全国初中数学竞赛试题及答案2000年

1、2000年全国初中数学竞赛试题解答、选择题（只有一个结论正确）1、设区瓦口的平均数为M&®的平均数为N, N,c的平均数为P,若0 则M与P的大小关系是()。(A) M= P; (B) M>P; (C) M< P; (D)不确定。a-b+c a + b 77+ c _(7 +/? +2t7答：(B)。VM=3,N=2,P=22,M- P=a + b - 2ca + b - 2c c + c - 2c? _ 心=012, - a>b > c .12>12,即 m- P> 0,即 M> Po 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了 口千米，休息

2、了一段时间，又原路返回b千 米（“仪），再前进二千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是 （）。答：（C）。因为图（A中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程， 唯图（C）正确地表述了题意。3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲 大5岁。谢谢欣赏答：（A）。由题意知3X （甲一乙）2510, .甲乙=5。4、一个一次函数图象与直线,44平行，与K轴、了轴的交点分别为AB,并且过点（1, 25）,则在

3、线段AB上（包括端点A、B）,横、纵坐标都 是整数的点有（）。（A） 4 个；（B） 5 个；（C） 6 个；（D）7 个。答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是 式=1 + 4N, = 25+ 5N,（N是整数）.在线段AB上这样的点应满足1+4N>0,且25+5NK0,145,即 N= 1, 2, 3, 4, 5。a _ a + b5、设%瓦已分别是 ABC的三边的长，且A则它的内角/ A ZB的关系是（）。（A） /B>2/A;（B）/B= 2/A;（C）/ B<2/A;（D）不确定。a _ (2 a _ b答：(B)。由8得b (2 + C,延长CB

4、至D,使BD- AB,于是C5",在ABCtDAC, ZC 为公共角，且 BC:AOAC:DC. .AB。ADAC /BAC= / D, /BAD- / D,/ ABC= / D+ /BAD- 2/D-2/BAC6、已知 ABC的三边长分别为4d二 ,面积为S, ABG的三边长分别为因，的，q ,面积为且色S ,则s与Si的大小关系一定是()0(A) S>Si； (B) S<Si； (C) S= Si；(切不确定。答：(功。分别构造 ABC与/XAiBiG如下：作 AB6zA BG,显然=()3 > 1i_&,即 S>Si；设仪二6二 JlOLc =2

5、0 则儿=1, S= i0,V3的=4 = 5 = 10 ,则 S= 4 xi00>io,即 S<S;设"6 二阿,c = 20 则九=1, s= io,= J9g=10,则A = 2 _I1 _ _ 一一一一一。，Si=io,即S= Si；因此，S与s的大小关系不确定。二、填空题3 +_3_+J_7、已知：&二诉+也+无，那么<2 a2 /=o答：i。 G叵 T)& = 2 T = 1 ,即 4 4。3313a2 +3cz+l+=233(73 + 3d2 +3(2 +1. 与 +1、3 F 公 1、3 F 门信心 F C F F=5-1 = (y

6、- 1 = (1 + )3 - 1 = (V2 尸一1 = 2 1 = 1aaa8、如图，在梯形 ABCLfr, AB/ DC AB= 8, BO6Vq , / BC氏45° , / BA氏 i20° ,则梯形ABCD勺面积等于。AB答：66 + 6VJ （平方单位）。作 AE BF垂直于DC垂足分别为E、F,由BO6 版,B BCD= 45° ,得 AE= BF= FO 6。由 / BA氏 120° ,得/ DAM 30° ,因为 AE= 6得 DE= 2百，AB= EF= 8, DC= 2g+8+6=14+ 2百，5梯38=；岱 + 14

7、+ 2g）乂6=66 + 66 £ 。9、已知关于人的方程9 - l）x+2工一 2 - 1二°的根都是整数，那么符合条 件的整数有个。答：5。当=1时，父=1 ;当值H1时，易知/ = 1是方程的一个整数根，,21 +x = _再由 一心且/是整数，知一& - ±1卜土2 ,.3_ _1,03253 ,由 、得符合条件的整数 值有5个。10、如图，工地上竖立着两根电线杆 AB CD它们相距15米，分别自两杆上高 出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D; B、F点处，用钢丝绳拉紧， 以固定电线杆。那么钢丝纯AD与BC的交点P离地面的高度为米。CE

8、B Q DF题10图,A6(15, 6)C-qT题11图答：2.4米。作PQL BD于Q,设BO/米，Q氏了米，PQ='米，由AB/ PQ/ CDh _ y k _ x5 为 =得4 K+y及6 x+y ,两式相加得12,由此得力= 2.4米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB CD之间相距多远，与题目结 论无关。）11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC勺顶点B的坐标为（15,6）,直线3恰好将矩形OAB分成面积相等的两部分，那么 上=1 1 ,1 1 1 y au y K + 答：2。直线3 通过点D （15, 5）,故BA1。当2时，直线 32（0 二）&qu

9、ot;5：）通过 2 ,2两点，则它恰好将矩形OABC成面积相等的两部分。12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润率增加了 8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是 o利润率=销售价-进价(注:X100%)了一，答：17%。设原进价为X元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为xy - 93.6%x 100%,原进价降低6.4 %后，在销售时的利润率为 93.6%/ X100%, 依题意得：y- xy - 93.6% *x工 X100% +8%= 93.6% X x 100%,解得 y =1.17/,故这种商品 1.17x - x原来的利润率为二X 100%

10、 =17%。三、解答题13、设耀是不小于-1的实数，使得关于K的方程k +2（加-2）工+刈3刈+ 3 = 0有两个不相等的实数根,1，工2。（1）若再:十其=6求加的值。+ mx2（2）求1 须 1一%的最大值。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以A = 4（加- 2尸-4（3-3+3）=-4+4>0 m<lo 根据题设，有-1*阳<1（1）因为工；+若二区2ML M粗-2y - 2（苏- 3物+ 3）二二 2m2 TO附+ 10,，2/ -10m+10 = 6 日门,即2 。一5±vl7m - 5m + 2 = 0. .m =2 o5-vT? m =由于_&#

11、171;幽<1,故 2。(2)mx： _ 物才(1 - a2) + xf (1 - aJ-河x；-彳/式须 + x2) _1-巧 l-jr2 (1-%)(1-)巧巧/一巧+1组(2m2 - 10m +10) + (in。 3m + 3)(2m 4) m(2 一 + 8m - 2)= = (m2 - 3m + 3) + (2m -4) + 1m2 - m=2如(阳一 1)(如'一纲+1)= 2(m2 _ 3m +1)加(酬-1)O设_3 qy - 2(m2 - 3m +1) = 2(m - -)2 - - (-1 < m < 1) : y在 一 1 £ 出 &

12、lt; 12222mxi + mx2上是递减的，所以当相二1时，取最大值10。故1 一/1一式2的最大值为10。E14、如上图：已知四边形ABC卜接圆O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E, AE= EC, AB= V5AE,且BD= 2G ,求四边形ABCD勺面积。解：由题设得 A戌= 2AU= AE- AC . . AB:AO AE:AB,又/ EA氏 / BAC .AB曰AACB ；/ABE= / ACB 从而 AB= AD 连结 AD 交 BD于 H,贝U Bk H5内。.0用 Jo月2 _ BH” = J4 _ 3 : 1, Al-k OA 0生21 = 1。SD =BDAH =-

13、x2a/3x1 = 322是AC的中点,一'-一二一一-斗四边舷胆=_ 2 s山始©15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯 感到1分不满意，往上走一层楼梯感到 3分不满意。现在有32个人在第一层， 并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这 32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼） 解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住

14、的层数。事实上，设住第6层的人乘电梯，而住第1层的人直接走楼梯上楼，"< 交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下： 设电梯停在第K层。当时，若住第舌层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则 这两者不满意总分为3/ + 3,T-3X-3 ,交换两人上楼方式，则这两者不满意总 分也为3方+ 35-3工-3。当工二w < 时，若住第s层的人乘电梯，而住第1层的人直接走楼梯上楼，则 这两者不满意总分为 "一3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为 空3 0当£<工<时，若住第S层的人乘电梯，而住第1层的人直接走楼梯

15、上楼，则 这两者不满意总分为31+ K-鲁-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分 为究3H + 33-3 ,前者比后者多4Q3)>°。当='时，若住第层的人乘电梯，而住第1层的人直接走楼梯上楼，则这 两者不满意总分为41-*-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为 3" 3 ,前者比后者多4(" s) > 0。当工时，若住第s层的人乘电梯，而住第1层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3+x-3 .交换两人上楼方式，则这两者不满意总分 为3"父一13 ,前者比后者多4(f)0 今设电梯停在第K层，在第一层有尸人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为:S - 31 + 2 + * * + (3 3 _ a ) + 3(1 + 2+ *+ ,)+1 + 2 + ”一+(彳一