2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题九直线与圆专题检测题组

1、2023新高考数学第一轮专题练习专题九平面解析几何9.1直线与圆一、选择题1.(2022届山西怀仁一中月考,3)直线xsin -y+2=0的倾斜角的取值范围是()A.0,B.0,434,C.0,4D.0,42,答案B设直线xsin -y+2=0的倾斜角为(0<),则tan =sin ,-1sin 1,-1tan 1,倾斜角的取值范围是0,434,故选B.2.(2021黑龙江齐齐哈尔八中月考,6)已知点(-1,2)和33,0在直线l:ax-y+1=0(a0)的同侧,则直线l的倾斜角的取值范围为()A.4,3B.0,334,C.34,56D.23,34答案D因为点(-1,2)和33,0在直线

2、l:ax-y+1=0(a0)的同侧,所以(-a-2+1)·33a-0+1>0,即(a+1)·(a+3)<0,解得-3<a<-1,又直线l的斜率k=a,所以-3<k<-1,又直线的倾斜角范围为0,),所以直线l的倾斜角的取值范围为23,34,故选D.3.(2021吉林第三次调研,5)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A.(x-3)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y-3)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-2)2=1答案C因为圆C的半径为1,圆心在第

3、一象限,且与直线4x-3y=0和x轴均相切,所以圆心的纵坐标为1,从而设圆心坐标为(a,1),a>0,则有|4a-3|42+(-3)2=1,解得a=2或a=-12(舍去),所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选C.4.(2022届河南开学考,7)已知圆C与倾斜角为56的直线相切于点N(3,-3),且与曲线(x-1)2+y2=1相外切,则圆C的方程为()A.(x-4)2+y2=4和x2+(y+23)2=12B.(x+4)2+y2=4和x2+(y+23)2=12C.(x+4)2+y2=4和x2+(y-43)2=36D.(x-4)2+y2=4和x2+(y+43)2=36答案D

4、过点N(3,-3)且倾斜角为56的直线方程为x+3y=0,设圆C的圆心为(m,n),半径为R,由题意知,直线NC垂直于直线x+3y=0,kNC=n+3m-3=3,n=3m-43,R=|NC|=(m-3)2+(n+3)2=2|m-3|,由圆C与曲线(x-1)2+y2=1外切,可得(m-1)2+n2=1+R=1+2|m-3|.当m3时,解得m=4,n=0,R=2,故圆C的方程为(x-4)2+y2=4;当m<3时,解得m=0,n=-43,R=6,故圆C的方程为x2+(y+43)2=36.故选D.5.(2022届陕西榆林第十中学月考,11)已知M(3,4)是半径为1的动圆C上一点,P为圆O:x2

5、+y2=1上一动点,过点P作圆C的切线,切点分别为A,B,则当|AB|取最大值时,PAB的外接圆的方程为()A.x2+y2-3x-4y-6=0B.x2+y2-3x-4y+6=0C.x2+y2-3x-4y=0D.x2+y2-4x-3y=0答案A由|MC|=1,易知动圆圆心C的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=1,P为圆O:x2+y2=1上的动点,且|OM|=5,3|PC|7,又|PC|·|AB|=2|AC|·|PA|,|AC|=1,|PC|2=|PA|2+|AC|2,|AB|=2|PA|PC|=21-1|PC|2,当|PC|最小时,|AB|最小,当|PC|最大时,|AB|

6、最大,即当|PC|=7时,|AB|取最大值.PAB的外接圆以线段PC为直径,而线段PC的中点,即线段OM的中点,为32,2,PAB的外接圆方程为x-322+(y-2)2=494,即x2+y2-3x-4y-6=0,故选A.6.(2021四川宜宾二诊,6)已知直线l:y=3x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若ACB=120°,则实数m的值为()A.3+6或3-6B.3+26或3-26C.9或-3D.8或-2答案A由题意知圆心C(0,3)到直线l的距离d=|0-3+m|3+1=|m-3|2,因为ACB=120°,所以|m-3|2×2=6,解得m=3&

7、#177;6,故选A.7.(2022届甘肃兰大附中月考,11)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1),B(0,4),若直线2x-y+c=0上存在点P,使得PB=2PA,则实数c的取值范围是()A.(-5,5)B.-5,5C.(-25,25)D.-25,25答案D设P(x,y),A(0,1),B(0,4),PB=2PA,x2+(y-1)2=12x2+(y-4)2,整理得x2+y2=4,点P的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.由直线2x-y+c=0上存在点P,使得PB=2PA,得直线与圆相交或相切.d=|c|52,解得-25c25.故选D.8.(2022届江西月考,10)已知点A(0,2),

8、B(1,1),且点P在圆C:(x-2)2+y2=4上,C为圆心,则下列说法错误的是()A.|PA|+|PB|的最小值为2B.当PAB最大时,APB的面积为2C.|PA|-|PC|的最大值为22D.|PA|-|PB|的最大值为2答案B对于A,如图,当P为线段AB与圆C的交点时,即|PA|+|PB|=|AB|=2时,此时|PA|+|PB|取得最小值为2,故A中说法正确;对于B,由题可知点B在圆C内,当AP与圆C相切时,PAB最大,此时SAPB=12×2×1=1,故B中说法错误;对于C,点P在圆C:(x-2)2+y2=4上,C为圆心,|PC|=r=2,当|PA|最大时,|PA|-

9、|PC|也最大,即当A,C,P三点共线,且C在A,P之间时,|PA|-|PC|取得最大值,为22,故C中说法正确;对于D,当P为射线BC与圆C的交点时,|PA|-|PB|取得最大值,为|AB|=2,故D中说法正确.故选B.9.(2022届云南玉溪月考,8)已知圆O1:x2+y2-ax=0(a<0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆O1与圆O2:(x-2)2+y2=4的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案C由题意可知圆O1的圆心O1a2,0,半径r1=-a2(a<0),则O1到直线x+y=0的距离d=a22=-2a4(a<0),直线被圆O1所截弦长为2r1

10、2-d2=2a24-2a216=-2a2=22,解得a=-4,则O1(-2,0),r1=2,又O2(2,0),r2=2,圆心距|O1O2|=4=r1+r2,两圆外切.故选C.10.(2022届四川巴中月考,8)已知点A(1,0)和圆O:x2+y2=1,动点P在圆O上,点Q满足AP=PQ,记动点Q的轨迹为曲线C,则曲线C与圆O的位置关系为()A.相交B.相离C.内切D.外切答案C设Q(x,y),由AP=PQ得P为线段AQ的中点,则Px+12,y2.点P在圆O:x2+y2=1上,x+122+y22=1,整理得(x+1)2+y2=4.曲线C:(x+1)2+y2=4是以点B(-1,0)为圆心,2为半径

11、的圆,而|BO|=1=2-1,即曲线C与圆O内切于点A,故曲线C与圆O内切.故选C.11.(2020郑州二模,4)圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为()A.(x+3)2+(y+2)2=4B.(x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(x+6)2+(y+4)2=4答案C圆关于直线的对称图形仍然是圆,只不过圆心位置发生了变化,但半径不变,因此只需求出圆心(-2,12)关于直线x-y+8=0的对称点.设对称圆的圆心为(m,n),则n-12m+2=-1,m-22-n+122+8=0,解得m=4,n=6,所以所求圆的圆心为(4,6),故所求

12、圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=4,故选C.12.(2020课标,10,5分)若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12答案D由题可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l为y=kx+m,直线l与曲线y=x的切点为A(x0,y0).由导数的几何意义可知12x0=k,即x0=12k,点A既在直线l上,又在曲线y=x上,y0=kx0+m,y0=x0.kx0+m=x0,即k·12k2+m=12k,化简可得m=14k,又直线l与圆x2+y2=15相切,|m|1+k2=55,将m=14k代入,化简得

13、16k4+16k2-5=0,解得k2=14或k2=-54(舍去).y=x的图象在第一象限,k>0,k=12,m=12,l的方程为y=12x+12.故选D.13.(2022届江西景德镇一中10月月考,4)直线l:mx-y-5m+1=0(mR)被圆N:x2+y2-10x-2y+25=0截得的线段的长是()A.1B.2C.4D.不确定答案B圆N的标准方程为(x-5)2+(y-1)2=1,圆心N(5,1),半径为1.将直线l的方程变形为m(x-5)+(1-y)=0,易知直线l必过圆心,所以直线l被圆N截得的线段的长是2.故选B.14.(2022届贵阳一中月考,9)若直线mx-ny+3=0(m&g

14、t;0,n>0)被圆C:x2+y2+6x-4y+5=0截得的弦长为42,则2m+1n的最小值为()A.8-433B.8+433C.8-43D.8+43答案B由题意得,圆心C(-3,2),半径r=22,直线mx-ny+3=0被圆截得的弦长为42,直线mx-ny+3=0过圆心C(-3,2),即3m+2n=3,2m+1n=13(3m+2n)·2m+1n=138+3mn+4nm8+433,当且仅当3mn=4nm,即m=3-32,n=33-34时,等号成立.2m+1n的最小值为8+433.故选B.15.(2021河南安阳二模,9)已知曲线y=-x2+4x-3与直线kx-y+k-1=0有两

15、个不同的交点,则实数k的取值范围是()A.12,34B.0,34C.12,23D.14,23答案A整理y=-x2+4x-3得(x-2)2+y2=1(y0),则该曲线表示圆心为(2,0),半径为1的圆的上半部分,直线kx-y+k-1=0过定点(-1,-1),如图,当kk1,k2)时,曲线与直线有两个不同的交点,易得k1=12,k2=34,所以实数k的取值范围是12,34.16.(2021四川南充二模,9)阿波罗尼斯(约公元前262190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,

16、B距离之比为2,当P,A,B不共线时,PAB面积的最大值是()A.22B.2C.223D.23答案A如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,由于AB=2,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),由于|PA|PB|=2,则(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,两边平方整理可得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=(22)2=8,所以当x=3时,|y|取得最大值22,所以PAB面积的最大值为12×2×22=22,故选A.二、填空题17.(2022届江西10月大联考,15)已知直线l1:xa+yb=1经过点P(1,2)

17、,且与直线l2:2x+y+m=0平行,则a+b=.若这两条平行线之间的距离为5,且l2不经过第一象限,则m=. 答案6;1解析l1经过点P(1,2),1a+2b=1;l2的斜率为-2,且与l1平行,-ba=-2;由可得a=2,b=4,a+b=6.l1:x2+y4=1,即2x+y-4=0,|m+4|5=5,解得m=1或m=-9.当m=-9时,l2经过第一象限;当m=1时,l2不经过第一象限;m=1.18.(2022届江西贵溪实验中学月考,13)已知直线AB的方程为4x-3y-1=0,圆C的圆心坐标为(-1,0),直线AB与圆C相切,则圆C的方程为. 答案(x+1)2+y2=1

18、解析直线4x-3y-1=0与圆C相切,圆C的半径r=|4×(-1)-3×0-1|42+(-3)2=1,圆C的方程为(x+1)2+y2=1.19.(2021江西鄱阳一中调研,14)圆心在直线y=-2x上,并且经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切的圆C的方程是.答案(x-1)2+(y+2)2=2 解析解法一:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).由题意可知b=-2a,(2-a)2+(-1-b)2=r2,|a+b-1|2=r,解得a=1,b=-2,r=2,所求圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.解法二:易知点A(2,-1)在切线x

19、+y-1=0上,又点A在圆上,所以点A为切点,过点A与切线垂直的直线为y+1=x-2,即y=x-3,该直线一定过圆心,联立y=-2x,y=x-3,解得x=1,y=-2,即圆心C为(1,-2),又半径r=|AC|=(2-1)2+(-1+2)2=2,所求圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.20.(2021湘豫名校3月联考,16)已知过点A(2,2)作直线AB,AC与圆x2+(y-2)2=1相切,且交抛物线x2=2y于B,C两点,则直线BC的方程为. 答案6x+3y+4=0解析设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1=x122,y2=x222.lAB:(x1+2)x-2y-2x

20、1=0,圆心到直线AB的距离d=|-4-2x1|(x1+2)2+4=1,3x12+12x1+8=06x1+3y1+4=0,同理6x2+3y2+4=0,lBC:6x+3y+4=0.21.(2022届山西百校联盟9月联考,14)经过两圆x2+y2-x+y-2=0与x2+y2=5的交点,且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为. 答案(x+1)2+(y-1)2=13解析设所求的圆的方程为x2+y2-x+y-2+(x2+y2-5)=0(-1),即x2+y2-x1+y1+-2+51+=0,其圆心为12(1+),-12(1+),代入3x+4y-1=0得32(1+)-42(1+)-1=0,解得

21、=-32,经检验,为上述方程的解,所以所求圆的方程为x2+y2+2x-2y-11=0,即(x+1)2+(y-1)2=13.22.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,14)已知直线l:y=k(x-2)与圆x2+y2=1相切,则直线l的倾斜角为. 答案30°或150°解析因为直线l:y=k(x-2)与圆x2+y2=1相切,所以圆心(0,0)到直线l的距离等于半径,即|0-0-2k|k2+1=1,解得k=±33,所以直线l的倾斜角为30°或150°.23.(2022届四川内江调研,15)若A(-33,y0)是直线l:3x+y+a=0(a&g

22、t;0)上的点,直线l与圆C:(x-3)2+(y+2)2=12相交于M,N两点,若MCN为等边三角形,过点A作圆C的切线,切点为P,则|AP|=. 答案62解析由已知得圆C的圆心为C(3,-2),半径r=23,因为MCN为等边三角形,所以点C到直线l的距离d=|3-2+a|3+1=r2-r22=3,即|a+1|2=3,因为a>0,所以a=5,所以直线l的方程为3x+y+5=0,又A(-33,y0)在直线l上,所以-9+y0+5=0,所以y0=4,即A(-33,4),所以|AP|=|AC|2-|PC|2=(-33-3)2+(4+2)2-12=62.24.(2021内蒙古包头重点中学开学摸底,6)过点P(4,5)作圆C:x2+y2-4x=0的切线l,则切线l的方程为. 答案x=4或21x-20y+16=0解析把点P(4,5)的坐标代入x2+y2-4x得42+52-4×4>0,所以P在圆C外.所以过点P(4,5)可以作两条圆C的切线.当切线的斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,又知圆C的圆心为(2,0),半径r=2,由圆心C到切线l的距离d=|2k+5-4k|k2+1=2,即(5-2k)2=4