m。显然，可行的切割模式是很多的。 其次，应当确定哪些切割

18、模式是合理的。通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小此寸。例如：将19m的钢管切割成3根4m的钢管是可行的，但余料为7m，可以进一步将7m的余料切割成4m钢管（余料为3m），或者将7m的余料切割为6m钢管（余料为1m）。在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如表3.1所示表3.1 钢管下料的合理切割模式4m钢管根数6m钢管根数8m钢管根数余料m模式14003模式23101模式32013模式41203模式51111模式60301模式70023问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些合理的模式，切割多少根原料钢管最为节省。而所谓最为节省，可以有两种标准：一是切割后剩

19、余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。下面将对这两个目标分别讨论。2）模型建立。决策变量：用表示按第种模式切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。目标函数：以切割后剩余的总余料量最少为目标，则由表3.1可得 z1=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 z2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7下面分别在这两种目标下求解。1234524563573.143250,2320,215.xxxxxxxxxxxx约束条件：为满足客户的需求，按照表应有3）模型求解分别将目标函数与约束条件构成整数线性规划模型输入Lindo求解。2）该客

20、户除需要1）中的三种钢管外还需要10根5m的钢管。应如何下料最节省？1）问题分析。按照问题1）的思路，可以通过枚举法首先确定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到4种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍性的方法。 同问题1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于和等于客户需要的钢管的最小尺寸(本题中为4m)，切割计划中只使用合理的切割模式，而由于本题中的参数都是整数，所以合理的切割模式的余量不能大于3m。此外，这里我们仅选择总根数最少为目标进行求解。2）模型建立。 决策变量：由于不同切割模式不能超过3种，可以用xi表示按

21、照第i种模式(i=1,2,3)切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4m,5m,6m和8m的钢管数量分别为r1i,r2i,r3i和r4i(均为非负整数)。12311 112213321 122223331 132233341 1422433.50,10,20,15.zxxxr xr xr xr xr xr xr xr xr xr xr xr x目标函数：切割原料钢管总根数最少，目标函数为 约束条件：为满足客户的需求，应有 1121314112223242132333431916456819,16456819,16456819.mrrrrrrrr

22、rrrr每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过，也能少于16m(余量不能大于3m)，于是 3)模型求解。以上模型是一个整数非线性规划模型，我们用Lingo软件求解。0-1整数规划模型例3.3 指派问题。在实际工作中，常常会碰到这样的问题：要派n个人去完成n项不同的任务，每人必须而且只需完成其中一项。但由于各人的专长不同，完成各项任务的效率也就不同，因此就产生这样一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使总的效率最高或总的花费时间最少？今欲指派甲、乙、丙、丁四人加工A、B、C、D四种不同零件，每人加工四种零件分别所需要的时间如表3.2所示。问应该指派每人加工何种零件使总的花

23、费时间最少？表3.2 工人加工零件的工作效率ABCD甲4658乙61074丙78119丁938611,0,ijijxij）模型建立.决策变量：设表示第个人去加工零件的情况，即当指派第 人去加工 零件时，当不指派第 人去加工 零件时，11121314212223243132333441424344465861074781199386zzxxxxxxxxxxxxxxxx目标函数：问题使总的花费时间最少，用 表示总的花费时间，则目标函数为111213142122232431323334414243441,1,1,1.xxxxxxxxxxxxxxxx约束条件：由于每人只能加工一种零件，则有112131

24、411222324213233343142434441,1,1,1.xxxxxxxxxxxxxxxx而每种零件必有一个人来加工，则有2).模型求解以上各式构成的模型是一个0-1整数规划模型，用Lindo软件求解。例3.4 选址问题某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有7个位置点Ai (i=1,2,7)可供选择，且规定：东区只能在A1,A2,A3中至多选两个点；西区只能在A4,A5两个点中至少选一个点；南区只能在A6,A7中至少选一个点。 如选用Ai，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元，问在投资不得超过b元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？ 假设投资总额b为1000

25、万元，设备投资估计bi与每项投资每年获利ci,列于表3.3，试求最优选址方案。表3.3 投资估计与年获利估计i1234567bi/万元15018030020030010080ci/万元2546605355171611,(1,2,7).0,iiiiAAxiA）模型建立.决策变量:本问题的决策变量是确定是否选择 点，设当 点被选用，当 点没被选用71712345671,2,1,1,iiiiiiizzc xxbb xb xxxxxxx目标函数：问题是如何选址使年利润最大，用 表示利润，则目标函数为约束条件： 应满足选址限制及投资总额不超过 元的限制，因此有71711234567max,. .,2,1

26、,1,01,1,2,7iiiiiiizc xstb xbxxxxxxxxi建立数学模型为 或这是一个变量只能取0或1的整数规划模型，是整数规划中的特殊情形，称之为0-1整数规划模型。用Lindo软件求解。4 动态规划 前面介绍的各种规划都是在决策条件下相对确定的，即系统处于某一确定阶段时的最优化决策方法。但在实际工作中，当对一个经济系统进行分析时，往往要求对系统在包括若干阶段的整个过程进行最优化决策(称为多阶段决策问题)。所谓多阶段决策过程，是指这样一类决策过程，由于它的特殊性，可以将该过程(一般是按时间或空间)划分为若干个互相联系的阶段而在每个阶段都需要做出决策，以使整个过程取得最优的效益。

27、在多阶段决策过程中，各个阶段所采取的决策通常与时间有关，前一阶段采取的决策如何，不但决定着该阶段的效益，而且还直接影响到以后各阶段的效益，可见它是一个动态的规划问题，所以称为动态规划。当然动态规划也可以用来处理本来与时间无关的静态问题，这只需在静态模型中人为地引进“时间”因素，并按时间分段将静态问题转化为动态模型，然后按动态规划方法处理。 动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法。因而它不像线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一种规则，而是必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创

28、造性的技巧去求解。例4.1 (最短路线问题)设在图4.1中，A,Bi,Cj,Dp,E(i,j=1,2,3,p=1,2)代表城市，两城市之间的连线代表道路，连线旁的数字代表道路的长度。求由城市A到城市E的最短路线。AB1B2B3C1C2C3D1D2E3541584644242697512 解此问题可以先求出一切可能的点A到点E的路线，求出各条路线的总长度，再比较它们的大小，选出其中的最小者即为所求。这种解法(穷举法)想起来十分简单，但真要实现它却比较困难，特别是当城市和道路的数量较多时，穷举法的计算量非常大，以致使大型计算机的计算也会失去实用价值。容易看出，在穷举法中有许多计算是重复的，例如在计

29、算路线AB1C2D1E与路线AB1C2D2E的总长时，其中AB1C2的长度就要重复计算两次。下面给出一种高效的计算方法。首先依照空间的自然顺序，将该问题划分为4个阶段，并引入如下符号：kk 称为阶段变量，表示由某点到E点的阶段数，可取1,2,3,4中任一数.,.ijpSSA B CDE 称为状态变量，表示在任意阶段所处的位置，可取中任意一点3212121( )()kuSSku BCBCBC 称为决策变量，表示当状态处于 且还有 个阶段要走时，下一步所选取的点。例如，表示现在处于点，还有三个阶段要走，下一步选取 ，即要走的路线。3222( )()kfSSkSEfBBBE称为目标函数或指标函数，表

30、示现在处于状态 ，还有 个阶段要走，由 到终点 的最短距离。例如表示现在处于点，还有3个 阶段要走，由点到终点 的最短距离22( ,( )( )( ,)5kkd S uSSuSd A BAB 称为报酬函数，表示从 到下一步所选的点的距离。例如表示 到的距离为5.4123313233131232333313233431( )(),()()( ,)()( ,)(), ( ,)()3(),5(),4()( )min 3(AEfABEBEBEfBfBfBAEd A BfBd A BfBd A BfBfBfBfBfAfB本题的目的是要求从始点 到终点 的最短距离。如果已知 到 ，到 和到 的最短距离和，

31、就容易求出点 到点 的最短距离。只要比较，即找出中的最小者，就可得出到的 最短距离3233),5(),4()fBfB313233212223312122322122233321222311(),(),()(),(),(),()min1(),5()()min8(),4(),6()()min4(),4(),2()(fBfBfBf Cf Cf CfBf Cf CfBf Cf Cf CfBf Cf Cf CDEf但是都是未知的，要得到它们，必须先求得然后再做比较，即依此类推，最后只要求出到 的最短距 离 112111212112)()()1,()2.,.:8Df Df Df DDDEAAEEABCDE

32、与即可。显然有这样，计算由点和开始，逐步远离点最后推向点 于是得到了由 到的最短距离，同时也可以得到由任意一点到 得最短距离，相应的最短路线也可以得出最短路线最短距离：例4.2 背包问题：一个旅行者需要某些物品。假设可以在4种物品中随意挑选，且已知每件物品的重量及其效用，效用能够用数量表示出来。又设旅行者背包最多只能装10kg物品，相应数据由表4-2给出。问如何选取装入背包中的物品及件数，才可使总效用最大？表4-2 每件物品的相应信息物品重量(kg)效用15262316329415 解： 这是一个整数规划问题。然而由于该模型的特殊结构，可以通过对问题的分析得出用动态规划解此类问题的基本思想和基

33、本方法。类似于例4.1的做法，首先对某一物品求最优。假设在背包中装物品1，2，3的最优件数已定，要决定如何装物品4，使效用最大。对物品4求最优时，其限装数量应是0到10之间的整数，记为s4(表示装入物品4的重量，因为每件物品4的重量等于1kg),求得的最大效用是s4的函数f4(s4)，于是444444044*444()max55(4 1)(0,1,10)usfsusuuus s 其中表示第四种物品的件数。记 的最优值为33333334433343,( ).2(42)ussf ssusssu第二步：考虑背包中装有物品 和物品 ，装入物品的件数为两种物品的总限重为与 相应的最大效用记为、 和 之间

34、存在下列关系 33333333344340 20/2333330/2*33334.1344( )max 9()max 95 max 95(2)5(0,1,10) (43)02usususf sufsusususssuuu类似于例，两种物品 和 的最优组合，对于相应的物品 来说也是最优的，于是得到关系式 其中表示取最大整数。记 的最优值为 ，则22222222222232222233230 30/32220/30/32 3 42,().3(44)()max 16( )max 165 max 165(3)maxususususu sfsssufsuf sususu 第三步：考虑背包中装有物品 ，

35、， ，装入背包中的物品 的件数记为为物品的总限重，相应的最大效用记为存在下列关系 22222*22225 5(0,1,10)(45)33usssssuuu 记 的最优值为 ，故。111111111211111220 512110/5144( )5(46)( )max 26()max 26(5 ) (47)4ususussf sssuf sufsufsus最后，考虑背包中装有 种物品。设装有物品1的件数为种物品的总限重为 ，与 相应的最大效用记为，类似地，有 因为 为 种物品的总限重，且假 设旅行者110,10,kgs 过的背包最多只能装所以于是1112112010/5111021102*11(

36、10)max 2653105max265(105 )3105max503max53,52,52530453.uuusfusuuuuuuu对应的 的最优值。与 种物品的最优组合相对应，最大效用为*212*344*22344*123401,(46)3(44)0(42)10,3,1,1.4(,)(0,3,0,1)suuuussususu u u u下面求最优组合表示背包中不装入物品 由式、式、和式，以及，分别得出故背包中装入的 种物品的最优组合为例4.3 机器负荷分配问题：某种机器可在高低两种负荷下进行生产，设机器在高负荷下的产量g与投入生产地机器数量x的关系为g=10 x，年完好率为a=0.75;

37、在低负荷下的产量h与投入生产地机器数量y的关系为h=8y,年完好率为b=0.9.假定开始生产时完好的机器数量s1=100,试制定一个5年计划，确定每年年投入高低两种负荷下生产地机器数量，使5年内产品的总产量最大。1(1,2,3,4,5,6)10.750.9().()5kkkkkkkkkk kskkxksxsxfsks解：假设阶段变量表示年度，状态变量 表示 年初拥有的完好机器数，也就是第年末拥有的完好机器数，决策变量 表示第 年初投入高负荷生产的机器数，状态转移方程最优指标函数表示第 年初从资源 出发到第年末的产量的最大值。555511()6655555665500*55555()max 10

38、8()()(5,1)()0()05()max108()()max28 ()10kkkkkkkkkkxDskkkkkxsxsfsxsxfskfsD sxxskf sxsxfsxsxsf ss 动态规划的基本方程为 其中当时，有显然，当时，的最大为 值 44444444544444444550444504444440440*44444440.750.9()()max108()()max108() 10 max108() 100.750.9()max0.517 ()(xsxsxsxsksxsxfsxsxf sxsxsxsxxsxxsfsxxsfs当时，由于是 的线性增函数，所以当时，44)17.5s

39、的最大值为33333343333333344033340330*333330.750.9()( )max108()()max108() 17.5 max 0.62523.75 0( )23.75xsxsxsksxsxf sxsxfsxsxsxsxf ss当时，有显然，当时，的最大值为22222232222222233022230220*222220.750.9()()max108()( )max108()23.75 max 1.562529.375 0()29.375xsxsxsksxsxfsxsxf sxsxsxsxfss当时，有显然，当时，的最大值11111121111111122011120110*111110.750.9()( )max108()()max108()29.375 max 2.40634.4375 0( )34.4375xsxsxsksxsxf sxsxfsxsxsxsxf ss当时，有于是，当时，的最大值为111*12344551*12111*2322100,5( )344