2.平面区域的基本试题类型

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明平面区域的基本试题类型作平面区域的基本方法 作出线性约束条件所表示的平面区域是线性规划的基础,也是高考的一个命题点;着意于平面区域的高考试题可分为三类:平面区域的形状、面积和平面区域的直观分析.解决的关键都是作出约束条件所表示的平面区域.母题结构:作出线性约束条件所表示的平面区域.解题程序:作平面区域的基本程序是:把约束条件中的不等号变为等号,得到区域边界的直线方程;求出两两直线的交点,在直角坐标系内标出这些点,并连线;利用平面区域定理确定约束条件所表示的区域. 1.平面区域的形状 子题类型

2、:(2007年北京高考理科试题)若不等式组所表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )(A)a (B)0a1 (C)1a (D)0a1,或a解析:由不等式x-y0,2x+y2,且y0对应的可行域为OAB,其中A(,),B(1,0),过点O、A、B分别作斜率都等于-1的直线l1、l2、l3,要使得原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线l:x+y=a应位于直线l1与l3之间(包括l3),或位于直线l2的右上方(包括l2)0-1m=1.故选(B).点评:求三角形面积可利用公式:在ABC中,如果=(x1,y1),=(x2,y2),则三角形ABC的面积S=|x1y2-x2y1|. 3.平面

3、区域的直观分析 子题类型:(2010年福建高考试题)设不等式组,所表示的平面区域是1,平面区域1与2关于直线3x-4y-9=0对称,对于1中的任意A与2中的任意点B,|AB|的最小值等于( )(A) (B)4 (C) (D)2解析:约束条件表示的可行域1是ABC区域,其中A(1,1),B(1,2),C(3,3),在区域ABC中,点A(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离最小,最小值=2,根据对称性|AB|的最小值等于=4.点评:利用平面区域可以构造多种形式的高考试题,但万变不离其宗,作出约束条件所表示的平面区域是解题的根本. 4.子题系列:1.(2008年湖北高考试题)在平面直角坐标系xOy

4、中,满足不等式组的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图中的( )2.(2007年北京高考文科试题)若不等式组所表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )(A)a5 (B)a7 (C)5a7 (D)a5,或a73.(2006年浙江高考试题)在平面直角坐标系中,不等式组,表示的平面区域的面积为( )(A)4 (B)4 (C)2 (D)24.(2009年安徽高考试题)不等式组所表示的平面区域的面积等于( ) (A) (B) (C) (D)5.(2014年安徽高考试题)不等式组表示的平面区域的面积为 .6.(2009年安徽高考试题)不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,

5、则k的值是( ) (A) (B) (C) (D)7.(2008年安徽高考试题)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( ) (A) (B)1 (C) (D)28.(2009年福建高考试题)在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( ) (A)-5 (B)1 (C)2 (D)39.(2007年浙江高考试题)设m为实数,若(x,y)|(x,y)|x2+y225,则m的取值范围是 .10.(1981、2009年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上有两个区域M和N.M是由y0,yx,和y2-x这三个

6、不等式确定的,N是随t变化的区域,它由不等式txt+1所确定的,t的取值范围是0t1.设M和N的公共面积是函数f(t).则f(t)为: .11.(2007年山东高考试题)设D是不等式组表示的平面区域,则D中的点P(x,y)到直线x+y=10距离的最大值是 .12.(2009年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)平面上满足约束条件的点(x,y)形成的区域为D,区域D关于直线y=2x对称的区域为E,则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为 .13.(2008年宁夏、海南高考试题)点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且满足-14x-y7,则点P到坐标原点距离的取值范围是( ) (A)0,5 (B)0,1

7、0 (C)5,10 (D)5,1514.(2011年湖北高考试题)直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数个15.(2013年大纲高考试题)记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D公共点,则a的取值范围是 .16.(2012年福建高考试题)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为( )(A)-1 (B)1 (C) (D)217.(2012年北京高考试题)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )(A) (B) (C) (D)18.(

8、2014年湖北高考试题)由不等式确定的平面区域记为1,不等式,确定的平面区域记为2,在1中随机取一点,则该点恰好在2内的概率为( )(A) (B) (C) (D) 4.子题详解:1.解:由点P(0,2)满足不等式组,排除(A)(D);又由点Q(-0.5,0) 不满足不等式组,排除(B).故选(C).2.解:由A(0,5),B(2,7)5a7.故选(C).3.解:由不等式组所表示的平面区域为ABC.其中A(0,2),B(2,0),C(2,4)面积=4.故选(B).4.解:由不等式组所表示的平面区域为ABC,其中A(0,),B(0,4),C(1,1)面积=(4-)1=,故选(C).5.解:由区域为

9、ABC,其中,A(0,2),B(2,0),C(8,-2)SABC=4.6.解:由区域为ABC,A(0,),B(0,4),C(1,1),又y=kx+过点Ay=kx+过BC的中点M(,)k=.故选(A).7.解:由区域为OAB,其中A(-2,0),B(0,2),动直线扫过的区域的面积=.故选(C).8.解:由不等式组所对应的平面区域为ABC,其中A(1,1+a),B(0,1),C(1,0)SABC=(1+a)=2a=3.故选(D).9.解:由直线x-2y+5=0与mx+y=0交于P(-,),直线3-x=0与mx+y=0交于Q(3,-3m),由题意,点P,Q不在圆O:x2+y2=25外(-)+()2

10、5,32+(-3m)225m0,10.解:由区域M是图中AOB,区域N是直线x=t与x=t+1(0t1)之间的带形域.M和N的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF(包括边界),由五边形ACDEF的面积f(t)=AOB的面积减去RtODC、RtBEF的面积=1-t2-2-(t+1)2=-t2+t+.11.解:由区域D的顶点(1,1)直线x+y=10距离的最大值=4.12.解:由区域D是ABC,其中A(2,-2),B(2,-8),C(5,-5),在区域D中,点A(2,-2)到直线2x-y=0的距离最小,最小值=,根据对称性区域D和区域E中距离最近的两点的距离=.13.解:根据题意可知点P在线段4x+3y=0(-6x)上,线段过原点,故点P到原点最短距离为零,最远距离为点P(-6,8)到原点距离且距离为10.故选(B).14.解:由直线2x+y-10=0与平面区域的公共点只有(5,0)这一个点.故选(B).15.解:由直线y=a(x+1)恒过定点P(-1,0),且斜率为a;区域D为ABC,其中,A(1,1),B(0,4),C(0,)kPA=,kPB=4a的取值范围是,4.16.解:由直线y=2x与x+y-3=0的交点坐标为(1,2),要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件,如图所示,则3-