高等数学B第四章

1、讲授内容 §4.1定积分的概念教学目的与要求：1 理解定积分概念，并会利用定积分定义计算积分和式的极限.2 掌握定积分性质，并会根据定积分的性质证明或计算一些问题.3 理解定积分的几何意义.教学重难点：重点定积分性质的应用. 难点定积分定义的理解与应用.教学方法：讲授法教学建议：1 利用定积分的定义计算定积分时，可以对积分区间采取特殊分割及进行特殊选取，以便计算.2 利用定积分的定义求和式极限的关键是：仔细分析所求和式，选择适当的可积函数与积分区间.学时：3学时教学过程一、 曲边梯形的面积设y=f(x)在a,b上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0和曲线y=f(x)所围成的图形

2、称为曲边梯形. 其中曲线弧称为曲边. 1 / 781) 细分：在a,b内任意插入分点:a=x0< x1< x2<<xn-1< xn=b将a,b分成n个小区间:x0,x1, x1,x2,xi-1 xi,xn-1,xn,记:xi=xi-xi-1,(i=1,2,n)表示第i个小区间的长度.2) 近似求和：在xi,xi-1上任取点i,则曲边梯形的面积A近似为:Af(i)xi.3) 取极限：记=maxx1, x2,xn,则A=f(i)xi.在实际中还有许多其他量可以类似表示.于是从这些量出发我们便抽象出一个重要概念定积分.二、 定积分的概念1.定义1：设函数y=f(x)在a

3、,b上有界,在a,b内取n+1个分点：a=x0< x1< x2<<xn-1< xn=b将a,b分成n个小区间：x0,x1, x1,x2,xn-1,xn,记xi=xi-xi-1,(i=1,2,n)表示第i个小区间的长度. 在xi-1 xi上任取点i，作乘积f(i)xi并作和：f(i)xi.记=maxx1, x2,xn，如果不论对a,b的分法及小区间xi-1,xi上点i的取法如何，当0时，极限f(i)xi存在，称此极限值为函数y=f(x)在a,b上的定积分，记为:f(x)dx=f(i)xi.其中： f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式,x为积分变量,a为积分上

4、限,b为积分下限,a,b为积分区间. f(i)xi称为积分和.当f(x)在a,b上的定积分存在时，称f(x)在a,b上可积.定积分是一具体的数值，完全不同于不定积分.用定义求积分是十分困难的.两引例都归结为定积分A=f(x)dx, S=v(t)dt,结合引例1，并借图解释.注意：定积分的值只与被积函数和积分区间有关,而与积分变量字母的选取无关.即: f(x)dx=f(t)dt=f(u)du2.定积分的几何意义:f(x)dx的几何意义为：它是介于x轴，函数y=f(x)的图形及两直线x=a,和y=b之间的各部分面积的代数和，其中x轴上方的图形规定为正，下方为负.3. 定积分的存在定理1)若f(x)

5、在a,b上连续,则f(x)在a,b上可积;2）若f(x)为a,b上单调有界函数，则f(x)在a,b上可积3）设f(x)在a,b上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在a,b上可积.例1. 填空:1)dx=/4; 2)dx=0.例2. 用定积分的定义计算:dx.解：将0,1n等份，分点为xi=，i=0,1,2n.则xi=xi-xi-1=(i=1,2,n). 在xi-1,xi上取点i=xi=.作和： f(i)xi=ei/n=e1/n+ e2/n+en/n=(1-e)e-1(n)所以 dx=e-1.注：利用定积分的定义计算定积分时，可以对积分区间采取特殊分割及进行特殊选取，以便计算.例3. 用定积分

6、表示下列极限:1) + +解：原式=dx2) sin+ sin+sin解：原式=sin=sinxdx3) (p>1)解：原式=xpdx特别p=2时,极限为1/3.注：利用定积分的定义求和式极限的关键是：仔细分析所求和式，选择适当的可积函数与积分区间.三、 定积分的性质定积分的两点补充规定：a) 当a=b时, f(x)dx=0b) f(x)dx=-f(x)dx定积分的性质:性质1. 若f(x)，g（x）R（a，b），则对任何常数，有f（x）+g（x）R（a，b），且=.证 由于f（x），g（x）R（a，b），故对a，b的任一分划：x0=ax1x2xn -1xn=b,记xi=xi -xi -

7、1（i=1，2，n），=，ixi -1，xi，有=+=+.所以f（x）+g（x）R（a，b），且=+.性质2. f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(定积分的区间可加性)性质3. 当f(x)0,a<b时, f(x)dx0.推论1)如果在a,b上,f(x)g(x),则f(x)dxg(x)dx推论2)|f(x)dx|f(x)|dx推论3) m(b-a)f(x)dxM(b-a)其中m和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值.性质4（积分第一中值定理） 设f（x）C（a，b），g（x）R(a，b),且g（x）在a，b上不变号，则a，b使得=f（）.证 不妨设对xa，b有g（x）0，则0.

8、又因f（x）C（a，b，故f（x）在a，b上存在最大值和最小值，令m=f（x），M=f（x），则mg（x）f（x）g（x）Mg（x），由推论1得mM.若=0，则a，b所证等式显然成立.若0,则mM.因为f（x）C（a，b），由闭区间上连续函数的介值定理知a，b，使f（）=，即 =.f（）推论4（积分中值定理） 设f（x）C（a，b），则a，b，使得=f（）（b-a）.性质5 设f（x）C（a，b），f（x）在a，b上非负且不恒等于零，则0.证 由于f（x）在a，b上非负且不恒等于零，故x0a，b使得f（x0）0.不妨设x0（a，b），则由连续函数的保号性知，存在x0的某邻域U（x0，）a，b，

9、使得xU（x0，）均有f（x）f（x0），从而由性质2，3及推论3得=+=f（x0）·2=f（x0）.至于x0=a或b的情形，则取a的右邻域或b的左邻域可完全类似地证明.类似于推论1的证明可得：推论5 设f（x），g（x）C（a，b），且在a，b上有f（x）g（x）及f（x）g(x),则.推论6 设f（x）C（a，b），且,则xa，b有f（x）0.证 用反证法.如果x0a，b使得f（x0）0,即f（x0）0,则由性质5有0.此与题设矛盾，故xa，b有f（x）0.例4. 估计积分的值1)(1+sin2x)dx解：设f(x)=1+sin2x,则令 f(x)=sin2x=0Þf(

10、x)在/4,5/4上的驻点：x1=/2和x2=.由于 f(/4)=3/2=f(5/4),f(/2)=2,f()=1,所以(1+sin2x)dx2.2)dx.解：设f(x)=,则f(x)= 当x/2,/4时,f(x)<0.从而f(x)单调.由于f(/4)=, f(/2)=2/, 所以: dx.3）解：例5. 比较下列积分的大小1) x2dx ; x3dx解：当xÎ0,1,x2x3,Þx2dx x3dx2) exdx; (1+x)dx解：当xÎ0,1,ex1+x,Þexdx(1+x)dx3) dx;ln(1+x)dx解：设f(x)=ln(1+x)-x&

11、#206;0,1f(x)= -=0Þ f(x)f(0)=0Þdxln(1+x)dx例6. 设f(x)Ca,b,证明:1) 如果"xCa,b, f(x)0,且f(x)dx=0,则f(x)0,"xa,b;证明：设f(x)0,"xÎa,b,则$x0a,b,有f(x0)>0.由于f(x)ÎCa,b,从而" = f(x0)>0,$>0,当|x-x0|<时,有f(x)>f(x0)/2.于是f(x)dx>f(x0) dx=f(x0)>0.这与f(x)dx=0矛盾.2) 如果"x

12、a,b,f(x)0,且f(x)0,则f(x)dx>0.证明：由于f(x)0Þ利用定积分的定义求和式极限的关键是：仔细分析所求和式，选择适当的可积函数与积分区间f(x)dx0.设f(x)dx=0,则由1)得:f(x)0这与f(x)0矛盾.例7. 求.解：思路：此定积分不易求，应先用积分中值定理去掉积分符号后，再求极限.原式 在0与x 之间 1例8. 设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且满足 （k>1）证明至少存在一点使得证明：由及积分中值定理，可知至少存在一点 使得 在上，令g(x) =,则g(x)在上连续，在内可导，且g()=f(1)=g(1).由罗尔定理知，

13、至少存在一点，使得即.作业：P177 2,3, P178 4,9(1)教学后记：复习思考题：证明下列不等式：（1）e2 -e2（e2 -e）； 2）1e 讲授内容 §4.2原函数与微积分学基本定理教学目的与要求：1理解变上限定积分是其上限的函数及其导数定理，并能灵活应用.2熟练掌握牛顿莱布尼兹公式.教学重难点： 重点牛顿莱布尼兹公式.难点变限函数的求导及应用.教学方法：讲授法教学建议： 1、在遇到不易积分或不需要计算积分值时，可利用变限函数求导或积分中值定理去掉积分符号.2、在计算变限函数求导时，若被积函数含有自变量时，则需先把自变量移到积分号外或通过变量代换移到积分限上，然后再求导

14、.学时：3学时教学过程一、原函数与变限积分定义1 设函数F（x）在某区间I上可导，且xI有F(x)=f（x），则称F（x）为函数f（x）在区间I上的一个原函数.定理1 设F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则F（x）+C（C为任意常数）为f（x）的全体原函数.证 一方面，显然对任意常数C，（F（x）+C）=F(x)+C=f(x),故F(x)+C为f（x）的原函数.另一方面，若（x）为f（x）的任一原函数，则 （x）-F（x）=f(x)-f(x)=0.从而，xI有（x）-F（x）=C0，C0为某一常数，即（x）=F（x）+C0，xI.故定理1得证.定义2 若f（x）R（a，b），则称积分

15、（xa，b） 为f（x）在区间a，b上的积分上限函数；称积分 （xa，b） 为f（x）在区间a，b上的积分下限函数.定理2 若f（x）R（a，b），则（x）=C（a，b）定理3 若f（x）R（a，b），且在x0a，b处连续（x0=a和b时，分别为右连续和左连续），则（x）= 在点x0处可导，且(x0)=f(x0)(x0=a和b时，分别为左导数和右导数).推论1 若f（x）C（a，b），则（x）=在a，b上可导，且(x)= =f(x)(axb).推论2 若f（x）C（a，b），F（x）是f（x）的任一个原函数，则存在常数C使xa，b有 F（x）=+C.变限积分（函数）除上述形式外，更一般地还有下

16、面的变限复合函数：，.若f（t）在区间a，b上连续，u（x），v（x）在，上可导，且x，有u（x），v（x）a，b，则由复合函数求导法则可得： =f（u（x）u(x)-f(v(x)v(x)二、微积分学基本定理定理4 设f（x）C（a，b），F（x）是f（x）在a，b上的一个原函数，则 =F（b）-F（a）. 证 因F（x）是f（x）在a，b上的原函数，由推论2知，存在常数C，使对xa，b有F（x）=+C，而F（a）=+C=C，因此F（x）=+F（a），即=F（x）-F（a），xa，b，将x=b代入上式即得公式.定理4称为微积分学基本定理.公式称为微积分学基本公式，也称为牛顿莱布尼茨公式，常将其

17、简写为：=F（x）. 例1. 求下列函数的导数1) 解: =3x2=2)解: =sinxsin2(sinx)cosx-2xsin2(2x)23)解:=x=+xf(x2)2x 注：用变限函数求导公式时，若被积函数含有自变量时，则需先把自变量移到积分号外或通过变量代换移到积分限上，然后再求导.例2. 设函数y=y(x)由方程+=a确定,求y(x).解:两边求导:2yy(x)-cosx2=0,Þy(x)= (y0)例3. 计算下列定积分1) x2dx=2) =arctanx=/3-(-/4)=7/12.3) dx=ln|x|=-ln24) dx=dx=dx=5) =ln|tanx|=ln3

18、6) =ln7) =-=-=8) =-=-cosx+cosx=49) 其中,f(x)=+=+=10) =+=20/311) 17例4. 设(x)=,f(x)连续,求(x)解:(x)=+= -(x)=f(x)(x)-f(x)(x)变限函数求导公式例5. 设f(x)连续,且当x0时满足=x,求f(2).解:两边求导:fx(x+1)(2x+1)=1,令x=1得:f(2)=1/3例6. 设x=x(t)由方程sint-=0确定,求x(t)和x(0)解:两边求导:cost-x(t)-1=0,Þx(t)=1+costx(t)=-sint+2(x-t) x(t)-1cost= 2(x-t)cos2t

19、-sint.令t=0,得: =0,Þx=1Þx(0)=2e2.例7. 求下列极限1)解:原式=22) f(x)连续.解:原式=|f(a)|例8. 设f(x)=求f(x).解: f(x)=1/3f(x)=1/3所以: f(x)=1/3例9. 确定常数a,b,c的值，使解：当时，分子ax-sinx,由题设，应有(*)从而必有b=0.事实上，若b>0，则在（0,b）内；若b<0，则b,0内也有，这与（*）相矛盾，故b=0.再由洛必达法则，原等式的左边若，则上式为，与题设矛盾，故必有a=1.从而由上式和题设知.例10.设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(

20、x)0, F(x)=证明"xÎ(a,b)有:F(x)0.证明:F(x)=积分中值定理由于f (x)0,ax,Þf(x)f() ,ÞF(x)0.例11.证明f(x)=在(0,+)上单调增.解:f(x)= 积分中值定理>0 (0x)例12.设f(x)在a,b上连续,且f(x)>0,又F(x)=+ 证明:1)F(x)2;2)F(x)=0在(a,b)内有唯一实根.证明1) F(x)=f(x)+2.2) F(a)= <0, F(b)=<0又F(x)2,从而由零点定理知F(x)=0在(a,b)内有唯一实根.注： 在遇到不易积分或不需要计算积分

21、值时，可利用变限函数求导或积分中值定去掉积分符号.例13.求函数f(x)=在-1,1上的最大值.解:f(x)=+=-+-=x(ex-e-1)-+-x(e-ex)f(x)=ex-e-1+xex-xex-xex-e+ex+xex=2ex-e-e-1;f(x)=2ex>0.曲线为凹弧,最大值=maxf(-1), f(1)=f(-1)=e+e-1.例14.见教材P239,例7例15.f(x)=,求(x)=在0,2上的表达式,并讨论(x)在(0,2)内的连续性.解: 当x0,1时,(x)=x3/3当x1,2时,(x)=+，=x2/2.由x1+,(x)1/2,x1-,(x)1/3,(x)在x=1处不

22、连续 例16.设f(x)在a,b上二阶可导，且，证明思路：已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导，且又知最高阶导数的符号，直接写出f(x)的Taylor展开式，然后根据题意对展开式进行放缩.证明1：对，f(t)在点x处的Taylor展开式为,其中在t与x之间 因，故f(t) 即证明2:由， 知在a,b上曲线y=f(x)是凸的，即曲线的切线在曲线的上方，在点处曲线y=f(x)的切线方程为：，因有f(x) 所以dx=f()(b-a),即.作业：P178 5(1)(2)(3),6,7,8,10,11 教学后记：复习思考题：求由参数式所确定的函数y对x的导数.讲授内容 §4 .3不定积分与原

23、函数的求法教学目的与要求：1. 熟练掌握不定积分的换元法与分部积分法.2.根据被积函数的形式正确选取积分方法.教学重难点： 重点不定积分的换元法与分部积分法. 难点正确选取分部积分法中的u(x)和v(x).教学方法：讲授法教学建议： 利用奇偶函数在对称区间上的定积分公式及周期函数的定积分公式可大大简化定积分的计算.学时：5学时教学过程一、不定积分的概念和性质定义 设函数f（x）在区间I上有定义，称f（x）在区间I上的原函数的全体为f（x）在I上的不定积分，记作，其中记号“”称为积分号，f（x）称为被积函数，x称为积分变量.定理1 设F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则=F（x）+C，

24、C为任意常数.通常，我们把f（x）在区间I上的原函数的图形称为f（x）的积分曲线，由定理1知：在几何上表示横坐标相同（设为x0I）的点处切线都平行切线斜率均等于f（x0）的一族曲线（见图4-2）.图4-2 由不定积分的定义易知，不定积分有下列性质：（1）=+，其中，为常数；（2）=f（x）；（3）=f(x)+C,C为任意常数. 基本积分表：其中C是积分常数（在本章后面的讨论中同样如此）. =kx+C（k为常数）, =+C(a -1), =lnx+C(x0), =ex+C, =+C(a0且a1), =sinx+C, = -cosx+C, =tanx+C, = -cotx+C, =secx+C,

25、= -cscx+C, =+C, =arcsinx+C, =coshx+C, =sinhx+C.上述这些不定积分的性质及基本积分公式是我们求不定积分的基础.例1 求.解 = = +C= 3 +C= +C.例2 求.解 =+C.例3 求.解 =ex-3sinx+C.例4 求.解 =.=arctanx+lnx+C.例5 求.解 =-x+arctanx+C.例6 求.解 =tanx-x+C.例7 求.解 = (x-sinx)+C.二、求不定积分的方法1.换元法定理2 设F（u）是f（u）在区间I上的一个原函数，u=(x)在区间J上可导，且（J）I，则在区间J上有 =F(x)+C. 证 由复合函数的求导

26、法有F（x）=F(u)(x)=f(u)(x)=f(x)(x),故F（x）是f（x）(x)的一个原函数，从而=F(x)+C.上述定理中的等式（4 -3 -1）可看成如下换元过程的复合,即 通过上述这种换元而求得不定积分的方法称为第一类换元法.例8 求.解 =eu+C=+C.例9 求（a0）.解 =arcsinu+C=arcsin+C.当对该方法比较熟悉后，则不必明显写出中间变量u=（x），只需做到“胸有成竹”即可.例10 求，a0为常数.解 =+C=+C.例11 求.解 = -= -lncosx+C.类似地，可得=lnsinx+C.例12 求.解 =+C.类似地可得=+C.例13 求.解 = -

27、cosx+cos3x+C.例14 求.解 =+C.因为=cscx-cotx,所以上述不定积分又可表为：=lncscx-cotx+C.例15 求.解 利用三角学中的积化和差公式cosAcosB=cos(A-B)+cos(A+B)得cos3xcos2x=（cosx+cos5x），于是= =sinx+sin5x+C.定理3 设I，J是两个区间，f（x）C（I），又x=（t）在J上严格单调、可导，且（t）0,(J)I，若f（t）(t)在J上有原函数F（t），则在I上有 =F（ -1（x）+C，C为任意常数， 其中 -1（x）是（t）的反函数.证 由（t）满足的条件知 -1（x）存在，且在I上严格单调、

28、可导，因此，由复合函数求导法及反函数的求导法有F（ -1（x）=F(t)· -1（x）=f(t)(t)·=f(t)=f(x)，故 =F（ -1（x）+C.定理3中的等式可看成由如下换元过程复合而成，即通过上述这种换元而求得不定积分的方法称为第二类换元法.例16 求（a0）.解 被积函数为无理式，应设法去掉根号，令x=asint，t，则它是t的严格单调连续可微函数，且dx=acostdt，=acost，因而=a2=+C.=sintcost+C.=+C,其中最后一个等式是由x=asint, =acost而得到的.例17 求（a0）.解 令x=atant，t，则dx=asec2t

29、dt, =asect,因而=lnsect+tant+C1=ln+C1（类似例14可得）=ln+x+C，其中C=C1lna.例18 求（a0）.解 令x=asect,t,可求得被积函数在xa上的不定积分，这时dx=asecttantdt，=atant，故=lnsect+tant+C1(类似例14可得)=ln+C1=lnx+C,其中C=C1 -lna.至于x -a时，可令x=asect（t），类似地可得相同形式的结果（读者可以试一试），因此不论哪种情况均有=lnx+C.以上三例所作变换均利用了三角恒等式，称之为三角代换，目的是将被积函数中的无理因式化为三角函数的有理因式.通常，若被积函数含有时，可

30、作代换x=asint；若含有，可作代换x=atant；若含有，可作代换x=asect.有时也可利用双曲函数作代换，如例17中也可令x=asinht而得相同结果.此外，有时计算某些积分时需约简因子x（N），此时往往可作倒代换x=.2.分部积分法定理4 设u（x），v（x）在区间I上可导，且u(x)v(x)在I上有原函数，则有公式 =u(x)v(x)-证 因为u=u（x）和v=v（x）在I上可导，故uv是（uv）在I上的原函数，而(uv)=uv+uv，或uv=(uv)-uv.从而，若uv在I上有原函数，则由不定积分性质知uv在I上也有原函数，且.上式称为分部积分公式，常简写成：, 其中u，v的选取

31、以比易求为原则.利用该公式求不定积分的方法称为分部积分法.例20 求解 若在公式中取u=ex，v=x2，则.而右端积分=比左端积分更难求，因此改取u=x，v=ex，则=xex-=xex-ex+C.例21 求.解 在公式中取u=x，v=sinx，则=xsinx-=xsinx+cosx+C.以上两例说明，如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，可考虑用分部积分法，且在分部积分公式中取幂函数为u.例22 求解 在公式中取u=lnx，v=x，则=xlnx-=xlnx-=xlnx-x+C.例23 求.解 取在公式中u=arctanx，v=，则=x2arctanx-=x2arctan

32、x-=x2arctanx -=x2arctanx -x+arctanx+C.以上两例说明，如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法，并在公式中取对数函数或反三角函数部分为u.例24 求I=.解 I=excosx-=excosx+=excosx+ =excosx+exsinx-=ex(sinx+cosx)-I,故I= (sinx+cosx)+C.注意，因为上式右端已不包含积分项，所以必须加上任意常数C.例25 求I= (a0).解 I=x-=x-=x-=x-a2=x-I-a2lnx+C1(由例18得)，故I=-lnx+C，其中C=C1.例26 求In=，n为正

33、整数.解 当n=1时，易求得I1=arctan+C.当n1时，In= =In-1-=In-1-=In-1+=In-1+.由此，即得递推式In= ,由上述递推式可求出所有形如In的积分，如取n=2得I2= + arctan +C.例27 求.解 令=t，则x=t2,dx=2tdt,于是=2.利用例20的结果，并用t=代回，便得所求积分：=2=2et（t-1）+C =2（x-1）+C.3.有理函数的积分若P（x）、Q（x）是两个实系数多项式，则称函数R（x）= 为有理函数.由多项式的除法可知，当R（x）为假分式（即P（x）的次数不小于Q（x）的次数）时，总可将其化为一个多项式与一个真分式（即P（x

34、）的次数小于Q（x）的次数）的和，而多项式的不定积分简单易求，因此要求，关键是弄清真分式的不定积分的求法.现假定R（x）=为真分式，则由代数学有关理论知R（x）必能分解成下列四种部分简单分式之和.（1）；（2）（n2为整数）；（3）（p2 -4q0）；（4）（n=2，3，且p2 -4q0）.此外， 若Q（x）=0有一个k重实根a，则R（x）的分解式中必有项，其中A1，A2，Ak为待定常数. 若Q（x）=0有一对k重共轭复根和，即Q（x）有因式（x2+px+q）k（p2 -4q0），且x2+px+q=（x -）（x -），则R（x）的分解式中必有项 +,其中B1，B2,Bk和C1，C2，Ck均为

35、待定常数.例28 试将分式分解为部分简单分式之和.解 根据，可设=+.两边去分母并合并同类项得x2+5x+6=（A+B）x2+（2A -B+C）x+（3A -C）.比较x同次幂的系数，得方程组解之，得A=2，B= -1，C=0.故= -.例29 将分解为部分简单分式之和.解 根据，可设=+.去分母并合并同类项，得2x+2=（A+B1）x4+（C1 -B1）x3+（2A+B2+B1 -C1）x2+（C2+C1 -B2 -B1）x+（A -C2 -C1）.比较x同次幂的系数得解之，得A=1，B1= -1，C1= -1，B2= -2，C2=0.故= - -.通过上面的讨论可知，任意真分式的积分实质上

36、可归结为上述四类部分简单分式的积分.为此，下面将逐一讨论这四类部分简单分式的积分.（1）.=Alnx -a+C.（2）（n=2，3，）.=+C= -+C.（3）（p2 -4q0）.=+=ln（x2+px+q）+arctan+C1.（4）（p2 -4q0，n1）.=+=+.对于后一个积分，只要令t=x+，a=，则可化为例26中的积分.至此我们解决了有理函数的不定积分的计算问题.例30 试求下列不定积分.（1）； （2）.解 （1）由例28可得= -=2lnx -1 -+=2lnx -1 -ln（x2+2x+3）+arctanx+C=ln+arctan+C.(2)由例29，可得=lnx -1 -=

37、lnx -1 -ln（x2+1） -arctanx+C=ln -arctanx+C.某些积分本身虽不属有理函数积分，但经某些代换后，则可化为有理函数的积分.如积分dx（其中R（x，y）表示关于x，y的有理函数），一般我们令t=，则可将其化为有理函数的积分.又如积分dx，若记t=tan,则由三角学中的万能公式有sinx=，cosx=，且dx=，故dx=，即将其积分化为关于t的有理函数的积分.例31 求解 令t=tan，则=+C=tan2+C.但这里值得一提的是，我们在上面虽指出某些积分可化为有理函数积分，但并非这样积分的途径最简捷，有时可能还有更简单的方法.例32 求.解 =ln（1+sinx）

38、+C.作业：P178 12(双), P179 15(双),16(单)教学后记： 复习思考题：求不定积分.讲授内容 §4.5定积分的计算教学目的与要求：1. 熟练掌握定积分的换元法与分部积分法.2.根据被积函数的形式正确选取积分方法.教学重难点： 重点定积分的换元法与分部积分法. 难点正确选取分部积分法中的u(x)和v(x).教学方法：讲授法教学建议：利用奇偶函数在对称区间上的定积分公式及周期函数的定积分公式可大大简化定积分的计算.学时：4学时教学过程一、换元法定理1 假设（1） f（x）C（a，b）；（2） x=（t）在，上单值、可导；（3） 当t时，a（t）b，且（）=a，（）=b

39、，则 =. （4 -5 -1）证 由条件（1）知f（x）在a，b上可积，设其原函数为F（x），又由复合函数求导法则知F（t）（t（，）是f（t）(t)的一个原函数，故由牛顿莱布尼茨公式有=F（b） -F（a）及 =F() -F()=F(b) -F(a).从而 =. 注意:1)利用换元法时,积分的上限b对上限,下限a对下限.2)变量不用回代.3)公式从左到右或从右到左都可以使用.例1. 计算下列定积分1)解: x=asint a2=t+sin2t=a2/4.2) cosx=t -=1/6.3) lnx=t =2=4) =-cosx=t -=2=4/35)= 注：若t从-1到-3也可做，t从1到-

40、3也可做，6) =2=2=7) x=/4-y-=dx-=ln2 注：被积函数比较复杂不易积分，通过换元后，右边出现和左边相同的积分式子，类似于解方程即可计算出定积分.8) x=asintt=/2-x-=所以=+=即原式=/4.9) =例2. 设f(x)在-a,a上连续,证明=.证明: =+由于x=-t =所以=.当f(x)为奇函数时,=0;当f(x)为偶函数时,= 2.例3. 计算下列积分:1)解:设f(x)= f(-x)= =-f(x)原式=02) =2=2/3.注：部分项是奇函数.3) -=0设(t)=,则(-t)=-(t) 注：利用利用奇偶函数在对称区间上的定积分公式可大大简化定积分的计

41、算.例4. 设f(x)=,计算.解: x-2=t =+=+=tan1/2-e-4/2+1/2.例5. 设f(x)=求解: x-1=t=+ex=t +=+=lnx-ln(1+x) +ln(1+x)=1+ln(1+e-1). 注：当被积函数是给定函数于某一简单函数复合而成的函数时，要通过变量代换将其化为给定函数的形式，同时积分限也要相应改变.例6. 设f(x)在0,1上连续,证明:1)=;2)=.3)计算: 证明:1)令x=/2-t,则=-=2)令x=-t,则=-所以=3) =-arctan(cosx)=2/4例7. 证明: =2证明: =+x=-t -=例8. 证明:如果f(t)为连续奇(偶)函

42、数,则(x)=为偶(奇)函数.证明:(-x)=s=-t -=(x)例9. 证明:(t)=为偶函数.证:(-t)=x=-y=(t)例10. 证明:= (x>0)证明: x=1/t =或=-;=-.Þ=+C令x=1,ÞC=0.例11. f(x)是设以T为周期的连续函数,证明:=方法1：用换元法：分析：从左右两边的上下限看，应作平移变换（平移a），但此做法无法用上f(x)周期为T的条件.所以只能考虑平移a.为此先将左边变形如下：证明: =+由于x=t+T =所以=此表明积分的值与a无关.方法2：记与a无关，视a为变量，对a求导：，得，注：利用周期函数的定积分公式可简化定积分

43、的计算.如：例12. 设f(x)是周期为T连续函数，证明.证明：利用周期性，对任给,都有，则对任何x>T,总存在，使得x=nT+,且时，对上式括号内第二个积分，作变量代换：例13. 请问下列做法合理否？1），令2），令解：1） 因为换元不连续. 2），因，即x不在0，1之间变化.二、分部积分法定理2 设u=u（x），v=v（x）均在区间a，b上可导，且u,vR(a，b),则有分部积分公式 = -. (4 -5 -2)证 由已知可得uv及uvR(a，b),而（uv）=uv+uv.对上式两边从a到b积分得=+.由此即得公式（4 -5 -2）.例14. 计算下列积分:1) =xarcsinx-

44、=+= +-1.2) 2=2tet-2=2e-2et=23) =+=-xlnx-x +xlnx-x =2(1-e-1)4) =-=/8-+/8=/4-1/2.5) =+=-ln(1+cosx)=xtanx/2-+ln2=/2+2ln|cosx/2|+ln2=/2.原式 例15. 计算:In=(=)解: In=-sinn-1xcosx +(n-1)=(n-1)-(n-1)=(n-1)In-2+(n-1)In所以:In=In-2当n(>0)为偶数时:In=·I0=·当n(>1)为奇数时:In=·I1=·推广：1. n为正整数. 2. n为正偶数.

45、例16. 计算下列积分1) =8/15;2) =5/32.3) x=asint a4=a4-=a4/164）Im=(m为自然数)解:Imx=sint当m(>0)为偶数时:Im=···I0=当m(>1)为奇数时:Im=···I1= 例17 =2-x=-t -=所以:= =3/16例18： 设f(x)连续,f()=1且满足f(x)+f(x)sinxdx=3,求f(0).解: 由于f(x)sinxdx=-f(x)dcosx=- f(x)cosx +f(x)cosxdx=f()+f(0)+ f(x)sinx-f(x)sinxdx=

46、 f()+f(0)-f(x)sinxdx所以: f(x)+f(x)sinxdx=f()+f(0)=3,从而f(0)=2.例19 ： f(x)C0,1,f(0)=1,f(2)=3,f(2)=5,求xf(2x)dx.解: xf(2x)dx=xdf(2x)=xf(2x) -f(2x)dx=f(2)-f(2x) =-f(2)-f(0)=2三、有理函数定积分的计算由第三节可知，有理函数的不定积分可转化为多项式和某些简单真分式的不定积分.利用牛顿莱布尼茨公式，可完全类似地将有理函数的定积分转化为多项式和某些简单真分式的定积分.例10 求.解 由于=x2+x+1+ -，故 =9+12ln3 -19ln2.例

47、11 求.解 由于 =,从而 =dx=（lnx -lnx+1 -ln(x2+1) - arctanx）=ln3 -ln(+1) - ln2 -.有些定积分的被积函数虽不属于有理函数，但通过作变换可转化为有理函数的定积分.例12 求.解 为了去掉根号，令=t，则x=t2+1，且x1，2时，t0，1，从而=2=2(t -arctant)=2=2 -.例13 求.解 这是关于sinx，cosx的有理函数定积分，令t=tan，则=,dx=dt,且x时，t，从而=.作业： P181 20(双),21,22,23,教学后记：复习思考题：证明讲授内容 §4.6广义积分教学目的与要求：1、了解广义积

48、分概念，能判定广义积分敛散性并会计算收敛的反常积分。2、了解函数的定义和性质。教学重难点：重点广义积分的定义及计算。难点无界函数的广义积分。教学方法：讲授法教学建议： 对于收敛的广义积分的计算，可按计算定积分的一样的方法进行，只需在无穷远点或瑕点处取极限即可。学时：1学时教学过程一、无穷积分定义1 设f（x）在a，+)上有定义，若Aa，+）有f（x）R（a，A）.记 ， （4 -6 -1）称其为f（x）在a，+）上的无穷积分.若（4 -6 -1）中右端的极限存在，则称该无穷积分收敛，且其极限值为该无穷积分的值；否则称该无穷积分发散.类似地，可定义：（1）(Bb)，（2）（ -c+）.对积分,其收敛的充要条件是及同时收敛.例1 求.解 =.该广义积分的几何意义为：第一象限内位于曲线y=x下方，x轴上方而向右无限延伸的图形面积，如图4 -3所示，为有限值.图4 -3为了书写方便，今