微波网络第1-1章(1)

1、第1章 矢量分析1.0 矢量及其代数运算1.1 三种常用的坐标系1.2 矢量函数的微积分1.3 标量函数的梯度1.4 矢量函数的散度1.5 矢量函数的旋度1.6 场函数的微分算子和恒等式第第1 1章章 矢量分析矢量分析第1章 矢量分析u标量标量（Scalar）- 一个仅用大小就能够完整描述的物理量。 例如，电压、 温度、 时间、 质量、电荷、电流等。u矢量矢量(Vector) - 一个有大小和方向的物理量。 例如：电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。1.0矢量及其代数运算矢量及其代数运算第1章 矢量分析1、矢量的表示、矢量的表示u矢量的一般表示：A=aA矢量A的方向矢量A的大小ua表示单位矢

2、量（unit vector） ， 其大小等于1。uA=0，称空矢(Null Vector)或零矢(Zero Vector)第1章 矢量分析 2、位置矢量、位置矢量u从原点指向任意空间点P的矢量r ，称为位置矢量。u位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。u点P在直角坐标系中的位置 r =axx+ayy+azzx、y、z是位置矢量r在 x、y、z对应垂面上的投影。第1章 矢量分析u 任一矢量A可表示为：A=axAx (x,y,z) +ayAy (x,y,z) +azAz (x,y,z) 矢量A的大小A为： 222xyz= A +A +AAu例题1：已知直角坐标系中的点P1(-3

3、，1，4)和P2(2，-2，3)求: (1)P1、P2两点在直角坐标系中的位置矢量r1、r2； (2)P1到P2的距离矢量R； (3) 矢量r1 在r2 的投影。 第1章 矢量分析3、矢量的代数运算（加减运算和乘法运算、矢量的代数运算（加减运算和乘法运算）（1）矢量的加法和减法）矢量的加法和减法u加法加法C = A + B = ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz) u减法减法D=AB=A+(B)=ax(AxBx)+ay(AyBy)+az(AzBz)结论：矢量的加法和加法运算满足平行四边形法则。 第1章 矢量分析AC =B +CABCAABCC =B -C-BC = A +

4、 B = ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)D=AB=A+(B)=ax(AxBx)+ay(AyBy)+az(AzBz)第1章 矢量分析（2）矢量的乘积（）矢量的乘积（标量积和矢量积） 标量积(Scalar Product) AB=ABcos 结论：两个不为零的矢量的标量积等于零，则这两个矢量必然相互垂直。直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： axay=ayaz= azax=0 axax=ayay=azaz=1标量积也称为点积(Dot Product)，等于一个矢量与另一个矢量在该矢量上投影的乘积若A B呢？若AB呢？第1章 矢量分析u任意两矢量的标量积， 用矢量的三个分

5、量表示为AB=AxBx+AyBy+AzBz 思考题：1、若AB=AC，则B=C ？2、用矢量法证明三角形的余弦定理u标量积服从交换律和分配律， 即AB=BA A(B+C)=AB+AC第1章 矢量分析 矢量积 (Vector Product)大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积其方向垂直于矢量A与B组成的平面，与A、B满足右手关系思考：若A B呢？若AB呢？C=AB=anABsin 第1章 矢量分析右手螺旋定则四指：由第一矢量转向第二矢量拇指：指向它们失量积的方向第1章 矢量分析结论：两个非零矢量的叉积等于零矢量，则这两个矢量必然相互平行。 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： axay

6、=az, ayaz=ax, azax=ay axax=ayay=azaz=0注意：矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即AB=BA A(B+C)=AB+AC第1章 矢量分析u在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为 =ax(AyBzAzBy)+ay(AzBxAxBz)+az(AxByAyBx) 矢量的其他运算详见附录一。zyxzyxzyxBBBAAAaaaBA第1章 矢量分析结 论u矢量的加法和加法运算满足平行四边形法则；矢量的加法和加法运算满足平行四边形法则；u两个矢量的点积等于标量，两个叉积等于矢量；两个矢量的点积等于标量，两个叉积等于矢量；u两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然

7、相互两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然相互垂直；垂直；u两个非零矢量的叉积等于零矢量，则这两个矢量必然相互两个非零矢量的叉积等于零矢量，则这两个矢量必然相互平行。平行。第1章 矢量分析1. 直角坐标系直角坐标系（重点）（重点）直角坐标系中的三个坐标变量是x、y、z，如图1-1-1所示。它们的变化范围是1.1 1.1 三种常用的坐标系三种常用的坐标系xyz 图1-1-1 直角坐标系第1章 矢量分析xxyyzzAAAAeeeux，y，z 表示M点到对应垂直面的距离uex、ey、ez过空间任意点的坐标矢量，它们相互正交，而且遵循exey=ez的右手螺旋法则。（不随M点位置的变化）u在直角

8、坐标系内的任一矢量A可表示为第1章 矢量分析u由点M(x，y，z)沿ex、ey、ez方向分别取微分长度元dx、dy、dz。由x，x+dx；y，y+dy；z，z+dz这六个面决定一个直角六面体，它的各个面的面积元是 (与ex垂直) (与ey垂直) (与ez垂直)dd ddd ddd dxyzSy zSx zSx yu该直角六面体的体元是dd d dVx y z第1章 矢量分析2. 圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系(简称柱坐标系)中的三个坐标变量是r、j、 z，如图1-1-2所示。002z rj图1-1-2 柱坐标系zzAAArrjjAeee第1章 矢量分析在点M(，j，z)处沿er、ej、ez方向

9、的长度元分别是 ddddddzlllzrjrr j与三个坐标单位矢量相垂直的面积元分别面积元分别是 (与e垂直) (与ej垂直) (与ez垂直) (1-1-5)dd dd ddd dd ddd dd dzztSllzSllzSllrjjrrjr jrr r j(1-1-6)(1-1-4)体积元是体积元是:d=dl dlj dlz= d dj dz第1章 矢量分析3. 球坐标系球坐标系 球坐标系中的三个坐标变量是r、，如图1-1-3所示，它们的变化范围是0002r j图1-1-3 球坐标系rrAAAjjAeee第1章 矢量分析在点M(r，)处沿er、e、e方向的长度元分别是 dddddsin d

10、rlrlrlrj j与三个坐标单位矢量相垂直的面积元面积元分别是 (与er垂直) (与e垂直) (与ej垂直)(1-1-9)2dd dsin d ddd dsin d ddd dd drrrSllrSl lrrSl lr rjjj jj体积元体积元是d=dlr dl dlj=r2 sin dr d dj(1-1-10)(1-1-8)第1章 矢量分析1.1.2 三种坐标系坐标变量之间的关系三种坐标系坐标变量之间的关系由图1-1-4所示的几何关系，可直接写出三种坐标系的坐标变量之间的关系。1. 直角坐标系与柱坐标系的关系直角坐标系与柱坐标系的关系 (1-1-11) (1-1-12)cossinxy

11、zzrjrj222222arctanarcsinarccosxyyyxxxyxyzzrj第1章 矢量分析图1-1-4 三种坐标系的坐标变量之间的关系第1章 矢量分析2. 直角坐标系与球坐标系的关系直角坐标系与球坐标系的关系 (1-1-13) (1-1-14)sincossinsincosxryrzrjj222222222222222arccosarcsinarctanarcsinarccosrxyzxyzxyzxyzyyxxxyxyj第1章 矢量分析3. 柱坐标系与球坐标系的关系柱坐标系与球坐标系的关系 (1-1-15) (1-1-16)sincosrzrrjj222222arcsinarcc

12、osrzzzzrrrrjj第1章 矢量分析1.1.3 三种坐标系坐标单位矢量之间的关系三种坐标系坐标单位矢量之间的关系直角坐标系和柱坐标系都有一个z变量，有一个共同的坐标单位矢量ez，其他坐标矢量都落在xOy平面内。图1-1-1 直角坐标系图1-1-2 柱坐标系第1章 矢量分析图1-1-5 直角坐标系与柱坐标系的坐标单位矢量之间的关系sinxejcosyejjjcosjxesinjye第1章 矢量分析1、直角坐标系和柱坐标系单位矢量之间的关系、直角坐标系和柱坐标系单位矢量之间的关系 直角坐标系和柱坐标系都有一个z变量，有一个共同的坐标单位矢量ez，其他坐标矢量都落在xOy平面内。因此，这两种坐

13、标系的坐标矢量及其关系可以用图1-1-5表示出来，这种变换关系写成矩阵形式为 (1-1-17) (1-1-18)cossin0sincos0001xyzz eeeeeerjjjjjcossin0sincos0001xyzzrjjjjj eeeeee第1章 矢量分析柱坐标系和球坐标系都有一个变量，有一个共同的坐标单位矢量e，而其他坐标矢量都落在过z轴的平面内。因此，这两种坐标系的坐标矢量及其关系可以用图1-1-6表示出来，将这种变换关系写成矩阵形式为 (1-1-19) (1-1-20)sin0coscos0sin010rzrjj eeeeeesincos0001cossin0rzrjjeeeee

14、e2、求标系和柱坐标系单位矢量之间的关系、求标系和柱坐标系单位矢量之间的关系第1章 矢量分析直角坐标系和球标系的坐标单位矢量间关系要用三维空间图形才能表示出来，其图解要复杂一些。但利用前面得到的坐标单位矢量之间的相互转换关系，将式(1-1-17)代入式(1-1-19)，将式(1-1-20)代入式(1-1-18)可以得到 (1-1-21) (1-1-22)sincossinsincoscoscoscossinsinsincos0rxyzjjjjjjj eeeeeesincoscoscossinsinsincossincoscossin0 xryzjjjjjjjeeeeee3、直角坐标系和球坐标系

15、单位矢量之间的关系、直角坐标系和球坐标系单位矢量之间的关系第1章 矢量分析例例1-1-1 如果有一矢量在柱坐标系下的表达式为A=Ae+Ae+Azez，试求出它在直角坐标系下的各分量大小。解解 利用式(1-1-18)，可得cossin0sincos0001xyzzAAAAAArjjjjj 其他坐标系的矢量变换可以类似得到，它们与坐标单位矢量的变换是一致的。第1章 矢量分析例例1-1-2 写出空间任一点在直角坐标系下的位置矢量表达式，然后将此位置矢量转换成在柱坐标系和球坐标系下的矢量。解解 在空间任一点P(x，y，z)的位置矢量为A=xex+yey+zez 于是，位置矢量在柱坐标系下得表达式为A=

16、e+zez理可得，在球坐标系下得位置矢量表达式为A=rer可见，位置矢量在不同坐标系下得到的表达式是不同的。第1章 矢量分析1.2 1.2 矢量的微积分矢量的微积分u直角坐标系中，矢量的微积分运算同高等直角坐标系中，矢量的微积分运算同高等数学的微积分，只是记得加上矢量符号！数学的微积分，只是记得加上矢量符号！x,y,z()xxxxxxxyyzzyxzxyzEa Ea Ea EEEEaaa（）例如：第1章 矢量分析1.3 1.3 标量函数的梯度标量函数的梯度1.3.1 标量场及方向导数标量场及方向导数u标量场：标量场：标量在空间的分布 标量场的表示： u=u(x，y，z) 假定u(x，y，z)是

17、坐标变量的单值连续可微单值连续可微函数。u等值面方程等值面方程：u(x，y，z)=C (C为任意常数) 在标量场中，空间的每一点上只对应一个场函数的确定值。所以等值面互不相交，或者说场中的一个点只能在一个等值面上。第1章 矢量分析第1章 矢量分析第1章 矢量分析第1章 矢量分析u方向导数：方向导数： 表示在标量场中某点沿各个方向的变化快慢情况。000limlMu Mu Mull 定义：定义：图1-3-1 等值面示意图第1章 矢量分析有没有一个最大变化率？取得最大变化率沿着什么方向？第1章 矢量分析1.3.2 梯度梯度1. 梯度的定义梯度的定义 定义：定义：大小等于场点M 所有方向导数中的最大值

18、、方向为取得这个最大值时所沿的方向的一个矢量。 表达式：表达式：标量场u(x，y，z)在点M处的梯度(gradient)是一个矢量，记作 gradu=G (1-3-8)xyzuuuxyzeee标量场的梯度是个矢量第1章 矢量分析2. 梯度的性质梯度的性质(1) 一个标量函数u的梯度是一个矢量函数矢量函数。在给定点，梯度的方向就是函数u变化率最大的方向，它的模恰好等于函数u在该点的最大变化率的数值。即 ，说明梯度总是指向函数梯度总是指向函数u(x，y，z)增大的方向。增大的方向。maxgrad0uul00cos,ulG lGG l (2) 函数u在给定点沿任意 l 方向的方向导数等于函数u 的梯

19、度在 l 方向上的投影。第1章 矢量分析(3) 在任一点M，标量场u(x，y，z)的梯度垂直于过该M点的等值面，也就是垂直于过该点的等值面的切平面。根据这一性质，曲面u(x，y，z)=C上任一点的单位法线矢量n0可以用梯度表示，即 (1-3-12)0gradgraduun第1章 矢量分析3. 哈密顿哈密顿(Hamilton)算子算子为了方便，我们引入一个算子 (1-3-13)称为哈密顿算子。读作“del(德尔)”或“nabla(那勃拉)”。“”既是一个微分算子，又可以看做是一个矢量，所以称它为一个矢量性微分算子。矢量性微分算子。xyzxyzeee 第1章 矢量分析 算子对标量函数作用产生一矢量

20、函数。在直角坐标系中有(1-3-14)上式右边刚好是gradu，所以用哈密顿算子可将梯度记为(1-3-15) ()xyzxyzuuuuuxyzxyzeeeeee graduu 第1章 矢量分析4. 梯度运算基本公式梯度运算基本公式 (C为常数) (1-3-16) (C为常数) (1-3-17) (1-3-18) (1-3-19)(1-3-20)(1-3-21)C0 CCuu uvuv uvv uu v 21uv uu vvv f ufuu 第1章 矢量分析1.4.1 矢量场的通量矢量场的通量u矢量场矢量场：矢量在空间的分布矢量场的表示为：F=F(x，y，z)该矢量函数用分量表示为：1.4 1.

21、4 矢量函数的散度矢量函数的散度zyxFzyxFzyxFzyxzzyyxx,eeeFF第1章 矢量分析u通量通量 定义：定义：矢量F 在场中某一个曲面S上的面积分，称为该矢量场通。 表达式：表达式： (1-4-2) dS为在场中任意曲面S上的点M周围取一小面积元； n0为dS的方向SSSdd0nFSF对于封闭曲面， n0取为封闭曲面的外法线方向；外法线方向；对于开曲面， n0取该面元外围封闭曲线 l 的右手右手螺旋方向。螺旋方向。第1章 矢量分析图1-4-1 矢量场通量第1章 矢量分析 通过闭合曲面S的总通量可表示为 (1-4-3)SSSdd0nFSF闭合曲面的总通量的意义：闭合曲面的总通量的

22、意义： 表明S 内必有矢量的源（正源）； 表明 S 内必有矢量的源（正源）； 表明 S 内无矢量的源。00 0=第1章 矢量分析1.4.2 散度（散度（divergence） 1. 散度的定义散度的定义000limlimddFSF nSSSS为任一点M的邻域内所作的一包围该点的任意闭合面； 定义：定义：在连续函数的矢量场F 中，任一点M处单位体积上的通量，称为矢量场F在该点的散度，（也称为“通量源密度”）。 表达式：表达式： 为闭合曲面S所限定的体积；表示以任意方式趋于零(即缩至M点)。0第1章 矢量分析记作divF(读作F的散度)。即 (1-4-4)SSFdlimdiv00nFu若divF0

23、，则该点有发出的通量的正源； 若在某一区域内的所有点上的矢量场的散度都等于零，则称该区域内的矢量场为无源场。（也成为无散场，如：磁场强度）若divF0，则该点有发出的通量的正源； 若divF0，则该点有吸收的通量的负源; 若divF=0，则该点无源。 div FeeeeeeFyxzxyzxxyyzzFFF xyzFFFxyzu直角坐标系中：直角坐标系中： 矢量场的散度是个标量矢量场的散度是个标量第1章 矢量分析u高斯高斯(Gauss)散度定理散度定理高斯定理：高斯定理： (1-3-18)说明：说明：左边：空间任一体积内 的体积分， 右边： 矢量F 穿出该体积闭合表面的净通量意义：意义：矢量F

24、在闭合曲面上的净通量等于其散度在该曲面所包围体积内的体积分。ddsFFSF体积是闭合曲面的包围区域，闭合面积是体积的外表面第1章 矢量分析u矢量的环量表达式：矢量的环量表达式： 矢量的环量也是一标量矢量的环量也是一标量llAlAd cosd l (1-3-19)SlAlPSdlim(1-5-2)环量面密度环量面密度表达式：表达式：第1章 矢量分析2）旋度的定义旋度的定义(Curl 或或Rotation) 定义：定义：旋度R 的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值。 记作记作 rotA=R (1-3-2)说明：u对于矢量场A其旋度R必是唯一固定矢量；u旋度R在任意面元方向上的

25、投影就给出该方向上的环量面密度。矢量场的旋度仍为矢量！第1章 矢量分析图1-16旋度及其投影任意元面的环量面密度为旋度矢量在n方向的投影，如图1-16所示，即AnlPSSlArotdlim(1-5-3)第1章 矢量分析在直角坐标系中在直角坐标系中，旋度的表达式为：)()()(rotyAxAxAzAzAyAxyzzxyyzxaaaA(1-5-8) 为方便起见，也引入算子，则旋度在直角坐标系中的表达式为zyxzyxAAAzyxaaaAArot(1-5-9)第1章 矢量分析旋度的性质：旋度的性质：u一个矢量场的旋度表示该矢量场单位面积上的环量，它描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。u矢量

26、场的旋度为一矢量矢量场的旋度为一矢量，它用以研究矢量场的矢量源在空间的分布状况。u若矢量场的旋度不为零，则称该矢量场是有旋的u(otational)。(如：水从槽子流出或流入是流体旋转速度场)u若矢量场的旋度等于零，即A=0，则称此矢量场是无旋的(Irrotational)或保守的(Conservative)。（如：静电场）第1章 矢量分析 旋度的一个重要性质重要性质就是任意矢量旋度的散度恒等于零，即 (1-3-28)这就是说，如果有一个矢量场B的散度等于零（ ），则该矢B就可以用另一个矢量A的旋度来表示，即当则有 (1-3-28)0)(AAB试证明：0u 0B第1章 矢量分析4. 旋度的基本

27、运算公式旋度的基本运算公式 (C为常矢量) (1-5-12) (C为常数) (1-5-13) (1-5-14)(u为标量函数) (1-5-15) (1-5-16)0CCCFFGFGFuuu FFFGFFGGF第1章 矢量分析3 斯托克斯定理斯托克斯定理(StokesTheorem) 斯托克斯定理斯托克斯定理其中S是闭合路径 l 所围成的面积，它的方向与l的方向成右手螺旋关系。 物理意义：物理意义：矢量场A的旋度沿曲面S 法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分(证明从略)。 drotdSllAAS(1-5-17)第1章 矢量分析上节复习上节复习标量场的梯度：标量场的梯度： gradu=G (1-4-6)=eeexyzuuuuxyz标量场的梯度是个矢量矢量场的散度：矢量场的散度：Fdiv F 矢量场的散度是个标量第1章 矢量分析div FyxzxyzxxyyzzFFF F xyzeeee Fe Fe Fxyzu直角坐标系中：直角坐标系中：