2012版高考数学 3-2-1精品系列 专题06 不等式

1、120122012 版高考数学版高考数学 3-2-13-2-1 精品系列专题精品系列专题 0606 不等式（教师版）不等式（教师版）【考点定位考点定位】2012】2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布20122012 考纲解读考纲解读考纲解读：不等式的考查主要以中档题为主，以选填题为主；不等式的性质常与简易逻辑结合考查；不等式的解法主要以一元二次不等式为主，兼顾其它（如简单的分式不等式、绝对值不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式等） ，常与集合（选填题） 、导数（解答题中对参数的分类讨论）结合；线性规划问题难度不大；基本不等式求最值是重点，要加强训练；不等式的恒成立

2、也应当重视。近几年考点分布近几年考点分布的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量） 、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高。【考点考点 pk】pk】名师考点透析名师考点透析考点一考点一 不等式的概念和性质例 1 设不等式x22ax+a+20 的解集为M，如果M1，4 ，求实数a的取值范围 2即21007180

3、3aaaaa或，解得 2a718，M1，4时，a的取值范围是(1，718) 【名师点睛名师点睛】：对二次不等式进行分类讨论，三种情况下分别计算，主要考查一元二次不等式的求解和集合的关系的综合例 2：不等式2313xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A(, 14,) B(, 25,) C1,2 D(,12,)考点二考点二算术平均数与几何平均数例 3：设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 14【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为333 ba，所以1 ba，4222

4、)11)(11 baabbaabbababa，当且仅当baab 即321 ba时“=”成立，故选择 C【名师点睛名师点睛】：对于均值不等式的运用，我们一般要关注不等式求最值时满足的三点：一正，二定，三相等。需要从题目中挖掘有关定值的等式，考虑求最值时的方法：不等式法，单调性法，导数法等等来进行。最值问题使我们高频试题，要注意积累常用的方法。考点三考点三 线性规划例 4：已知实数 x、y 满足223yxyxx 则目标函数 z=x-2y 的最小值是_.【名师点睛名师点睛】：对于线性规划问题主要是作图，然后画图虚实要分，准确利用平移进行求解有关的最值。该类试题也有逆向问题，含有参数问题的求解运用，需

5、要灵活运用。例 5：某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元【答案答案】D【解析解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系： A 原料 B 原料甲产品x吨 3x 2x 乙产品y吨 y 3y 则有：183213300yxyxyx 目标函数yxz35

6、 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x3，y5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D【名师点睛名师点睛】： 运用不等式解决现实生活中的最优解问题，比如材料最省，容积最大，面积最大，利润最大等等问题。抽象不等式，准确表示线性约束条件，然后结合图像求解。该类试题是高考中必考的知识点，我们要多加以练习。考点四考点四 实际应用实际应用（3，4）（0，6）O（313，0）yx9134例 6：某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台，每批都购入 x 台（x 是正整数） ，且每批均需付运费 4 元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含

7、运费）成正比，若每批购入 4 台，则该月需用去运费和保管费共 52 元，现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用( );f x（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 【名师点睛名师点睛】：本试题是创新题目，主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力，这也是高考的趋势，我们要主语创新能力的培养，数学建模思想的树立。【三年高考三年高考】10】10、1111、1212 高考试题及其解析高考试题及其解析1212 高考试题及其解析高考试题及其解析一、选择题1. （2012

8、年高考（辽宁文理） ）设变量 x,y 满足,15020010yyxyx则 2x+3y的最大值为（）A20 B35 C45 D55【解析】画出可行域,根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y最大,最大值为 55,故选 D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可22yx14 yx42 yxO5以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值. 2. （ 2012 年高考（辽宁理） ）若0,)x,则下列不等式恒成立的是（）A21xexxB21111241xxx C21cos12xxD21ln(1)8xxx【点评】本题主要考查导

9、数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大.3. （2012 年高考（重庆文） ）不等式102xx 的解集是为（）A(1,)B(, 2) C(-2,1)D(, 2) (1,)【解析】:10(1)(2)0212xxxxx 【考点定位】本题考查解分式不等式时,利用等价变形转化为整式不等式解.4. （2012 年高考（重庆理） ）设平面点集221( , ) ()()0 ,( , ) (1)(1)1Ax yyxyBx yxyx,则AB所表示的平面图形的面积为（）A34B35C47D2【解析】, 1) 1() 1(,010010, 0)1

10、)(22yxxyxyxyxyxyxy或则满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分和，因为1) 1() 1( ,122yxxy的图象都关于直线 y=x 对称，所以和区域的面积相等，和区域的面积相等，即圆内部分和的面积之和为单位圆面积的一半，即.2点评考查线性规划中可行域的画法，突破常规，难度较大，需要考生有扎实的基础储备和灵活的转化能力；而另一难点是要有敏锐的观察力，能看到图象的对称性，否则问题的求解会落入定积分的复杂运算中.所以在复习中既要重视双基，又要善于创新，在变化中寻找不变.【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识,考查6运算求解能力,考查数形结合思想,

11、化归与转化思想,属于基础题.5. （2012 年高考（重庆理） ）不等式0121xx的解集为（）A1 ,21B1 ,21C, 121.D, 121, 【解析】(1)(21)01101212210 xxxxxx 【考点定位】本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,属于基础试题,属基本题.6. （2012 年高考（浙江文） ）若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是（）A245B285C5D67. （2012 年高考（天津文） ）设变量, x y满足约束条件01042022xyxyx,则目标函数32zxy的最小值为（）A5B4C2D3【解析】做出

12、不等式对应的可行域如图,由yxz23 得223zxy,由图象可知当直线223zxy经过点)2 , 0(C时,直线223zxy的截距最大,而此时yxz23 最小为423yxz,选 B.8. （2012 年高考（四川文） ）若变量, x y满足约束条件3,212,21200 xyxyxyxy ,则34zxy的最大值是（）7A12B26C28D33【解析】目标函数34zxy可以变形为 443zxy,做函数xy43的平行线, 当其经过点 B(4,4)时截距最大时, 即 z 有最大值为34zxy=284443.点评解决线性规划题目的常规步骤: 一列(列出约束条件)、 二画(画出可行域)、 三作(作目标函

13、数变形式的平行线)、 四求(求出最优解). 9. （2012 年高考（四川理） ）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗A原料 1 千克、B原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗A原料 2 千克,B原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是（）A1800 元B2400 元C2800 元D3100 元解方程组12y2x12yx2 4y4x 即 A(4,4) 280016001200maxZ 点

14、评解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解). 10. （2012 年高考（陕西文） ）小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(ab),其全程的平均时速为 v,则（）AavabBv=abCabvb1,0c ,给出下列三个结论:cacb ; cab1 知11ab,又0c ,所以cacb,正确;由指数函数的图像与性质知正确;由ab1,0c 知11acbcc ,由对数函数的图像与性质知正确. 【点评】本题考查函数概念与基本初等函数中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质,不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与

15、基本初等函数是常考知识点.14. （2012 年高考（广东文） ）(线性规划)已知变量x、y满足约束条件1110 xyxyx ,则2zxy的最小值为A3B1C5D69解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A时,取到最小值.联立11xyx ,解得12xy ,所以2zxy的最小值为5.15. （2012 年高考（福建文） ）若直线2yx上存在点( , )x y满足约束条件30230 xyxyxm,则实数m的最大值为（）A-1B1C32D216. （2012 年高考（安徽文） ）若, x y满足约束条件:02323xxyxy;则xy的最小值是（）A3B0C32D3【解析】xy的取值范围为 3,0

16、约束条件对应ABC边际及内的区域:3(0,3), (0, ),(1,1)2ABC 则 3,0txy 17. （2012 年高考（江西理） ）某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为（）A50,0B30.0C20,30D0,50【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力

17、.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函数为(0.55 41.2 )zxx10(0.3 60.9 )yy0.9xy.线性约束条件为 50,1.20.954,0,0.xyxyxy即50,43180,0,0.xyxyxy作出不等式组50,43180,0,0 xyxyxy表示的可行域,易求得点0,50 ,30,20 , 0,45ABC. 平移直线0.9zxy,可知当直线0.9zxy经过点30,20B,即30,20 xy时,z 取得最大值,且max48z(万元).故选 B. 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数

18、是什么? (2)转化设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.18. （2012 年高考（湖北理） ）设, , , , ,a b c x y z是正数,且22210abc,22240 xyz,20axbycz,则abcxyz（）A14B13C12D34 19. （2012 年高考（广东理） ）已知变量x、y满足约束条件211yxyxy,则3zxy的最大值为（）A12B11C3D1解析:B.画出可行域,可知当代

19、表直线过点A时,取到最大值.联立21yyx,解得32xy,所11以3zxy的最大值为 11. 20. （2012 年高考（福建理） ）若函数2xy 图像上存在点( , )x y满足约束条件30230 xyxyxm,则实数m的最大值为（）A12B1C32D2【解析】30 xy与2yx的交点为(1,2),所以只有1m 才能符合条件,B 正确. 【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力21. （2012 年高考（福建理） ）下列不等式一定成立的是（）A21lg()lg (0)4xx xB1sin2(,)sinxxkkZx C212|()xxx

20、R D211()1xRx二、填空题22. （2012 年高考（浙江文） ）设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足102000 xyxyxy , 则 z 的取值范围是_.23. （2012 年高考（四川文） ）设, a b为正实数,现有下列命题:若221ab,则1ab;若111ba,则1ab;若| 1ab,则| 1ab;若33| 1ab,则| 1ab.其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号)解析若 a,b 都小于 1,则 a-b1, 由 a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b1,则|a-b|1 若 a,b 都小于 1,则|a-b|0 时均有(a-1)x-1( x 2-ax-1)

21、0,则a=_.【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: (A)2(1)1010axxax , 无解; (B)2(1)1010axxax , 无解. 因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x0 的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图) 我们知道:函数y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点P(0,1). 考查函数y1=(a-1)x-1:令y=0,得M(11a ,0),还可分析得:a1; 考查函数y2=x 2-ax-1:显然过点M(11a ,0),代入得:211011aaa ,解之得:302ao

22、r ,舍去0a ,得答案:32a . 【答案】32a 30. （2012 年高考（上海春） ）若不等式210 xkxk 对(1,2)x 恒成立,则实数k的取值范围是_.【答案】(,231. （2012 年高考（陕西理） ）设函数ln ,0( )21,0 xxf xxx,D是由x轴和曲线( )yf x及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2zxy在D上的最大值为_.xy1-114解析:1,0( )2,0 xyfxxx,(1)1f ,曲线( )yf x及该曲线在点(1,0)处的切线方程为1yx=-,围成的封闭区域为三角形,2zxy在点(0,1)-处取得最大值 2.32. （2012 年

23、高考（江苏） ）已知正数a b c，满足:4ln53lnbcaacccacb，则ba的取值范围是. 设=abxycc，,则题目转化为: 已知xy，满足35400 xxyxyyexy，,求yx的取值范围. 作出(xy，)所在平面区域(如图).求出=xy e的切 线的斜率e,设过切点00P xy，的切线为=0y exm m, 则00000=yexmmexxx,要使它最小,须=0m. yx的最小值在00P xy，处,为e.此时,点00P xy，在=xy e上,A B之间. 当(xy，)对应点C时, =45 =205=7=7=534 =2012yxyxyyxyxyxx, yx的最大值在C处,为 7.

24、yx的取值范围为 7e，,即ba的取值范围是 7e，. 33. （2012 年高考（江苏） ）已知函数2( )()f xxaxb a bR，的值域为0)，,若关于x 的不等式( )f xc的解集为(6)mm，,则实数 c 的值为_.15【解析】由值域为0)，,当2=0 xaxb时有240abV,即24ab , 2222( )42aaf xxaxbxaxx. 2( )2af xxc解得2acxc,22aacxc. 不等式( )f xc的解集为(6)mm，,()()2622aaccc ,解得9c . 34. （2012 年高考（大纲理） ）若, x y满足约束条件1030330 xyxyxy ,则

25、3zxy的最小值为_.【解析】做出不等式所表示的区域如图,由yxz 3得zxy 3,平移直线xy3,由图象可知当直线经过点) 1 , 0(C时,直线zxy 3的截距最 大,此时z最小,最小值为1-3yxz. 35. （2012 年高考（安徽理） ）若, x y满足约束条件:02323xxyxy;则xy的取值范围为_【解析】约束条件对应ABC边际及内的区域:3(0,3), (0, ),(1,1)2ABC 则 3,0txy 1111 年高考试题及解析年高考试题及解析1、 （陕西文 3）.设0ab，则下列不等式中正确的是 （A） 2ababab （B）2abaabb（C ）2abaabb (D) 2

26、ababab【答案】B【解析】：0ab ,aba aaabb bb，22bbabb16又2abab所以2abaabb故选 B2、 （陕西理）.若关于 x 的不等式12axx存在实数解，则实数a的取值范围是 3、 （广东文 5 5） 不等式不等式2210 xx 的解集是（的解集是（ ）A A 1(,1)2 B B(1,)C C (,1)(2,) D D 1(,)(1,)2 【解析解析】D.】D.由题得由题得,2110) 1)(12(0122xxxxxx或所以选所以选 D.D.4、 （广东理 9 9）. .不等式不等式130 xx的解集是的解集是_._.【解析解析】由题得由题得1)3() 1(|3

27、|1|22xxxxx 所以不等式的解集为所以不等式的解集为1|xx。5、 （山东理 4）.不等式1035xx的解集为（ ）A7,5 B。6,4 C. ,75, D。 ,64,6、 （江西文 15） 对于xR，不等式1028xx的解集为_【解析】两种方法，方法一：分三段，当 x2 时， x+10-x+28,x2,0 x 综上：方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10 和 2 的距离差大于等于 8 的所有点的集合，画出数轴线，找到 0 到-10 的距离为1d10，到 2 的距离为2d2，821dd，17并当 x 往右移动，距离差会大于 8，所以满足条件的 x 的范围是0 x.7、 （湖南理

28、）.设Ryx,，且0 xy，则2222411yxyx的最小值为 .8、 （重庆文 7） 若函数( )f x=12xx(2)n 在xa处取最小值，则a A12 B13 C3 D4【命题意图】本题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运运算求解能力，是中档题.【解析】x2，( )f x=12xx=1222xx12222xx =4，当且仅当122xx即x=3 时，即a=3，min( )fx=4，故选 C.9、 （重庆文 15） 若实数, ,222,2222,aba babca b ca b cc 满足则的最大值是 【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化

29、归思想，是难题.【解析】2a b=22ab2 2a b，2a b4，又222abc=2a b c ，22a bc=22a bc，221cc=2a b4，即221cc4，即43 221cc 0，2c43，c24log3=22log 3，c的最大值为22log 3.【答案】22log 310、 （重庆理 7）已知 a0，b0，a+b=2，则14yab的最小值是（A）72 （B）4 （C）92 （D）5 解析：选 C。因为 a+b=2，所以14141414914522222abbabayabababa b1811、 （上海文 16、理 15）若, a bR，且0ab ，则下列不等式中，恒成立的是（

30、）A 222abab B 2abab C 112abab D 2baab12、 （浙江文 16）若实数, x y满足221xyxy，则xy的最大值是_。【解析】：222221()1()()12xyxyxyxyxyxy 2 33xy13、 （浙江理 16）设, x y为实数，若2241,xyxy则2xy的最大值是 .。【解析】：224431xyxyxy，222233251(2)2(2)()(2)2228xyxyxyxyxy 2 1025xy，故2xy的最大值为2 10514、 （湖北文 8） 直线与不等式组0,0,2,4320 xyxyxy 表示平面区域的公共点有A.0 个 B.1 个 C.2

31、个D.无数个解析：画出可行域（如图示） ，可得 B(0,2) , A(2,4), C(5,0) ,D(0, 203), E(0,10),故由图知有唯一交点，所以选 B.15、 （安徽文 6).设变量 x,y 满足,xy1xy1x ,则xy的最大值和最小值分别为（A） 1，1 (B) 2，2 (C ) 1，2 (D)2，119求出代入计算即可。16、 （山东文7）.设变量 x，y 满足约束条件250200 xyxyx，则目标函数231zxy的最大值为 (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5【答案】B【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线231zxy平移至点 A(3,1)时, 目

32、标函数231zxy取得最大值为 10,故选 B.17、 （课标卷文 14、理 13）. 若变量yx,满足约束条件96923yxyx则yxz2的最小值为_解析：如图可知最优解是（4，-5） ，所以，6)5(24minz点评：本题考查线性规划问题，求最优解事先要准确画出线性区域是关键。18、 （全国文 4）若变量 x、y 满足约束条件6321xyxyx，则23zxy的最小值为（A）17 （B）14 （C）5 （D）36 yxy9 yx92 yx32 yxox) 5, 4 ( A第 13 题图2019、 （浙江文 3）若实数xy、满足不等式组2502700,0 xyxyxy ,则3xy+4的最小值是

33、 (A)13 (B)15 (C)20 (D)28【解析】：作出可行域，25032701xyxxyy由得， min3 34 113zA 故选20、 （天津文 2 2）. .设变量设变量, x y满足约束条件满足约束条件140340 xxyxy, ,则目标函数则目标函数3zxy的最大的最大值为值为A.-4A.-4 B.0B.0 C.C.43 D.4D.4【答案】D【解析】画出不等式表示的平面区域,容易求出最大值为 4,选 D.21、 （陕西文 11）.如图，点( , )x y在四边形 ABCD 内部和边界上运动，那么2xy的最小值为 .【解析】：令:20lxy，2,31ABk1,51DCk所以l过

34、(1,1)C时在轴上截距最大，即1,1xy时2xy有最小值为2 1 11 22、 （广东文 6 6、理 5 5）. .已知平面直角坐标系已知平面直角坐标系xOy上的区域上的区域D由不等式组由不等式组0222xyxy给给定，若定，若,M x y为为D上的动点，点上的动点，点A的坐标为的坐标为2,1，则，则zOM OA 的最大值为（的最大值为（ ）A A3 3B B4 4C C3 2D D4 22123、 （浙江理 5）.设实数, x y满足不等式组250270,0 xyxyx，y0，若, x y为整数，则34xy的最小值是（A）14 （B）16 （C）17 （D）19【解析】：作出可行域，503

35、2701xyxxyy由得，, x y为整数，所以4,1xy，min3 44 116z 故选B24、 （湖南文 14） 设1,m 在约束条件1yxymxxy下，目标函数5zxy的最大值为 4，则m的值为 25、 （湖南理 7）.设, 1m在约束条件1yxmxyxy下，目标函数myxz的最大值小于2，则m的取值范围为 A.21 , 1 B. ,21 C. 3 , 1 D. , 32226、 （湖北理 8） 已知向量(,3),(2,)axzbyz，且ab，若, x y满足不等式1xy，则 z 的取值范围为A.2,2B. 2,3C. 3,2D. 3,3解析：因为ab，故0a b ，即2()3()0 x

36、zyz，可得23zxy，又因为| 1xy，其图像为四条直线1,1,1,1xyxyxyxy 所围成的正方形面，由线性规划可计算得当0,1xy时，33zxy取到max3z，当0,1xy ，取到min3z ，所以选 D.27、 （福建理）设不等式11-x2的解集为 M.（I）求集合 M；（II）若 a，bM，试比较ab+1 与 a+b 的大小.28、 （安徽理）.设变量, x y满足1,xy则2xy的最大值和最小值分别为（），（）， （），（），23【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.【解析】不等式1xy对应的区域如图所示，当目标函数过点（0，1） ， （0,1）时，分别取最小或最大值，所以

37、2xy的最大值和最小值分别为 2，2.故选 B.29、 （江西理）.对于实数xy，,若11,21,21xyxy则的最大值为 【答案】5【解析】画出图象，很容易得出答案.30、 （四川理 9）.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往A地至少 72 吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车虚配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润( )（A）4650 元 （B）4

38、700 元 （C）4900 元 （D）5000 元解析：设当天派出 x 辆甲卡车和 y 辆乙卡车，获得的利润是450350zxy，x 和 y 需要满足的条件是80,70,12,219,10672, ,xyxyxyxyx yN当8,3xy时，max450 8350 34650z ；当7,5xy时，max450 7350 54900z ；当6,6xy时，max450 6350 64800z ，越往下的临界值越小，故选 C.31、 （江苏）解不等式：解不等式：|21| 3xx32、 （辽宁文、理） 已知函数= f x|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3 f x3；（II）求不等式 f xx2-

39、8x+15 的解集。2433、 （安徽理安徽理 19） （本小题满分 12 分） （）设1,1,xy证明111xyxyxyxy，（）1abc，证明loglogloglogloglogabcbcabcaabc.【命题意图】：本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。【证明】：()由于1,1xy，所以要证明：111xyxyxyxy只要证明：2() 1()xy xyyxxy 只要证明：2()1 ()()0 xyxyxy xy 只要证明：(1)(1)0 xyxyxy 只要证明：(1)(1)(1)0 xyxy由于1,1xy，上式显然成立，所以

40、原命题成立。（）设logabx，logbcy，由换底公式得log1loglogbcbaacxy，1logbax，2520102010 年高考试题及解析年高考试题及解析一、选择题一、选择题:1 （20102010 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 1010）设变量 x、y 满足约束条件2,5100,80,xyoxyxy,则目标函数 z=3x4y 的最大值和最小值分别为（A）3，11（B) 3, 11(C)11, 3 (D)11,3【答案】A【解析】画出平面区域如图所示：可知当直线z=3x-4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x-4y取得最大值 3；当直线z=3x-4y平移到点（3，5）时，目

41、标函数z=3x-4y取得最小值-11，故选 A。【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x-4y的几何意义是解答好本题的关键。2 （ 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 I I 理科理科 3 3）若变量, x y满足约束条件1,0,20,yxyxy则2zxy的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)12.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图） ，由图可知,当直线l经过点 A(1,-1)时，z 最大，且最大值为0 xy1Oyxy20 xyxA0:20lxyL022A26max1 2 (

42、 1)3z .3 （20102010 福建理福建理 8 8）设不等式组x1x-2y+30yx所表示的平面区域是1,平面区域是2与1关于直线3490 xy对称,对于1中的任意一点 A 与2中的任意一点 B, |AB的最小值等于( )A.285 B.4 C. 125 D.2【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。4(2010(2010 天津理天津理 8)8)设函数 f（x）=212loglogxx 0,0 xx 若 f(a)f(-a),则实数 a 的取值范围是（A） （-1，0）（0，1） （B） （-，-1

43、）（1,+） （C） （-1，0）（1,+） （D） （-，-1）（0,1）【答案】C【解析】当0a 时，由 f(a)f(-a)得：212loglog aa，即221loglog aa，即1aa，解得1a ；当0a 时，由 f(a)f(-a)得：12log ()a2()loga，即21log ()a272()loga，即1aa，解得10a ，故选 C。【命题意图】本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识，考查同学们分类讨论的数学思想。5. (2010(2010 天津理天津理 9)9)设集合 A1,xxaxR，B2,xxbxR。若AB,则实数, a b必满足（A）3ab （B）

44、3ab（C）3ab （D）3ab【答案】D【解析】由题意可得：|11Ax axa ，对集合 B 有 2xb或2xb，因为AB，所以有21ba或21ba，解得3ab或3ab ，即3ab，选 D。【命题意图】本小题考查绝对值不等式的解法、集合之间的关系等基础知识，考查同学们数形结合的数学思想。6 （20102010 广东理广东理 5 5） “14m ”是“一元二次方程20 xxm”有实数解的A充分非必要条件 B.充分必要条件 C必要非充分条件 D.非充分必要条件7 （20102010 四川理四川理 7 7）某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费

45、工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱（B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱（C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱（D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱解析：设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱则7

46、0106480,xyxyx yN 目标函数 z280 x300y 结合图象可得：当 x15,y55 时 z 最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案：By0 x70488070(15,55)288 （20102010 四川理四川理 1212）设0abc，则221121025()aaccaba ab的最小值是 （A）2 （B）4 （C） 2 5 （D）5解析：221121025()aaccaba ab2211(5 )()acaabababa ab211(5 )()()acaba ababa ab0224 当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1 时等号成立如取 a2,b22,c25满足条件.答案：B

47、9. (2010(2010 宁夏宁夏 1 1）已知集合|2,AxxR, |4,BxxxZ,则AB(A)(0,2) (B)0,2 (C)0,2 (D)0,1,2【答案】D 解析解析：由已知得22,0,1,16AxxB ，所以0,1,2AB10. (2010(2010 宁夏宁夏 8 8）设偶函数( )f x满足3( )8(0)f xxx，则 |(2)0 x f x(A) |24x xx 或 (B) |04x xx或(C) |06x xx或 (D) |22x xx 或11 （20102010 北京理北京理 7 7）设不等式组 110330530 xyxyxy9 表示的平面区域为 D，若指数函数 y=

48、xa的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是 （A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, 【答案】A解析：这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域 D 的图象，联系指数函数xya的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2,9）时，a 可以取到最大值 3，而显然只要 a29大于 1，图象必然经过区域内的点。12 （20102010 江西理江西理 3 3）不等式22xxxx的解集是A(0,2)B(,0)C(2,)D(,0)(0,)13 （20102010 浙江浙江 7 7）若实数yx,满足不等式组33023010 xyxyxmy ，且yx 的最大值为 9，则实数

49、 m、n(A)-2 （B） -1 (C)1 (D)2【答案】C14(2010 全国全国 2 理理 3）若变量, x y满足约束条件1,325xyxxy，则2zxy的最大值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A( 1, 1),B( 1,4),C(1,1) 构成的三角形，可知目标函数过 C 时最大，最大值为 3，故选 C.15(2010 全国全国 2 理理 5）不等式2601xxx的解集为（A）2,3x xx或 （B）213x xx，或（C） 213xxx ，或 （D）2113xxx ，或16 （20102010 上海理上海理 1

50、818）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为11 1,13 11 5，则此人能 （A）不能作出这样的三角形（B）作出一个锐角三角形（C）作出一个直角三角形（D）作出一个钝角三角形【答案】D3017.(2010(2010 年高考重庆市理科年高考重庆市理科 4)4)设变量 x,y 满足约束条件01030yxyxy ，则 z2xy 的最大值为（A） 2（B） 4（C） 6（D） 8【答案】C解析：不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点 B（3,0）的时候，z 取得最大值 6.18. (2010(2010 重庆理重庆理 7)7) 已知0 x ，0y ，228xyxy，则2xy的最小值是（

51、A） 3（B） 4（C） 92（D） 112【答案】B解析：考察均值不等式2228)2(82yxyxyx，整理得0322422yxyx 即08242yxyx，又02yx，42yx19 （20102010 年上海市春季高考年上海市春季高考 16)16)答案：B解析：由1212121(1)(1)0MNa aaaaa ，故MN，选 B.二、填空题：二、填空题：1 （20102010 山东理山东理 1414）若对任意0 x，231xaxx恒成立，则a的取值范围是 【答案】1a5【解析】因为x0，所以1x+2x（当且仅当x=1时取等号） ，所以有2x111=1x +3x+12+35x+3x，即2xx +

52、3x+1的最大值为15，故1a5。【命题意图】本题考查了分式不等式恒成立问题以及参数问题的求解，考查了同学们的转化能力。属中档题。2 （ 20102010 全国全国 I I 理理 1313）不等式2211xx 的解集是 .312.0,2 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.解析:原不等式等价于2221(1) ,10 xxx 解得 0 x2.3. (2010(2010 天津理天津理 16)16)设函数2( )1f xx，对任意3 ,)2x,2()4( )(1)4 ( )xfm f xf xf mm 恒成立，

53、则实数 m 的取值范围是 。4.(2010(2010 湖北理湖北理 1212）己知2zxy，式中变量, x y满足约束条件,1,2,yxxyx则z的最大值为 【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示） ，则对于目标函数 y=2x-z， 当直线经过 A（2，1）时， z 取到最大值，max5Z.5. (2010(2010 湖北理湖北理 1515）设00ab，称2abab为 a，b 的调和平均数如图，C 为线殴 AB上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E连结 OD，AD，BD过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E则图中线

54、段 OD 的长度是 a，b的算术平均数，线段 的长度是 a，b 的几何平均数，线段 的长度是 a，b 的调和平均数【答案】CD CE【解析】在 RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得2CDAC CB，故CDab，即 CD 长度为 a,b 的几何平均数，将 OC=32, , 222abababaCDabOD代入OD CEOC CD可得abCEabab故222()2()abOEOCCEab，所以 ED=OD-OE=2abab，故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数.6. (2010(2010 安徽理安徽理 13)13)设, x y满足约束条件2208400 , 0 xyxyxy，若目标函数

55、0,0zabxy ab的最大值为 8，则ab的最小值为_。【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得4ab ，要想求ab的最小值，显然要利用基本不等式.7 （20102010 江苏江苏 1212）设实数 x,y 满足 32xy8，4yx29，则43yx的最大值是 。 8 （20102010 陕西理陕西理 1414）铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的2CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c（百万元）A50%13B70%056某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求2C

56、O的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为_ (百万元).【答案】1533【解析解析】设铁矿石A购买了x万吨，铁矿石B购买了y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则由题设知，本题即求实数yx,满足约束条件0025 . 09 . 1%70%50yxyxyx，即00421975yxyxyx（*）时，yxz63 的最小值.作不等式组(*)对应的平面区域，如图阴影部分所示.现让直线yxz63 ，即zxy6121平移分析即知，当直线经过点P时，z取得最小值.又解方程组421975yxyx得点P坐标为 2 , 1.故152613minz.9 （20102010 辽宁理辽宁理 1414）已知14xy

57、 且23xy，则23zxy的取值范围是_（答案用区间表示）10 （20102010 上海理上海理 1 1）不等式204xx的解集是 。【答案】 （-4，2）【解析】原不等式等价于(4)(2)0 xx，解得42x ，故原不等式的解集为（-xyO24P719519344，2）.三、解答题：三、解答题：1 （20102010 广东理广东理 1919） （本小题满分 12 分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该

58、儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？2 （20102010 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 2121）设11( ,)A x y，22(,)B xy是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离( , )A B为2121( , ) |A Bxxyy对于平面xOy上给定的不同的两点11( ,)A x y，22(,)B xy,（1）若点( , )C x y是平面xOy上

59、的点，试证明( ,)( , )( , );A CC BA B（2）在平面xOy上是否存在点( , )C x y，同时满足( ,)( , )( , )A CC BA B ( ,)( , )A CC B若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。【解析】 （1）由绝对值不等式知，1212( ,)( , ) |A CC Bxxxxyyyy12122121|()()|()()|=|= ( , )xxxxyyyyxxyyA B35当且仅当12() ()0 xxxx且12() ()0yyyy时等号成立。（2）解：由( ,)( , )( , )A CC BA B得 12() ()0 xxxx且12() ()

60、0yyyy （）由( ,)( , )A CC B得 1122| |xxyyxxyy （）因为11( ,)A x y，22(,)B xy是不同的两点，则：1 若12xx且12yy，不妨设12yy，由（）得 12xxx且12yyy，由（）得 122yyy，此时，点C是线段AB的中点，即只有点1212(,)22xxyyC满足条件；2 若12xx且12yy，同理可得：只有AB的中点1212(,)22xxyyC满足条件；3 若12xx且12yy，不妨设12xx且12yy，由（）得12xxx且12yyy，由（）得121222xxyyxy， 此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点1212