论文分类讨论思想在高中数学中的应用

1、分类讨论思想在高中数学中的应用摘要: 分类讨论思想是人们常用的重要思想方法，是重要的数学思想，也是一种逻辑方法。在解数学问题时，通过正确应用分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答。本文首先介绍了分类讨论思想，分类讨论的要求与原则，重点讲述了分类讨论思想在高中数学中的具体应用，最后强调了根据问题的特殊性和简单性，避免分类讨论，简化分类讨论过程，从而提高分类讨论的效果。关键词：分类讨论思想 正确分类 应用 简化分类·简述分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整

2、个问题的解答。分类讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略。分类讨论是具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置。二·分类讨论的要求及其意义 分类讨论的要求： 正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础。应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程。分类讨论的意义：在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，

3、通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答。三·分类讨论思想的原则为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则：(1) 同一性原则：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。(2) 互斥性原则：分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项。(3) 相称性原则：分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。(4) 层次性原则：分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是

4、把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止。四·分类讨论思想在高中数学中的应用（一）分类讨论思想在集合中的应用在集合运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些含参数的集合问题，常需要进行分类讨论求解。例1 设且，求实数a的取值范围。分析：当 时 ， 的范围与实数a取值的正负号， 与2的大小均有关系，因此必须对a分情况讨论，从而得到集合C,再根据，求出a的取值范围。解：， 。1) 当 时， ，因为，所以 ，解得，与 矛盾。2) 当 时 ， ，因为，所以 ，解得，故。3) 当时，因为，所以，解得 ，故。综上可得 。（二）分类讨论思想在函数中

5、的应用 1. 用分段函数来分类讨论 例1 已知函数 ，作函数 的图像 。分析：是分段函数，没有统一的表达式，所以按其零点分区间讨论。 解： 当 时，；当 时，；当 时， ； 即 故 的函数图像为如图（1）所示： 图（1）2函数中含参数的分类讨论 例2 已知函数 在区间 上有最小值，记作 ，求 的函数表达式。分析：本题涉及到二次函数对称轴的相对题设区间位置，故根据对称轴的不同位置加以分类讨论。解：原式配方得 ，其对称轴方程为，1) 当 时，即 时， 在 上递增， 时，；2) 当时，即 时，在 处有最小值，；3) 当 即 时， 在 上单调递减， 时 ，；综上所述可得 （三）分类讨论思想在不等式中的

6、应用1涉及运算要求的分类讨论 我们在解题过程中，往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的，如解不等式当两边同时乘（除）以一个代数式时，要考虑代数式的值是否为负；解无理不等式时，去掉根号要考虑两边是否都大于0等等。例1 解不等式 。分析： 解此不等式需要去掉根号，而去掉根号时，需要考虑两边是否同为正，才能同时平方而不改变不等号方向，因此根据运算要求进行分类讨论。解： 原不等式等价于 或 解得 或 。 原不等式解集为 。2. 含参数不等式的分类讨论例1 解关于 的不等式 。分析：原不等式是关于 的一元二次不等式，可化为 。 由于 与 无法确定，此不等式无法解

7、下去，因此对 进行讨论，讨论的着眼点应该在 与 的大小上。解：（1） 当 时， ，不等式的解集为 或 ; (2) 当 时，不等式解集为 且； （3）当 时，不等式解集为 且； （4）当 或 时，不等式解集为且。 （四）分类讨论思想在排列组合中的应用 分类讨论思想在排列组合中也常见，尤其是解含有约束条件的排列组合问题时，运用分类讨论的方法可以把复杂的问题化为简单的问题。例1 在正方体的8个顶点中，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中 心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？解： 依题意，共线的三点组可以分为三类：（1） 两端点皆为顶点的共线三点组。共有 （个）；（2） 两端点皆为面的中心的

8、共线三点组，共有 （个）；（3） 两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有 （个）； 所以总共有 （个）。例2 （08年海南、宁夏卷）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一个人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排共有多少方法？解： 本题考查排列组合，按甲参加的日期分类：（1） 甲周一参加，乙和丙在剩下的4天中选两天参加，共有 种；（2） 甲周二参加，同理可知有种； (3) 甲周三参加，有 种； 根据加法原理可知，总共有种 。 （五） 分类讨论思想在数列中的应用 在有些数列问题中存在不确定的因素，如等比数列的公比q 是否为1；数列的项的个

9、数为偶数还是奇数等等，就那样的数列问题，我们要进行分类讨论。例1 已知数列 求它的前n 项和。分析：本题未指明数列为等比数列，所以分类讨论时还要考虑 这一情况。解： 设 ，当 时， ； 当 时，；当 且 时，由得，两式相减 ： ， 。综上所述 。 例2 已知数列的前和为，满足关系式 ，且，若，求数列的前项的和.解： 当 时，由 ，得； 当时，由，得。 ， ，即 是首项为1，公差为2 的等差数列，从而，。 当，即偶数时， ；当，即奇数时，。综上所述 。（六） 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用 例1 如图（二）所示，给定点和直线上的动点， 的角平分线交于点，求点的轨迹方程，并说什么曲线。 （1999

10、年全国卷） （ 图二） 分析：由于动点 因 点在直线L 上的位置的变动而变化，故设出 点的坐标为（-1，b）(b为参数)，由题意知C 点应为b 的表达式，消去参数，即得C点的轨迹方程。本体的关键是如何求C点的坐标,方法有多种，如利用角平分线的定义，性质可得。解：依题意，记，则直线和的方程分别为和 。设点，则有，由点到直线的距离公式得 点 在直线上，故，由 得 将代入 得。若，则；若，则，点的坐标为，满足上式。综上得点 的轨迹方程为 。此轨迹方程里含有参数 a ,因参数a 的值的不同而导致曲线的形状不同，从而需要对参数a 分情况讨论。（1） 当 时，方程化为 此时，方程 表示为抛物线弧段；（2）

11、 当时，轨迹方程为 所以，当 时，方程 表示椭圆弧段， 当时，方程 表示双曲线支的弧段。（七）分类讨论思想在立体几何中的应用 点，线，面是组成几何图形的三个要素，有些立体几何题中，这三者的位置关系是不确定的，因此要对每种情况进行分类讨论求解，这样防止漏解。下面一题是涉及点与线的位置关系不确定的分类讨论。例1 线段 与平面平行，平面 的斜线， 与平面 所称的角分别为，和，且，求与平面 的距离。分析：作，垂足为，则即为所求距离。 作，垂足为， ， ，由已知可证面，同理可证面， 面面，由面面平行的性质定理可知。考虑到在的同侧或 异侧，所以分两种情况讨论。解：（1）如图（三），在的同侧 时，过点 作，

12、垂足为，由已知，设，则可用 表示，在中，利用勾股定理列方程，解得。（2）如图（四），在 异侧 时，在平面内作，交其延长线于，同理可得。（八） 分类讨论思想在实际问题中的应用 近几年来，高考命题从知识转向能力测试，出现了大量有鲜活背景的实际应用题，这种应用题，这种应用题，往往需要有分类讨论的思想才能顺利解决。其解题思路是:用数学的语言加以表达和交流，敏捷的接受试题所提供的信息，并和所学的有关知识相结合，确定适当的分类标准，把一个复杂的应用题分解成几个较简单的问题，从而使问题获解。例1 有一批货物，如在本月初出售，可获利10万元，然后将本利都存入银行，每月利率为2.4%，如在下月出售，可获利12万

13、元，但要付0.5万元货物保管费，试问这批货物在本月初出售合算还是下月初出售合算？解：设这批货物的成本 万元。（1） 若这批货物在本月初出售，将本利存入银行，到下月初货主有金额为 ；（2） 若这批货物在下月初出售，货主有金额为 ； ， 当成本 时，应该本月初出售合算； 当成本时，在本月初出售或下月初出售都一样； 当成本 时，在下月初出售合算。五避免和简化分类讨论 分类讨论时一种重要的解题策略，但他不是万能的，不是唯一的，对于分类讨论的问题，在熟悉和掌握分类讨论的同时，要注意克服盲目讨论的思维定势，要认真审查题目的特点，充分挖掘题中潜在的特殊性和简单性，尽可能避免分类讨论，简化分类讨论过程，从而提

14、高分类讨论的效果。下面对于避免和简化分类讨论简单举个例子：(1) 通过逆向思维避免分类讨论 当问题不易直接求解时，可考虑它的反面，通过对其反面情况的分析研究，使问题得到解决。例1 关于x的方程至少有1个负实数根，求实数m的取值范围。分析：本题若正面考虑，则必须分为下列3种情况加以讨论：（1）有2个负实数根；（2）有1个正实数根和1个负实数根；（3）有1个负实数根和1个零根。显然，这样解题过程繁琐冗长，又容易产生错误。我们可以从命题的反面入手，即先从方程没有负实数根时探求实数m的范围A，再求出至少有1个负实数根时m的范围（为A的补集）。设全集设方程没有负实数根，即只有正实数根或零根时m的范围为集

15、合A。由所以集合A的补集是故实数m的取值范围是。(2) 有的讨论题，若用化参数为函数的方法求解，则可简化讨论。例1 若方程lg(-x2+3x-m)-lg(3-x)=0在0, 3上有唯一解，求实数m 的取值范围。解：当x0, 3时，原方程等价于-x2+3x-m=3-x，即m=-x2+4x-3，x0, 3。令m=f(x)，则f(x)=-(x-2)2+1，x0, 3。f(x)的单调区间是0, 2和(2, 3)。 当x0, 2时，m-3, 1；当x(2, 3)时，m(0, 1)。当m=1或m-3, 0时，则x在0, 3内对应唯一一个值，即原方程有唯一解。参考文献 （1） 孔得刚. 论分类讨论思想在解题中的应用.数理化学习（高中版）.2005.10（2） 朱永贞，严明瑗.新高考全科复习